Cotes公式(C公式) mber公式(R公式) R D公式 32n E公式 E D D 在实际计算中,逐次分半加速法可按如下表格逐行进行计算。当表中对角线 上出现两个顺序接连的数之差为允许误差时,即可停止运算。 逐次分半加速表 分半次数区间等分数T公式S公式C公式R公式D公式 公式 2 续表 分半次数区间等分数T公式S公式C公式R公式D公式 E公式 4 24=16 T 5 32 32 例计算定积分
4n Cotes 公式（C 公式）： S n 2 S4n 2 S2n 2 4 4 1 1 4 1 4 − − − = 5 8n Romberg 公式（R 公式）： R n 3 C8n 3 C4n 3 8 4 1 1 4 1 4 − − − = 7 16n D 公式： D n 4 R16n 4 R8n 4 16 4 1 1 4 1 4 − − − = 9 32n E 公式： E n 5 D32n 5 D16n 5 32 4 1 1 4 1 4 − − − = 11 在实际计算中，逐次分半加速法可按如下表格逐行进行计算。当表中对角线 上出现两个顺序接连的数之差为允许误差时，即可停止运算。 逐 次 分 半 加 速 表 分半次数 区间等分数 T 公式 S 公式 C 公式 R 公式 D 公式 E 公式 i=0 2 1 0 = T1 1 2 2 1 = T2 2 S 2 2 4 2 = T4 4 S C4 3 2 8 3 = T8 8 S C8 R8 续表 分半次数 区间等分数 T 公式 S 公式 C 公式 R 公式 D 公式 E 公式 4 2 16 4 = T16 16 S C16 R16 D16 5 2 32 5 = T32 S32 C32 R32 D32 E32 例 计算定积分 2 1 , 1 dx x
并使误差不超过00001 解(1)在区间[2]上用梯形公式得 7=2(0)+/(2)=4=07300 (2)将[2]二等分 H 0.66667. 2)3 72=(T1+H2)≈070833 47-7 0.69444 (3)[2]四等分 0.68571 T=(T2+H4)≈069 S:=4:-206925 C ≈0.69317 (4)将[2]8等分 13 H& T=(T+H3)≈0694 S=4-069315 C42S3-S4 ≈0.69315, 4C0-C Rs 0.69315 由于C4-R|=00002000故计算可以停止。所得积分近似值为0。69315。 §4. Euler-maclaurin公式 为介绍 Euler- Maclaurin公式,须先讲述 Bernoulli数。 Bernoul数{B,)由下述母函数生成
并使误差不超过 0.0001。 解 （1）在区间 1,2 上用梯形公式得 ( ) ( ) 0.75000. 4 3 ( 1 2 ) 2 1 T1 = f + f = = （2）将 1,2 二等分 0.66667, 3 2 2 3 2 = H = f ( ) 0.70833, 2 1 T2 = T1 + H2 （3） 1,2 四等分 0.68571, 4 7 4 5 2 1 4 + H = f f ( ) 0.69702, 2 1 T4 = T2 + H4 0.69325, 4 1 4 4 2 4 − − = T T S 0.69317. 4 1 4 2 4 2 2 4 − − = S S C （4） 将 1,2 8 等分 ( ) 0.69412, 2 1 T8 = T4 + H8 0.69315, 4 1 4 8 4 8 − − = T T S 由于 0.000 02 0.0001. C4 − R8 = 故计算可以停止。所得积分近似值为 0。69315。 §4. Euler-Maclaurin 公式 为介绍 Euler-Maclaurin 公式，须先讲述 Bernoulli 数。 Bernoulli 数Bj由下述母函数生成： 0.69122, 8 15 8 13 8 11 8 9 2 1 8 + + + H = f f f f 0.69315, 4 1 4 2 8 4 2 8 − − = S S C 0.69444. 4 1 4 2 1 2 − − = T T S 0.69315. 4 1 4 3 8 4 3 8 − − = C C R
亦即 ()=∑-1,B (4.1) 而 Bo=G(def 为写出前几个 Berno数,注意到 G(-1)=t+G() 所以 t'=t+ 比较t的同次幂系数,可知 B1=12,B2H1=0(=12… 其它的 Bernoull数为 B6=1,B2=1/6,B4=-1/30,B6=1/42 Bs=-1/30,B0=5/66,B2=-6912730,B4=7/6, B 17/510,B1s=43867/798 174611330 它们之间有如下递推关系式 B (n>1) Bernoulli多项式由下述母函数生成
( ) . −1 = t e t G t 亦即 （4.1） 而 为写出前几个 Bernoulli 数，注意到 即 G(−t) = t +G(t). 所以 比较 t 的同次幂系数，可知 1 2, 0 ( 1,2, ), B1 = B2 j+1 = j = 其它的 Bernoulli 数为 1, 1 6, 1 30, 1 42, B0 = B2 = B4 = − B6 = 1 30, 5 66, 691 2730, 7 6, B8 = − B10 = B12 = − B14 = 3617 510, 43867 798, 174611 330. B16 = − B18 = B20 = − 它们之间有如下递推关系式 （4.2） Bernoulli 多项式由下述母函数生成： （4.3） ( ) ( ) , 1, . 1 , ! 0 0 = − = = = = j e t t B j B G t j t t j j j j ( ) 1. 1 0 lim 0 0 = − = → t t e t B G def ( ) , −1 − = + t e t G t t ( ) = = − = + 0 0 . ! 1 ! j j j j j j j t j B t t j B = = n n B n n B 0 ( 1). ( ) ( ) = = − = 0 . 1 ! , j j j t xt t j B x e te H x t
Bernoulli多项式和 Bernoull数的关系为B0)=Bn前几个 Bernoulli多项式为 B(x)=1,B1(x)=x-1/2,B2(x)=x2-x+1/6 B(x)=x3-3x2+,B1(x)=x4-2x3+x2-1/30 按B(x)的定义,可知 k) B 从而 在(43)式两边对x求导数,可知 B (,) .B(O 八 因此 B,(x)=j·B1(x)j=1 (4.5) 以1- 代替(4.3)中的ⅹ。得到 (小el-)(-1k2x) H(x-) 按B(x)的定义,有 B 从而 B(1-x)=(-1)B,(x)j=01 由此可知,当j为奇数时,(46)表明,此时B,(x)在0,1上以x=12点中心对 称;当j为偶数时,(46)表明,此时B(x)在,上以x=12直线对称。 若于(46)中取x=0,则可得到B()=(-1yB,(O)从而有 B2()=-B240)=-B21=0 ()=B24(0)=B2 现在定义以1为周期的函数BA(x)
