《数值逼近》第五章 数值积分

从 Simpson公式的求积误差公式(28)可以看出, Simpson公式的代数精度是3 从公式(26)和(28)看出,对给定的被积函数f(x)而言,当积分区间缩 短时,求积误差以更快的速度减小。因此,在实际计算中为了保证计算的精度, 往往首先用分点。 x;=a+i(b-a)/n (=0,1…,n) 将区间[ab]分成n个相等的子区间 xo,x,lx,, x 2 而后对每个子区间再应用梯形公式(23)或 Simpson公式(24)。例如,对每个 子区间应用梯形公式(23),得到 "/(k=2()+(n)1(2)r) 于上式中舍掉余项并对i从0到n-1求和,可得一个新的求积公式 b f(a)+f(6)+2∑fa+ ef s 上述求积公式的误差是 E (2.10) 12 若∫(x)连续,由于6均为[a]的内点,所以由中值定理有 ()=∑∫(e)(a<E<b) 将其代入(2.10)式,得到 E 公式(29)称为复化梯形公式,求积误差由(2.11)式确定 同样,我们可以建立复化 Simpson公式。用分点 a+j (b-a)/2n =0,1,…,2n 将叵b分为2n等分。然后,在每个子区间 [x0,x2][x2,x:}…[ n-23 上应用 Simpson公式并求和,得到

( ) ( ) ( ) 2 . (2.9) 2 2 1 1 n b a n i def S n b a f a f b f a i n b a f x dx                 − + + + −  − =    ( ) − =        − = − 1 0 3 . (2.10) 12 1 n i n i f n b a E f  从 Simpson 公式的求积误差公式（2.8）可以看出，Simpson 公式的代数精度是 3。 从公式（2.6）和（2.8）看出，对给定的被积函数 f (x) 而言，当积分区间缩 短时，求积误差以更快的速度减小。因此，在实际计算中为了保证计算的精度， 往往首先用分点。 x a i(b a) n (i n) i = + − = 0,1,  , 将区间 a,b 分成 n 个相等的子区间：  , , , , , , , 0 1 1 2 n 1 n x x x x x x  − 而后对每个子区间再应用梯形公式（2.3）或 Simpson 公式（2.4）。例如，对每个 子区间应用梯形公式（2.3），得到 ( ) ( ( ) ( )) ( ). 12 1 2 1 3 1 i x x i i i i f n b a f x f x n b a f x dx   +        − + − − = + 于上式中舍掉余项并对 i 从 0 到 n-1 求和，可得一个新的求积公式 上述求积公式的误差是 若 f (x) 连续，由于 i  均为 a,b 的内点，所以由中值定理有 将其代入（2.10）式，得到 （2.11） 公式（2.9）称为复化梯形公式，求积误差由（2.11）式确定。 同样，我们可以建立复化 Simpson 公式。用分点 x a j(b a) n ( j n) j = + − 2 = 0,1,  ,2 将 a,b 分为 2n 等分。然后，在每个子区间       n n x x x x x x 0 2 2 4 2 2 2 , , , , , ,  − 上应用 Simpson 公式并求和，得到   ( ) ( ). 12 2 3 f  n b a E f n  − = − ( )  ( ) ( ) − =  =    1 0 . 1 n i f i a b n f   

6/(a)+/()+4 a+(2i+) 2 (2.12) a+I b-a]+ Earl 其中 E ∑f(,) 2880 f((a<5<b 13 关于 Simpson型求积,还有一类4点 Simpson38求积公式: a+2b)3 它也具有3次代数精度。 如下的Bode求积公式具有5次代数精度,它有5个求积结点: f()dx b-a14 643a+b).242a+2b 445 fla) 4 4 64(a+3b)14 f(b 4 递推关系是数值方法的重要技巧,它具有结构紧凑和便于在计算机上实现的特 点。下面,仅以梯形公式为例介绍一下所谓的逐次分半算法。 首先在整个区间[b上应用梯形公式算出积分近似值T;然后将[二等 分,对n 应用复化梯形公式算出T;再将每个小区间二等分(即将[ab四等分),对n=4

（2.12） 其中 关于 Simpson 型求积，还有一类 4 点 Simpson 3 8 求积公式： （2.14） 它也具有 3 次代数精度。 如下的 Bode 求积公式具有 5 次代数精度，它有 5 个求积结点： （2.15） 递推关系是数值方法的重要技巧，它具有结构紧凑和便于在计算机上实现的特 点。下面，仅以梯形公式为例介绍一下所谓的逐次分半算法。 首先在整个区间 a,b 上应用梯形公式算出积分近似值 T1 ；然后将 a,b 二等 分，对 n=2 应用复化梯形公式算出 T2 ；再将每个小区间二等分（即将 a,b 四等分），对 n=4 ( ) ( ) ( ) ( )                − +       +      +  +      + + − = b a f b a f b O a b f a b f a f b a f x dx , 8 3 3 3 2 8 9 3 2 8 9 8 3 3 4 5 ( ) ( )           +  +      + + − = b a a b f a b f a f b a f x dx 4 2 2 45 24 4 3 45 64 45 14 4 ( ) ( ) . 45 4 14 4 3 45 64 6 7               −  + +      + + f b a f b O a b f ( ) ( ) ( )          − + + + + − =  − = 1 1 2 4 2 1 6 n i n b a f a f b f a i n b a ( ) ( )   − = + = b a n i x x i i f x dx f x dx 1 0 2 2 2 2   , 2 1 1 E f n b a f a i n n i  +      − +  + − =   ( )  ( ) − =       − = − 1 0 4 5 2 2880 1 n i n i f n b a E f  ( ) ( ) ( ), . (2.13) 2880 1 4 4 5 f a b n b a   − = −  

