第五章数值积分 教学目的及要求 掌握 Newton- Cotes公式、 Romberg方法、 Euler- Maclaurin公式、 Gauss 型求积公式等数值积分公式及方法。 §1.数值积分的一般概念 本章讨论定积分的近似计算问题。从微积分学中我们知道能够利用 Newton-Leibni 公式 /(k=( 去计算的定积分是很少的。事实上,在实际问题中,我们常常无法利用初等函数 去表出原函数∫f(x例如,对于概率积分与椭圆积分 (0≤t<∞) 和 E()=1+ 0≤t≤2x) 来说,我们便遇到了上述的困难。因此不能不考虑定积分的近似计算问题。 以下,我们所讨论的求积公式绝大多数具有如下形式: px)(xx≈∑A/(xk)(1.1) k=1 其中x为求积公式的结点,A为求积系数。通常,称右端的和为求积和; 又称 E/]=px)(xk-∑4(x) 为求积误差。有时,也将求积公式写成 p(x)/(xtx=∑4(x)+E[/门
第五章 数值积分 教学目的及要求： 掌握 Newton-Cotes 公式、Romberg 方法、Euler-Maclaurin 公式、Gauss 型求积公式等数值积分公式及方法。 §1．数值积分的一般概念 本章讨论定积分的近似计算问题。从微积分学中我们知道能够利用 Newton-Leibni 公式 ( ) ( ) x b x a b a f x dx f x dx = = = 去计算的定积分是很少的。事实上，在实际问题中，我们常常无法利用初等函数 去表出原函数 ( ) f x dx.例如，对于概率积分与椭圆积分 和 ( ) ( ) = + t E t k xdx t 0 2 2 1 sin 0 2 来说，我们便遇到了上述的困难。因此不能不考虑定积分的近似计算问题。 以下，我们所讨论的求积公式绝大多数具有如下形式： （1.1） 其中 k x 为求积公式的结点， Ak 为求积系数。通常，称右端的和为求积和； 又称 为求积误差。有时，也将求积公式写成 ( ) (0 ), 2 0 2 = − P t e dx t t x ( ) ( ) ( ) = b a n k k k x f x dx A f x 1 , ( ) ( ) ( ) = = − b a n k k k E f x f x dx A f x 1 ( ) ( ) ( ) = = + b a n k k k x f x dx A f x E f 1
在(1.1)式中,ab是实直线上的有限或无限的空间;函数p(x)是已知的 固定的函数且常常是p(x)=1,以后我们将称它为权函数。此外,我们还假定积 分 ∫,p)/(广p(rt(m=012) 总是存在的,并且函数(x)在点x12…x处是有定义的。 一般说来,求积公式(1.1)中的结点x和系数A可以按所希望的方式随意 选取(除非是被积函数仅在一离散点集上是已知的,那时只好限制从离散点集中 去选取x了)。自然,我们总是希望通过x和A的选取使得在某种意义下求积 误差尽可能地小 概括来说,数值积分问题可分解为下述的三个主要问题 (1)求积公式的具体构造问题; (2)精确性程度的衡量标准问题; (3)余项估计问题(亦即,误差估计问题) 为了解决第一个问题,我们必须考虑结点x1,x2…xn和求积系数A,A2…,An的 决定(或选择)问题。为了合理的解决第二个问题,我们将引进代数精度的概念 至于第三个问题,则主要是借助于内插多项式的余项估计公式来解决。 由第一章的 Weierstrass多项式逼近定理可知,对于闭区间上的连续函数,都 可以用多项式去一致地逼近它。换句话说,任一连续函数都可以用多项式作为它 的最简单的近似函数,一般说来,多项式的次数取得越高,用它们来近似连续函 数的程度也就越高。这自然使我们想到利用多项式的次数去规定求积公式的精确 性程度(所谓代数精度)。 代数精度的概念是这样:就形如(1.1)式的求积公式来说,假如对 f(x)=1x,x2…,x"(或次数≤m的多项式),公式衡精确地成立(亦即E小]=0), 而当f(x)=xm时公式不精确成立,则称公式(11)的代数精度为m。容易看 出,m越大,则就一般的连续函数∫(x)而言,公式(11)的右端数值与左端积 分值的接近程度也就越高。事实上,当m越大时,用次数不高于m的多项式(例 如p(x)去近似x亦就越好,即maxf(x)-p(x)=S叫|便越小,因而公式(1)
