《数值逼近》第七章 样条逼近方法

第七章 样条逼近方法 教学目的及要求: 掌握样条函数及性质、B-样条及性质、三次样条插值。 借助于多项式来逼近,虽然有很多优点,但由于多项式乃幂级数的特例,其在 点附近的性质足以决定它的整体性质。然而自然界较大范围内的许多现象,如物理或 生物现象间的关系往往呈现互不关联、互相割裂的本性。亦即在不同区域中,它们的 性状可以完全不相关。另一方面,从数学上讲,例如在多项式插值理论中,具有n个 插值点的一元插值多项式是一个n-1次的多项式,它可能有n-3个拐点。这对于比较 平滑的函数来说就不是那么理想了 本章介绍的样条(函数)是一种分段多项式,各相邻段上的多项式之间又具有某 中连接性质。因而它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性,又在各段之间保持了 相对独立的局部性质。数十年来的理论和实践表明,样条是一类特别有效的逼近工具 §1.样条函数及其基本性质 设给定一组结点 ∞=x0<x1<…<xN<xN+!=∞ 又设分段函数S(x)满足条件 于每个区间x,x(=0…N)上,(x是一个次数不超过n的实 系数代数多项式; 2.S(x)于(-∞,∞)上具有一直到n-1阶的连续导数。 则称y=S(x)为n次样条函数。常把以(1.1)为结点的n次样条函数的总体记为 Sn(x1,x2…xN).x1,…,x称为样条结点

第七章 样条逼近方法 教学目的及要求： 掌握样条函数及性质、B-样条及性质、三次样条插值。 借助于多项式来逼近，虽然有很多优点，但由于多项式乃幂级数的特例，其在一 点附近的性质足以决定它的整体性质。然而自然界较大范围内的许多现象，如物理或 生物现象间的关系往往呈现互不关联、互相割裂的本性。亦即在不同区域中，它们的 性状可以完全不相关。另一方面，从数学上讲，例如在多项式插值理论中，具有 n 个 插值点的一元插值多项式是一个 n-1 次的多项式，它可能有 n-3 个拐点。这对于比较 平滑的函数来说就不是那么理想了。 本章介绍的样条（函数）是一种分段多项式，各相邻段上的多项式之间又具有某 中连接性质。因而它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性，又在各段之间保持了 相对独立的局部性质。数十年来的理论和实践表明，样条是一类特别有效的逼近工具。 § 1. 样条函数及其基本性质 设给定一组结点 −  = x0  x1  xN  xN+1 =  （1.1） 又设分段函数 S(x)满足条件： 1． 于每个区间  , ( 0 , , ) x j x j+1 j =  N 上，S(x)是一个次数不超过 n 的实 系数代数多项式； 2． S(x)于 (− ,) 上具有一直到 n-1 阶的连续导数。 则称 y = S(x) 为 n 次样条函数。常把以（1.1）为结点的 n 次样条函数的总体记为 n N N S (x , x , x ) . x , , x 1 2  1  称为样条结点

个(奇次)2n-1次样条函数y=S(x),如果起在区间(-∞,x1]与[xx,∞)上的表 达式都是n-次多项式(并不要求该两个n-1次多项式相同),则特别称之为2n-1次 的自然样条函数。以(1.1)为结点的2n-l次自然样条函数的总体记为 N2n1(x1,x2…,xx)显然 N2n1(x1,x2…xN)cS2-1(x1,x2…x).(1 下面来给出样条函数类S2n1(x1,x2…,x)中任一样条函数的一般表达式。 对于任意给定的以(1.1)为结点的n次样条函数S(x)∈S2n-(x1,x2…xN),根据 定义,其在每个子区间x,x小=0,…N)上均为一n次多项式。特别地,于子区间 (-∞,x]内是一n次多项式。不妨设该多项式为pn(x)∈P 今考虑S(x于[x1,x2]上的表达式。由定义,S(x)于[x,x]上的表达式仍为一个n 次多项式。若设该n次多项式为qn(x),并考虑下述n次多项式的性质: n(x=q,(x)-p,(x) 按n次样条函数的定义,Pn(x)与qn(x)于点x=x处的值以及1阶、2阶、一直到n1 阶导数值皆相等: P"(x)=(x)(i=0,…,n-1), 亦即 (x1)=0(i=0,…,n-1) 是故x=x是m(x)含(x-x1)”这个因子。由于m(x)是一n次多项式,所以存在某常数c1 使得 7(x)=c1(x-x1) (1.3) 亦即 q, (x)=P,(x)+C(x-x,)