应用复化梯形公式算出7;如此下去,直至相邻两个值之差小于允许误差为止。 应注意,在计算后面的Tn时可以利用前面算出的T的值: 2,2,2)2 2∑a+(2-) 1(+2aa+(-02a 2(n+H2)(216) 其中 ∑1a+(21-1)b-a)(217) 为复化中矩阵公式。应用公式(2.16)和(217)计算Tn时只要计算被积函数f(x) 在n个点处的值就可以了,可见递推算法减少了计算量。 现在,我们来看一·看为什么可以通过相邻两个近似积分值之差来控制计算过 程,令 =[/(x 则依(2.11)式可知 Ev]=I-T ∑∫Ve;) E-1=1(2)rv) 将两式相除并注意当n充分大时, b-aEr(e, =r(d Er(,)*5r"(kx 则得到 I-T ≈T2n+(T2n-Tn) (2.18) 上式说明,若两个相邻的积分近似值Tn与T2n之差为允许误差,则T2n与积分

应用复化梯形公式算出 T4 ；如此下去，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。 应注意，在计算后面的 T2n 时可以利用前面算出的 Tn 的值： （2.16） 其中 （2.17） 为复化中矩阵公式。应用公式（2.16）和（2.17）计算 T2n 时只要计算被积函数 f (x) 在 n 个点处的值就可以了，可见递推算法减少了计算量。 现在，我们来看一看为什么可以通过相邻两个近似积分值之差来控制计算过 程，令 ( )  = b a I f x dx, 则依（2.11）式可知 将两式相除并注意当 n 充分大时， 则得到 4, 2  − − n n I T I T ( ). 3 1 T2n T2n Tn I  + − （2.18） 上式说明，若两个相邻的积分近似值 Tn 与 T2n 之差为允许误差，则 T2n 与积分 ( ) ( ) ( ) ( )               −  + + −      − + + + − =   − = = 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 n i n i n n b a f a i n b a f a f b f a i n b a T ( )               − + − − = + = n i n n b a f a i n b a T 1 2 2 1 2 1 ( ), 2 1 = Tn + H2n  ( ) =       − + − − = n i n n b a f a i n b a H 1 2 2 2 1    ( ) − =        − = − = − 1 0 3 , 12 1 n i n n i f n b a E f I T     ( ) − =        − = − = − 2 1 0 3 2 2 . 12 2 1 n i n n i f n b a E f I T   ( ) ( )  − =    − 1 0 , n i b a f i f x dx n b a   ( ) ( )  − =    − 2 1 0 , 2 n i b a f i f x dx n b a 

精确值之差大约是允许误差的三分之一,因此计算可以至此为止。误差之此种估 计法称为后天估计(事后估计)。 对 Simpson公式也有类似的算法,于此不细说了。比较公式(2.9),(2.12) 和(216),可以得到复化 Simpson公式与梯形公式的如下关系 g方法 现在让我们比较一下复化梯形公式与复化 Simpson公式。复化梯形公式仅 对一次多项式精确成立,收敛速度是 而复化 Simpson公式对所有次数不 超过3的多项式精确成立,收敛速度是-。所以一般来说 Simpson公式要比 梯形公式好。然而如果我们用逐次分半算法计算了TT2,T4…则依(2.19)式顺 便就可以算出复化 Simpson公式的值S2,S4,…同样,用S2n和S作适当的线性 组合又可以得到更好的求积公式。这种用两个相邻的近似公式(其中一个公式是 由另一个公式的分半得到的)的线性组合而得到更好的近似公式的方法,就是近 代电子计算机上常用的 Romberg求积公式,也叫逐次分半加速法。形如(2.19) 的公式也叫逐次分半加速公式 公式(2.19)是有比较求积公式的系数得到的。下面想从另一个角度,即从近似 求积余项的分析来引出这种加速公式的一般形式。 令 1=f(kr 由复化梯形公式的余项 EUD]=1-7=(b 12n2/(e) E 12n)/Vm) 可以看出,4En[]-E[/]≈0对所有次数不超过2的多项式精确成立。因此 4(-72)-(-Tn)≈0 亦即 T=Tn-T 4-1 4-1 对所有次数不超过2的多项式精确成立。事实上,它就是 Simpson求积公式,它