在（1.1）式中，[a,b]是实直线上的有限或无限的空间；函数 (x) 是已知的 固定的函数且常常是 (x) 1 ，以后我们将称它为权函数。此外，我们还假定积 分 ( ) ( ) , ( ) ( = 0,1,2,) x f x dx x x dx m b a b a m 总是存在的，并且函数 f (x) 在点 n x , , x 1 处是有定义的。 一般说来，求积公式（1.1）中的结点 k x 和系数 Ak 可以按所希望的方式随意 选取（除非是被积函数仅在一离散点集上是已知的，那时只好限制从离散点集中 去选取 k x 了）。自然，我们总是希望通过 k x 和 Ak 的选取使得在某种意义下求积 误差尽可能地小。 概括来说，数值积分问题可分解为下述的三个主要问题： （1） 求积公式的具体构造问题； （2） 精确性程度的衡量标准问题； （3） 余项估计问题（亦即，误差估计问题）。 为了解决第一个问题，我们必须考虑结点 n x , x , x 1 2 和求积系数 A A An , , , 1 2 的 决定（或选择）问题。为了合理的解决第二个问题，我们将引进代数精度的概念。 至于第三个问题，则主要是借助于内插多项式的余项估计公式来解决。 由第一章的 Weierstrass 多项式逼近定理可知，对于闭区间上的连续函数，都 可以用多项式去一致地逼近它。换句话说，任一连续函数都可以用多项式作为它 的最简单的近似函数，一般说来，多项式的次数取得越高，用它们来近似连续函 数的程度也就越高。这自然使我们想到利用多项式的次数去规定求积公式的精确 性程度（所谓代数精度）。 代数精度的概念是这样：就形如（1.1）式的求积公式来说，假如对 f (x) x x x (或次数 m的多项式) m =1, , , , 2 ，公式衡精确地成立（亦即 Ef = 0 ）， 而当 ( ) +1 = m f x x 时公式不精确成立，则称公式（1.1）的代数精度为 m。容易看 出，m 越大，则就一般的连续函数 f (x) 而言，公式（1.1）的右端数值与左端积 分值的接近程度也就越高。事实上，当 m 越大时，用次数不高于 m 的多项式（例 如 p(x)）去近似 f(x)亦就越好，即 ( ) ( ) m a x b f x − p x = max 便越小，因而公式（1.1）
的误差亦就越小。理由是, p(x)(xx-∑4f( ≤Jp(x)6n+∑A415n 由此可见,引进代数精度的概念作为衡量求积公式的精确性是十分自然的 下面的定理说明了具有代数精度的求积公式的存在性。 定理1对于任意给定的n个不同的结点x1…,xn,有常数A1,…An使 得当/(x)是次数≤n-1的多项式时求积公式(1.)精确成立,亦即 ∫p()/(xk=∑4,/(x) 证明设已给定点x1…,xn,并且pn(x)是函数f(x)在这些点上的 Lagrange 差值多项式,亦即 r(x)=pn(x)+EL; xI 此处 Pn(x)=∑(x)(x l(x)=o(x)(r-xx o'(x ),(x)=(x-x).(x-x, 于是 广)(k=(n(+C( (1.2) 定义 Ak=∫(xkk=1…,n 则(1.2)式变为 ∫p)/(k=∑4()+[(x)L 但是,若/(x)=qn(x)是次数≤n-1的多项式,则∫(x)=pn(x)。这意味着 E/x]=0故 ∫p(x[;x女=0 证毕 注意,上述定理并没有要求x一定要属于区间ab另外,定理只是断言了
的误差亦就越小。理由是， ( ) ( ) ( ) = = − b a n k m k k x f x dx A f x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = − − − b a n k k k k x f x p x dx A f x p x 1 ( ) = + b a n k m dx Ak m x 1 . 由此可见，引进代数精度的概念作为衡量求积公式的精确性是十分自然的。 下面的定理说明了具有代数精度的求积公式的存在性。 定理 1 对于任意给定的 n 个不同的结点 n x , , x 1 ，有常数 A An , , 1 使 得当 f (x) 是次数 n −1 的多项式时求积公式（1.1）精确成立，亦即 ( ) ( ) ( ). 