一个（奇次）2n-1 次样条函数 y = S(x) ，如果起在区间 ( , ] [ , ) − x1 与 xN  上的表 达式都是 n-1 次多项式（并不要求该两个 n-1 次多项式相同），则特别称之为 2n-1 次 的 自 然 样 条 函 数 。 以 （ 1.1 ） 为 结 点 的 2n-1 次 自 然 样 条 函 数 的 总 体 记 为 ( , , ) . 2n 1 1 2 N N x x  x − 显然 ( , , ) ( , , ) . 2n 1 1 2 N 2n 1 1 2 N N x x  x S x x  x −  − （1.2） 下面来给出样条函数类 ( , , ) 2n 1 1 2 N S x x  x − 中任一样条函数的一般表达式。 对于任意给定的以（1.1）为结点的 n 次样条函数 ( ) ( , , ) , 2n 1 1 2 N S x S x x  x  − 根据 定义，其在每个子区间  , ( 0, , ) x j x j+1 j =  N 上均为一 n 次多项式。特别地，于子区间 ( , ] 1 − x 内是一 n 次多项式。不妨设该多项式为 n Pn p (x) 。 今考虑 S(x)于   1 2 x , x 上的表达式。由定义，S(x)于   1 2 x , x 上的表达式仍为一个 n 次多项式。若设该 n 次多项式为 q (x) n ，并考虑下述 n 次多项式的性质： (x) q (x) p (x) .  = n − n 按 n 次样条函数的定义， p (x) n 与 q (x) n 于点 1 x = x 处的值以及 1 阶、2 阶、一直到 n-1 阶导数值皆相等： ( ) ( ) ( 0, , 1) , 1 ( ) 1 ( ) p x =q x i = n − i n i n  亦即 ( ) 0 ( 0, , 1) . 1 ( ) x = i = n −  i  是故 1 x = x 是 (x) 含 n (x x ) − 1 这个因子。由于 (x) 是一 n 次多项式，所以存在某常数 1 c 使得 ( ) ( ) , 1 1 n  x = c x − x （1.3） 亦即 ( ) ( ) ( ) . 1 1 n n n q x = p x + c x − x （1.4）

它说明Sx厅于区间区x,x]上的表达式恰为其前一区间上的表达式加上(x-x1)的某 常数倍。这样一来,S(x)于(-∞,x2]上的统一表达式应为 S(x) P <xsx Pn(x)+C,(x-xu) x1≤x≤x (1.5) 为把(1.5)写成一个统一的表达式,引入记号 x>0 (0,x) 0.x≤0 (1.6) x=(x ) 则(1.5)所示的S(x)又可紧凑地表示为 S(x)=Pn(x)+c1(x-x1)"(-∞<x≤x2) 继续采用这种分析方法,可得S(x)于整个实轴上的表达式为 S(x)=P,(x)+C(x-x)( ≤x2).(1.7) 此即为下述定理所叙述的事实 定理1任一S(x)∈Sn(x1,x2,…,xN)均可唯一地表现为 S(x)=Pn(x)+2c(x-x)(00<xs (18) 其中Pn(x)∈P,c/(=1,…N)为实数 显然,由(1.8)式所给出的任一函数S(x)必然满足n次样条函数的定义,亦即 S(x)∈Sn(x1,x2,…,x)因而定理1可进一步写成 定理2为使S(x)∈Sn(x1,x2,…,xx),必须且只须存在pn(x)∈P和N个实数 C1, C2 使得(1.8)成立 S(x)=P2(x)+∑c(x-x)1(-0<x≤∞) 定理1和定理2说明函数系

