第一章 Weierstrass定理与线性算子逼近 教学目的及要求: 要求掌握基本 Weierstrass第一定理、 Weierstrass第二定理、线性正算子与 Koroy kin定理 如所知,逼近的目的,是用简单的函数来逼近复杂的函数本章讲述用多项式 序列逼近有界闭区间上连续函数的可行性 §1. Weierstrass第一定理 在实变函数的数学分析中,最重要的函数类实连续函数类Cab]与连续的周 期函数类C2x Cb是定义在某一闭区间b]上的一切连续函数所成的集合;C2x是定义 在整个实轴(-∞,∞)上的以2x为周期的连续函数全体所成的整体 定理1( Weierstrass)设f(x)∈C[ab,那么对于任意给定的E>0,都存在 这样的多项式P(x)使得 maxP(x)-f()<a a≤x≤b 关于这个著名的定理,现在已有好多个不同的证法,下面介绍 Bernstein的 构造证法 Bernstein证法:不妨假定函数的定义区间是[=0事实上通过如下的线性 代换 t=(6-akx+a 就能将ⅹ的区间0≤x≤1变换成t的区间a≤t≤b.同时,显而易见,x的多项式 将变成t的多项式,x的连续函数将变成t的连续函数因此只须就连读函数类
第一章 Weierstrass 定理与线性算子逼近 教学目的及要求： 要求掌握基本 Weierstrass 第一定理、Weierstrass 第二定理、线性正算子与 Korovkin 定理 如所知，逼近的目的，是用简单的函数来逼近复杂的函数.本章讲述用多项式 序列逼近有界闭区间上连续函数的可行性. §１．Weierstrass 第一定理 在实变函数的数学分析中，最重要的函数类实连续函数类 Ca,b 与连续的周 期函数类 C2 . Ca,b 是定义在某一闭区间 a,b 上的一切连续函数所成的集合； C2 是定义 在整个实轴 (− ,) 上的以 2 为周期的连续函数全体所成的整体. 定理 1（Weierstrass） 设 f (x) Ca,b，那么对于任意给定的 0 ，都存在 这样的多项式 P(x),使得 ( )− ( ) P x f x a x b max 关于这个著名的定理，现在已有好多个不同的证法，下面介绍 Bernstein 的 构造证法. Bernstein 证法：不妨假定函数的定义区间是 a,b 0,1.事实上,通过如下的线性 代换: t = (b − a)x + a , 就能将 x 的区间 0 x 1 变换成 t 的区间 a t b .同时,显而易见,x 的多项式 将变成 t 的多项式, x 的连续函数将变成 t 的连续函数. 因此只须就连读函数类
6来证明 Weiersrtass定理就行了, 对于给定的f(x)∈C]作如下的一串多项式(n=1,2,3,…) B(x) (1-x) 显然B1(x)是一个n次多项式 下面我们要证明极限关系式 imB(x)=f(x) 换句话说, Weierstrass定理中提及的P(x)只要取B(x)(其中n≥N)就可以 为了证明上述命题,需要用到一个初等恒等式 ∑x-))x(-xy-=m(-x) (1.1) 这个恒等式式容易验证的事实上,由于 (1-xr=[x+(1-x)] 可知 左满-(7x+1-(-xy Ak-1)1x(-x)y2+0+2m>们x(-xy2 k=0 n2x2+m(n-x2(n-2)y2 k2(-2/x(1-k)+(-2mxx n2x2+n(n-1)x2+(-2nxmx=右端 对于中的每一固定的x及任一固定的正整数n,令
Ca,b 来证明 Weiersrtass 定理就行了, 对于给定的 f (x) C0,1,作如下的一串多项式 (n =1, 2, 3, )： ( ) ( ) k n k n k x x k n n k B x f − = − = 1 0 ｆ ｎ ， （1.1） 显然 B (x) ｆ ｎ 是一个 n 次多项式. 下面我们要证明极限关系式 B (x) f (x) n = → ｆ lim ｎ 换句话说, Weierstrass 定理中提及的 P(x),只要取 B (x) ｆ ｎ (其中 n N )就可以 了. 为了证明上述命题, 需要用到一个初等恒等式: ( ) ( x) nx( x) k n nx k k n k n k x − = − − − = 1 1 2 0 （1.1） 这个恒等式式容易验证的. 