Bernoulli 多项式和 Bernoulli 数的关系为 (0) . Bn = Bn 前几个 Bernoulli 多项式为 ( ) 1, ( ) 1 2, ( ) 1 6, 2 B0 x = B1 x = x − B2 x = x − x + ( ) , ( ) 2 1 30. 2 2 3 4 3 2 4 3 2 3 = − + B x = x − x + x − x B x x x 按 B (x) k 的定义，可知 从而 （4.4） 在（4.3）式两边对 x 求导数，可知 因此 ( ) ( ), 1,2, . = 1 = − B x j B x j j j （4.5） 以 1-x 代替（4.3）中的 x。得到 按 B (x) j 的定义，有 从而 B (1− x) = (−1) B (x), j = 0,1, . j j j （4.6） 由此可知，当 j 为奇数时，（4.6）表明，此时 B (x) j 在[0，1]上以 x =1 2 点中心对 称；当 j 为偶数时，（4.6）表明，此时 B (x) j 在[0，1]上以 x =1 2 直线对称。 若于（4.6）中取 x=0，则可得到 (1) ( 1) (0). j j Bj = − B 从而有 (1) (0) 0, B2k+1 = −B2k+1 = −B2k+1 = ( ) ( ) B2k 1 = B2k 0 = B2k. 现在定义以 1 为周期的函数 B (x): k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − = = = − = − = k i k i t xt i t t k t t xt k e e t i k e te B x 0 0 0 0 . 1 1 ( ) = − = k i k i k i B x i k B x 0 . ( ) ( ) ( ) = = + = = 0 0 1 . ! ! , j j j j j j t j B x t j B x H x t dx d ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ). 1 1 1 , 1 H x t e t e e te H x t t x t t x t = − − − = − − = − − − ( ) ( ) ( ) = = = − − 0 0 . ! ! 1 j j j j j j t j B x t j B x
「B(x)0≤x≤1 B(x-1) ≥1 定 理 Euler-Maclaurin 公式 设 m20n≥1h=(b-a)/m,x=a+jj=0…,n若f(x)∈C2mab则下述 Euler-Maclaurin公式成立 八1号0+++…++(m Bah (2/) (4.7) (2m+2) (2m+2) h 证明应用 Bernoull多项式的性质, 广"(=小(a+m)h=+10k hl(a+thB,I-h Irlath)B,(dt 2D(o+(a+)2/(+gk h (a)+f(a+h)-[(a+mh)B2() f"+th)B, ( d ((a)+f(a+h)-B2(/(a+b)-f(a) 方3 "(a+h)B3( h (a)+/(a+1)-∑ Bh (2k) (-(a+h)-他u(2m3 (2m+2) SBm2(0) /(2m2)(a+th)dt 其中求和号下的最后一项,可化为 B,h m+(a+h)-(2m+(a) B,h frim)(a+th)dt
定理（ Euler-Maclaurin 公 式 ） 设 m 0,n 1,h (b a) n, x a j h, j 0, ,n. = − j = + = 若 ( ) , , 2 2 f x C a b m+ 则下述 Euler-Maclaurin 公式成立： (4.7) 证明 应用 Bernoulli 多项式的性质， ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = + a h a f x dx h f a th dt h f a th B t dt 1 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = + − + 1 0 1 2 1 0 1 h f a th B t h f a th B t dt ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − + 1 0 2 2 2 2 f a th B t dt h f a f a h h ( ( ) ( )) ( ) ( ) 0 1 2 2 2 2 f a th B t h f a f a h h = + + − + ( ) ( ) + + 1 0 2 3 2 f a th B t dt h ( ( ) ( )) B (f (a h) f (a)) h f a f a h h = + + − + − 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) + + − + 1 0 3 4 3 3 0 6 1 6 f a th B t dt h f a th B t h ( ( ) ( )) ( ) + = = = + + − 1 0 2 2 2 2 ! m k h k k B h f a f a h h ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 ! 2 2 1 0 2 2 2 3 2 1 2 1 B t f a t h dt m h f a h f a m m m k k + + + − + + + + − − （4.8） 其中求和号下的最后一项，可化为 ( ) ( ) ( ) − = 1 , 1. , 0 1, B x x B x x B x k k k ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) − + + + + + − + b a f x dx h f a f a h f a n h f b 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − = − − m j j j j j f b f a j B h 1 2 1 2 1 2 2 2 ! ( ) ( ) ( ) + + + + − − + + b a m m m m B f x dx h x a B m h . 2 2 ! 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (f a h f (a)) m B h m m m m 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ! + + + + + − + ( ) ( ) ( ) + + = + + + 1 0 2 2 2 3 2 2 . 2 2 ! f a th dt m B h m m m