它说明 S(x)于区间   1 2 x , x 上的表达式恰为其前一区间上的表达式加上 n (x x ) − 1 的某一 常数倍。这样一来，S(x)于 ( , ] 2 − x 上的统一表达式应为    + −   −    = ( ) ( ) , . ( ) , , ( ) 1 1 1 2 1 p x c x x x x x p x x x S x n n n （1.5） 为把（1.5）写成一个统一的表达式，引入记号 ( ) , 0 , 0. , 0 , max( 0, ) m m x x x x x x x + + + =      = = （1.6） 则（1.5）所示的 S(x)又可紧凑地表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 S x p x c x x x x n = n + − + −   继续采用这种分析方法，可得 S(x)于整个实轴上的表达式为 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 S x p x c x x x x n = n + − + −   （1.7） 此即为下述定理所叙述的事实。 定理 1 任一 ( ) ( , , , ) n 1 2 N S x  S x x  x 均可唯一地表现为 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 = = + − + −    N j n n j j S x p x c x x x （1.8） 其中 p (x) P ,c ( j 1, , N) n  n j =  为实数。 显然，由（1.8）式所给出的任一函数 S(x)必然满足 n 次样条函数的定义，亦即 ( ) ( , , , ) . n 1 2 N S x  S x x  x 因而定理 1 可进一步写成 定理 2 为使 ( ) ( , , , ) n 1 2 N S x  S x x  x ，必须且只须存在 n Pn p (x) 和 N 个实数 N c ,c , ,c 1 2  ，使得（1.8）成立： = = + − + −    N j n n j j S x p x c x x x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 定理 1 和定理 2 说明函数系

1.x,x x.x-x (19) 构成n次样条函数类Sn(x1,x2,…,x)的一组基底 由(12)和定理2可知,任一S(x)∈N2n(x1,x2,…,xN)均可表示为 S(x)=Pn1(x)+∑c(x-x)2(-m<x≤∞) (1.10) 其中pn-1(x)∈P=1 当然,一函数S(x)只是满足(1.10)还不足以保证它一定是一个自然样条函数。 因为它在[xx,∞)上是否为一个n1次的多项式尚不能保证,为保证这点,便须要求 S(x)于[xx,∞)中的表达式 Pn(x)+∑c1(x-x)m 亦为一n-1次多项式。即要求上述求和号这一项中n次以上的各方幂项之系数为0。 但 2(F2(m 2n-1 ∑(-) 2n-1-i 要求上式中x",…,x2m的系数为0,即得 ∑cx=0(k=01 定理3为使S(x)∈N2n1(x1,x2…x),必须且只须存在pn1(x)∈P-1和满足 线性约束(1.11)的实数c1,c2…,cN,使得

n N n n x x x x x x x − + − + 1, , , , ,( ) , ,( ) 1 2   （1.9） 构成 n 次样条函数类 ( , , , ) n 1 2 N S x x  x 的一组基底。 由（1.2）和定理 2 可知，任一 ( ) ( , , , ) 2n 1 1 2 N S x N x x  x  − 均可表示为 = − = − + − + −    N j n n j j S x p x c x x x 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) （1.10） 其中 ( ) . n−1  Pn−1 p x 当然，一函数 S(x)只是满足（1.10）还不足以保证它一定是一个自然样条函数。 因为它在 [ ,) N x 上是否为一个 n-1 次的多项式尚不能保证，为保证这点，便须要求 S(x)于 [ ,) N x 中的表达式 = − − + − + N j n n j j p x c x x 1 2 1 1 ( ) ( ) 亦为一 n-1 次多项式。即要求上述求和号这一项中 n 次以上的各方幂项之系数为 0。 但 . 2 1 ( 1) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 1 2 1 2 1 0 1 1 2 1 2 1 0 2 1 1 2 1 0 2 1 1        = − − − = − = − − − = − − = − = − =         − = − −         − = −         − = − N j n i j j i n i i N j n i j j i n i n i j i N j n i j n N j j j x c x i n x c x i n x x i n c c x x 要求上式中 2 1 , , n n− x  x 的系数为 0，即得 0 ( 0,1, , 1) . 1 = = = − N j k c j x j k  n （1.11） 定理 3 为使 ( ) ( , , , ) 2n 1 1 2 N S x N x x  x  − ，必须且只须存在 1 1 ( ) n−  Pn− p x 和满足 线性约束（1.11）的实数 N c ,c , ,c 1 2  ，使得