1 = = n k k k b a x f x dx A f x 证明 设已给定点 n x , , x 1 ，并且 p (x) n−1 是函数 f(x)在这些点上的 Lagrange 差值多项式，亦即 ( ) ( ) ; , 1 f x p x E f x = n− + 此处 ( ) ( ) ( ) = − = n k n k k p x l x f x 1 1 , ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). k k k 1 n l x = x x − x x x = x − x x − x 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + b a b a n b a x f x dx x p x dx x E f ; x dx. 1 （1.2） 定义 ( ) ( ) = = b a AK x l k x dx(k 1,,n), 则（1.2）式变为 ( ) ( ) ( ) ( ) = = + n k b a k k b a x f x dx A f x x E f x dx 1 ; . 但是，若 f (x) q (x) = n−1 是次数 n −1 的多项式，则 f (x) p (x) n−1 。这意味着 Ef ; x 0, 故 ( ) = b a x E f ; x dx 0. 证毕。 注意，上述定理并没有要求 k x 一定要属于区间[a,b].另外，定理只是断言了
当A4由(1.3)式决定时,公式(1.1)对于一切次数≤n-1的多项式是精确的。 换言之,定理1说明了公式(1.1)的代数精度d≥n-1 以后,我们称求积系数由(1.3)式决定的求积公式为插值型求积公式。由 于对次数不超过n次的任意多项式f(x)说来,E;=0所以n个结点的插值 型求积公式的代数精度d≥n-1.反之,容易证明,代数精度d≥n-1的n个结点 的求积公式一定是插值型求积公式。事实上,因 Lagrange插值基本多项式 l(x)∈P1,而因求积公式的代数精度d≥n-1,因此该求积公式对l4(x) 必精确成立,即((x)=∑41()=41,k=1…n特别,当x(k=1…,m 属于[ab]时,我们称公式 )/(x)x≈∑Af(x) (1.5) 为内插型求积公式,其中求积系数由下式确定 olx (x-xx o'(x dx(k=1,…,n) (16) §2. Newton- Cotes公式 设[ab]是 有限区间 p(x)=1令 h=(b-a)/n,x0=ax1=a+h…xn=a+m=b依定理1,有常数A使得求积公 式 f/(a=∑4/(x) 对于一切次数≤n的多项式是精确的。事实上,当A由(16)式决定时(注意, 此时 o(x)=(x-x0x-x1)(x-xn)k=0.1…n)上述求积公式的代数精度d≥n,以 后,我们称N个结点的内插型求积公式为N点的 Newton- Cotes公式。通常,称 一个结点的 Newton- Cotes公式 f(xk=(b-a)/(a)+E小
当 Ak 由（1.3）式决定时，公式（1.1）对于一切次数 n −1 的多项式是精确的。 换言之，定理 1 说明了公式（1.1）的代数精度 d n −1. 以后，我们称求积系数由（1.3）式决定的求积公式为插值型求积公式。由 于对次数不超过 n-1 次的任意多项式 f (x) 说来， Ef ; x 0, 所以 n 个结点的插值 型求积公式的代数精度 d n −1. 反之，容易证明，代数精度 d n −1 的 n 个结点 的求积公式一定是插值型求积公式。事实上，因 Lagrange 插值基本多项式 ( ) k Pn−1 l x ，而因求积公式的代数精度 d n −1, 因此该求积公式对 l (x) k 必精确成立，即 ( ) ( ) ( ) = = = = b a n j x l k x dx Aj l k x j Ak k n 1 , 1,, .特别，当 x (k n) k =1, , 属于[a,b]时，我们称公式 ( ) ( ) ( ) = b a n k k k x f x dx A f x 1 （1.5） 为内插型求积公式，其中求积系数由下式确定： ( ) ( ) ( ) ( ) = − = b a k k k dx k n x x x x x A ( 1,, ). （1.6） §2．