事实上, 由于 ( ) (1 ) 1 0 1 + − − = − n n k k n k x x k n x x , 可知 左端 = (n x k ) x ( x) k n k n k k n nkx − − = + − 1 0 2 2 2 2 = n x 2 2 + k x ( x) x ( x) n k n k k n k k n k k n nx k k n − + − = − = − 1 1 0 0 2 2 = n x 2 2 + ( ) x ( x) k n k n k k n k k − − = − 1 0 1 + ( ) ( − ) = − + n k k n k x x k n nx k 0 1 2 1 = n x 2 2 + ( ) ( ) ( nx)nx k n n n x x k k n k n k 1 2 2 2 1 1 2 2 2 + − − − − − − − = = n x 2 2 + n(n )x 2 −1 + (1− 2nx)nx =右端. 对于 0,1 中的每一固定的 x 及任一固定的正整数 n , 令
()=mx/x) 上式右端代表当k取所有合乎条件 的正整数式所得的最大差数根据(x)在[上的一致连续性,可见必存在 串En>0,使得 En(x)<gn↓0(n→∞) 记八(x)-B1(x)=∑1(x)-f42,(x)+21()-/4) an,k(x) 其中∑与∑”分别表示对满足如下条件的一切k所取的和: k-nx(<n 4,k-nx(" (1-x 令M=mx(x)则显然有 (x)-B1()<∑EnnA()+M2a(x)<En+2M∑nA(), 而且利用已经验证过的恒等式(12)可知 n32∑nA()s∑(k-nx)n()=m()s 因此, ∑Ank(s1) ()-B)<6n+2 注意上列不等式的右端与x无关,而且随着x的无限增大而趋向0这就证明 了多项式序列Bn(x)对于f(x)的一致连续性 Weierstrass的第一定理实际上正好解决了如何利用多项式作成的函数项级数
( ) ( ) = − n k x f x f n max , 上式右端代表当 k 取所有合乎条件 − n x n k 1 1 4 的正整数式所得的最大差数. 根据 f (x) 在 0,1 上的一致连续性, 可见必存在 一串 0 n , 使得 (x) n < n 0 (n →) 记 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x) n k x f x f n k f x x f x f B n k n,k '' , ' + − − = − ｆ ｎ , 其中 ' 与 " 分别表示对满足如下条件的一切 k 所取的和： k nx n 3 4 − ， k nx n 3 4 − ； 而 ( ) x ( x) k n k n k k n x − − , = 1 ． 令 M = max f (x) ,则显然有 f (x) (x) (x) M (x) M (x) B nn k n k n n,k " , " , ' − + 2 + 2 ｆ ｎ ， 而且利用已经验证过的恒等式 (1.2) 可知 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 , 0 2 , 3 2 " n x x nx x n k n k n n k k−nx = = ． 因此， ( ) 1 2 , " 1 4 1 n x n k ， f (x) B (x) ｆ − ｎ ＜ n ＋ 1 2 1 2 n M ． 注意上列不等式的右端与 x 无关, 而且随着 x 的无限增大而趋向 0.这就证明 了多项式序列 B (x) ｆ ｎ 对于 f (x) 的一致连续性. Weierstrass 的第一定理实际上正好解决了如何利用多项式作成的函数项级数
来表示连续函数的问题因此任意取定一个单调下降于0的数列δn,则对每个δn 都可以找到一个多项式Pn(x)使得样Pn(x)-f(x)<δn于是令 @(x)=plx),o(x)=Pn(x)-Pn-(x), 可知级数∑Q,(x)的前n项之和恰好与P()相合,因而该级数也就一致的 收敛于f(x) 在 Bernstein的证明中,不仅证明了近似多项式序列Pn(x)的存在性,而且还 给出了构造P()的一个具体方法事实上,B(x)(n=1,2,3,…)便构成了 连续函数f(x)0≤x≤)的一个近似多项式序列这样的证法通常称之为构造性的 证明方法,它要比一般数学上的纯粹存在性的证明方法更有价值. §2. Weierstrass第二定理 周期连续函数(不妨假定周期为#)的最简单逼近工具式如下三角多项式 T(x)=A+elar cos kx+be sin kx) 如果其中的系数a和b不全为0则称(x)为n阶三角多项式 相应 Weierstrass第一定理,有如下的 定理1 Weierstrass第二定理)设f(x)∈C2x,则对任意给定的E>0,都有三 角多项式7(x)存在,使得 max f(x)-T(xX <E (2.1) 丌≤x≤丌 这个定理可以从 Weierstrass第一定理,通过诱导函数来证明.此处直接才 用 Vallee-Poussin算子