精确值之差大约是允许误差的三分之一，因此计算可以至此为止。误差之此种估 计法称为后天估计（事后估计）。 对 Simpson 公式也有类似的算法，于此不细说了。比较公式（2.9），（2.12） 和（2.16），可以得到复化 Simpson 公式与梯形公式的如下关系： . 3 1 3 4 S2n = T2n − Tn （2.19） §3. Romberg 方法 现在让我们比较一下复化梯形公式与复化 Simpson 公式。复化梯形公式仅 对一次多项式精确成立，收敛速度是 2 1       n ；而复化 Simpson 公式对所有次数不 超过 3 的多项式精确成立，收敛速度是 4 1       n 。所以一般来说 Simpson 公式要比 梯形公式好。然而如果我们用逐次分半算法计算了 , , , T1 T2 T4,  则依（2.19）式顺 便就可以算出复化 Simpson 公式的值 , , . S2 S4  同样，用 S2n 和 S4n 作适当的线性 组合又可以得到更好的求积公式。这种用两个相邻的近似公式（其中一个公式是 由另一个公式的分半得到的）的线性组合而得到更好的近似公式的方法，就是近 代电子计算机上常用的 Romberg 求积公式，也叫逐次分半加速法。形如（2.19） 的公式也叫逐次分半加速公式。 公式（2.19）是有比较求积公式的系数得到的。下面想从另一个角度，即从近似 求积余项的分析来引出这种加速公式的一般形式。 令 ( )  = b a I f x dx. 由复化梯形公式的余项 可以看出， 4E2 f − E f   0 T n T n 对所有次数不超过 2 的多项式精确成立。因此 4( ) ( ) 0, I −T2n − I −Tn  亦即 对所有次数不超过 2 的多项式精确成立。事实上，它就是 Simpson 求积公式，它   ( ) ( ) f () n b a E f I T n T n  − = − = − 2 3 2 2 12 2   ( ) ( ), 12 2 3 f  n b a E f I Tn T n  − = − = − T n Tn T n Tn I 3 1 3 4 4 1 1 4 1 4 2 = 2 − − − − 

对所有的3次多项式也是精确成立的 同样由复化 Simpson公式的求积误差表达式 E。[]=-S2n= f(4)(a 2880n E=1-S,=(b=)2r“() 可以看出,42E[小-ED小]≈0对所有次数不超过4的多项是精确成立。因此 42(-Sn)-(-S2)≈0 亦即 S S2n记为C 对所有次数不超过4的多项是精确成立。这就是复化 Cotes公式。复化 Cotes公 式的余项为 (x)dx-C4n=945(4n)° 因此,实际上复化 Cotes公式(3.l)对5次多项式也是精确成立的 当n=1时,记y=几a+4则有 上式既是n=4时的 Newton- Cotes公式,也称为 Cotes公式 类似地,我们可以将复化 Cotes公式加速,从而得到更好的求积公式 依此类推,可以得到一系列逐次分半加速公式。它可表列如下 区间等分数逐次分半加速公式 代数精度 梯形公式(T公式) Simpson公式(S公式)

对所有的 3 次多项式也是精确成立的。 同样由复化 Simpson 公式的求积误差表达式 可以看出， 4 4   2   0 2 E f − E f  S n S n 对所有次数不超过 4 的多项是精确成立。因此 4 ( ) ( ) 0, 4 2 2 I − S n − I − S n  亦即 对所有次数不超过 4 的多项是精确成立。这就是复化 Cotes 公式。复化 Cotes 公 式的余项为 因此，实际上复化 Cotes 公式（3.1）对 5 次多项式也是精确成立的。 当 n=1 时，记 , 4       − = + b a y f a i i 则有 上式既是 n=4 时的 Newton-Cotes 公式，也称为 Cotes 公式。 类似地，我们可以将复化 Cotes 公式加速，从而得到更好的求积公式。 依此类推，可以得到一系列逐次分半加速公式。它可表列如下： 区间等分数 逐次分半加速公式 代数精度 n 梯形公式（T 公式）： Tn 1 2n Simpson 公式（S 公式）： S n T n Tn 4 1 1 4 1 4 2 2 − − − = 3   ( ) ( ) ( ), 2880 4 4 5 2 2 f  n b a E f I S n S n − = − = −   ( ) ( ) ( ) () 4 4 5 4 4 2880 2 f n b a E f I S n S n − = − = − (3.1) 4 1 1 4 1 4 2 4 2 2 4 2 S n S n C n I 记为 − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 945 4 2 6 6 7 4 f  n b a f x dx C n b a − − = −   2 4 2 2 2 4 4 1 1 4 1 4 C S S − − − = ( ) . 90 7 90 32 15 2 90 32 90 7 0 1 2 3 4       = b − a y + y + y + y + y