Newton-Cotes 公式 设 [a,b] 是 一 有 限 区 间 ， (x) 1 令 ( ) , , , , . h = b − a n x0 = a x1 = a + h xn = a + nh = b 依定理 1，有常数 AK 使得求积公 式 ( ) ( ) = b a n k k k f x dx A f x 0 （2.1） 对于一切次数 n 的多项式是精确的。事实上，当 Ak 由（1.6）式决定时（注意， 此时 ( ) ( )( ) ( ); 0,1, , ), x = x − x0 x − x1 x − xn k = n 上述求积公式的代数精度 d n, 以 后，我们称 N 个结点的内插型求积公式为 N 点的 Newton-Cotes 公式。通常，称 一个结点的 Newton-Cotes 公式 ( ) ( ) ( ) = − + b a f x dx b a f a E f （2.2）
为矩形公式;称2个结点的 Newton- Cotes公式 ∫(k=2(b-a()+()+ED (23) 为梯形公式;称3个结点的 Newton-Cotes公式 f(]x="fl.4h a+b,h 2 +3(b)+E刀门(24) 为 Simpson公式。此处h=(b-a) 由多项式插值余项公式可知,梯形公式的求积误差为 EU)=f(a,b,xXx-aXx-bkdtx (2.5) 设f(x)有连续的二阶导数,由于当a≤x≤b时, (x-ax-b)≤0 所以对(25)式应用积分中值定理可知必有[ab]中的点和E2使得 ]=f(a, b,6d)r(x-aXx-bkdr (b-a) 12/Ve2) (26) 同理, Simpson公式(24)的求积误差为 EL]=f(a,b,c xXx-aXx-bX (27) 其中=2(a+b) 设(x)有四阶连续的导数,由于 (x-ckdr=I x-aNx一 b 故由分部积分公式和积分中值定理可得 E()=f(a, b,c, xA[(r-a)x-bPp rra,b,c, x, xex-a))]dx 1/(b(-a0(-)a foe(a<e<b) 2880 (28)
为矩形公式；称 2 个结点的 Newton-Cotes 公式 ( ) ( )( ( ) ( )) = − + + b a f x dx b a f a f b E f 2 1 （2.3） 为梯形公式；称 3 个结点的 Newton-Cotes 公式 ( ) ( ) ( ) + + + = + b a f b E f a b h f h f a h f x dx 3 2 3 4 3 （2.4） 为 Simpson 公式。此处 ( ). 2 1 h = b − a 由多项式插值余项公式可知，梯形公式的求积误差为 ( ) ( )( )( ) = − − b a E f f a,b, x x a x b dx. （2.5） 设 f (x) 有连续的二阶导数，由于当 a x b 时， (x − a)(x −b) 0, 所以对（2.5）式应用积分中值定理可知必有 a,b 中的点 1 和 2 使得 ( ) ( )( ) = − − b a E f f a b x a x b dx 1 , , ( ) ( ). 12 2 3 f b a − = − （2.6） 同理，Simpson 公式（2.4）的求积误差为 ( )( )( )( ) = − − − b a E f f a,b,c, x x a x b x c dx, （2.7） 其中 ( ). 2 1 c = a + b 设 f (x) 有四阶连续的导数，由于 ( ) ( )( ), 2 1 x − c dx = d x − a x − b 故由分部积分公式和积分中值定理可得 ( ) ( ) ( )( ) = − − b a E f f a b c x d x a x b 2 , , , 4 1 ( )( )( ) = − − b a f a b c x x x a x b dx 2 , , , , 4 1 ( ) ( ) ( ) = − − b a f a b c x a x b dx 2 2 1 1 , , , , 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ). 2880 4 5 f a b b a − = − （2.8）