来表示连续函数的问题.因此任意取定一个单调下降于0的数列 n , 则对每个 n 都可以找到一个多项式 P (x) n 使得# n ( ) ( ) n P x − f x . 于是令 Q (x) P (x) 1 1 = ， ( ) ( ) ( ), 1 Q x P x P x n n n− = − n 1， 可知级数 (x) n Qn =1 的前 n 项之和恰好与 P (x) n 相合, 因而该级数也就一致的 收敛于 f (x). 在 Bernstein 的证明中, 不仅证明了近似多项式序列 P (x) n 的存在性, 而且还 给出了构造 P (x) n 的一个具体方法. 事实上, B (x) ｆ ｎ (n =1, 2, 3, ) 便构成了 连续函数 f (x)(0 x 1) 的一个近似多项式序列.这样的证法通常称之为构造性的 证明方法, 它要比一般数学上的纯粹存在性的证明方法更有价值. §２．Weierstrass 第二定理 周期连续函数(不妨假定周期为#)的最简单逼近工具式如下三角多项式 ( ) ( ) = = + + n k k k T x A a k x b k x 1 cos sin ． 如果其中的系数 ak 和 bk 不全为 0,则称 T(x) 为 n 阶三角多项式. 相应 Weierstrass 第一定理, 有如下的 定理 1 (Weierstrass 第二定理) 设 f (x)C2 , 则对任意给定的 0 ,都有三 角多项式 T(x) 存在, 使得 ( ) ( ) − − f x T x x max （2.1） 这个定理可以从 Weierstrass 第一定理, 通过诱导函数来证明. 此处直接才 用 Vallee-Poussin 算子 ( ) ( ) ( ) dt t x f t n n V f x n n 2 1!! 2 2 !! 2 1 ; cos 2 − − = −
来证明,其中(2)=(2n)2n-2)…422n-1)=(2n-1)2n-3)…31 作平移,显然有 T dt=2 co 再做变换#,可算得上述积分为 In=2(- v-) n 2)_2(2n-1) 从而 )H/x=rr(x)-/( cOS 因为f(x)∈C2x所以f(x)致连续即对任意给定的E>0,有δ>0存在使得 当|x-x1<时, (x)-f(x)<s/2 今将∫(x)-Vn[;x分成两部分 t-x cOs 2 dt -x6 C1+ (2.2) 以下估计C1和C2 nI-x (2.3) 记M=maxf(x),q=cos。<1,则
来证明, 其中 (2n)!!= (2n)(2n − 2) 4 2，(2n −1)!!= (2n −1)(2n −3)31． 作平移,显然有 − = − = 0 2 2 2 2 cos 2 cos dt t dt n t x n I n 再做变换#,可算得上述积分为 ( ) ( ) ( ) − − = − − = − 1 0 1 1 2 1 2 0 2 1 1 1 2 1 dv v v dv v v v n n I n ＝ ( 1) 2 1 2 1 2 + + n n ＝ ( ) (2 )!! 2 2 1 !! n n − ． 从而 ( ) ( ) ( ) dt t x f x V f x f x f t n n n I 2 1 ; cos 2 − − = − − 因为 f (x)C2 ,所以 f (x) 一致连续.即对任意给定的 0 ,有 0 存在,使得 当 x − x 时, f (x )− f (x ) 2． 今将 f (x) V f x n − ; 分成两部分 ( ) ( ) ( ) dt t x f x V f x f x f t n n t x n I 2 1 ; cos 2 − − = − − + ( ) ( ) dt t x f x f t n I n t x 2 1 cos 2 − − − = C1 +C2 （2.2） 以下估计 C1 和 C2 C1 ( ) ( ) 2 1 2 2 1 cos 2 = − − − dt t x f x f t n I n t x ． （2.3） 记 M f (x) x max − = ， 1 2 = cos q ，则