S(x)=P1(x)+∑c(x-x)(-0<x≤o) (1.12) 下面讨论样条函数的积分关系式。先给出 定理4设S(x)由(1.8)所给出,其中n=2k-1,且 a<x1<x,<…<xN<b 又设f(x)满足下述三性质 1.f(x)∈Ck[ab]且f(x)于每个开区间(x,xn)(=0,…N)(x=axN=b) 内连续; f-(x)S()(x)=0(r=01,…,k-2 b): 3.f(a)S2k-)(a+0)=f(b)S2k(b-0),则 x) 1)(2k-1)∑cf(x) (1.14) 证明逐次采用分部积分法,有 f(x)s(x)dx ∑(-)r-"(bs(b)-y-"(a)s"(a (1.15) +(-1)f(x)S2=)(x 按条件2,上式右端的求和项等于0。因为S2k-(x)是一个阶梯函数,所以(1.15) 右端积分可表为下面积分的和: n,I f'(x)dx=n, f(x)-f(x)] 其中n是S2(x)于(x,x1)中的值(为常数)。将(116)右端部分对I求和并重新 整理项,给出 ∑f(x) (x+0小+f(b)s2-(b-0)-f(a)S

= − = − + − + −    N j n n j j S x p x c x x x 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) （1.12） 下面讨论样条函数的积分关系式。先给出 定理 4 设 S(x)由（1.8）所给出，其中 n=2k-1,且 . a  x1  x2  xN  b （1.13） 又设 f(x)满足下述三性质： 1． f x C a b k ( ) , −1  且 ( ) ( ) f x k 于每个开区间 ( , ) ( 0, , ) ( , ) xi xi+1 i =  N x0 = a xN+1 = b 内连续； 2. ( ) ( ) 0 ( 0,1, , 2; , ) ( 1) ( ) f x S x r k x a b k r k r = = − = − − +  ; 3. ( ) ( 0) ( ) ( 0) (2 1) (2 1) + = − − − f a S a f b S b k k ,则 ( ) ( ) ( 1) (2 1)! ( ) . 1 ( ) ( )  = = − − N i i i b a k k k f x S x dx k c f x （1.14） 证明 逐次采用分部积分法，有   ( 1) ( ) ( ) . ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ' (2 1) 2 0 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )    − − − = − − + − − + + − = − − b a k k k r r k r k r k r k r b a k k f x S x dx f b S b f a S a f x S x dx （1.15） 按条件 2，上式右端的求和项等于 0。因为 ( ) (2 1) S x k− 是一个阶梯函数，所以（1.15） 右端积分可表为下面积分的和： ( )  ( ) ( ) , 1 1 '  + = + − i i x x i i i i  f x dx  f x f x （1.16） 其中 i 是 ( ) (2 1) S x k− 于 ( , ) i i+1 x x 中的值（为常数）。将（1.16）右端部分对 I 求和并重新 整理项，给出 ( ) ( 0) ( 0) ( ) ( 0) ( ) ( 0) . (2 1) (2 1) 1 (2 1) (2 1) − − + + − − + − − = − −  f x S x S x f b S b f a S a k k N i i k i k i （1.17）