将之代入(4.8),并整理后得到 ∫(a+m=2o)+/(a+)-∑a (2k) 上式右端的积分项可化为 h (2m+2) r"m2( 2m+ m+2 证毕 还有第二 Euler -Maclaurin求积公式。对于它来说,相应和式是对一批“半点” 上的函数值求的和 f(xdx a+h+fa+h|+…+1a+n ((6)-f{a)+…(49) B(-2)re(b)-r-(a) 其实(4.9)完全可以从原来的 Euler-Maclaurin公式,同取步长为h/2的 Euler-Maclaurin公式两者组合起来而得到(留作习题)。 Euer- Maclaurin公式(4.7)和(49),既可作为求和公式,又可作为求积公式。 该公式、及其多元推广,已被应用于各类求积和求和的问题中。即使近年以来, 也仍有学者从事这方面的理论与应用研究。 s5. Gauss型求积公式 本节讨论当求积公式的结点(又称计值点)个数n确定后,求积公式的代 数精确度最高能是多少,并给出这类具有最高代数精度的求积公式的一般理 论。如前所知,只要n点求积公式的代数精度不少于n-1,则它一定是插值型 的求积公式。因此具有最高代数精度的求积公式必然是插值型求积公式。 )/≈∑4/() (5.1) 为以x,…,x为结点的插值型求积公式。人们可以断言,上述求积公式对于2n 次代数多项式
将之代入（4.8），并整理后得到 上式右端的积分项可化为 证毕。 还有第二 Euler-Maclaurin 求积公式。对于它来说，相应和式是对一批“半点” 上的函数值求的和。 ( ) + + + − + + = + b a f x dx h f a h f a h f a n h 2 1 2 3 2 1 + (f (b)− f (a))+ B h 4 2 2 （4.9） 其实（4.9）完全可以从原来的 Euler-Maclaurin 公式，同 取步长为 h 2 的 Euler-Maclaurin 公式两者组合起来而得到（留作习题）。 Euler-Maclaurin 公式（4.7）和(4.9)，既可作为求和公式，又可作为求积公式。 该公式、及其多元推广，已被应用于各类求积和求和的问题中。即使近年以来， 也仍有学者从事这方面的理论与应用研究。 §5. Gauss 型求积公式 本节讨论当求积公式的结点（又称计值点）个数 n 确定后，求积公式的代 数精确度最高能是多少，并给出这类具有最高代数精度的求积公式的一般理 论。如前所知，只要 n 点求积公式的代数精度不少于 n-1，则它一定是插值型 的求积公式。因此具有最高代数精度的求积公式必然是插值型求积公式。 设 （5.1） 为以 n x , , x 1 为结点的插值型求积公式。人们可以断言，上述求积公式对于 2n 次代数多项式 ( ) ( ) ( ) + + + + + − − + a h a m m m m B dx h x a f x B m h . 2 2 ! 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) = − + = + + − + b a m k k k k f a h k B h f a f a h h f a t h dt 1 2 1 2 2 2 2 ! ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + − + − + − + 1 0 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 ! f a th B t B dt m h f a m m m m k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ( )) . 2 ! 2 1 2 1 2 1 2 + 2 − − + f − b − f − a + k B h k k k k k ( ) ( ) ( ) = b a n j j j x f x dx A f x 1
f(x)=(x-x1)2…(x-xn) 必不能精确成立。事实上,对任意选定的求积系数A1…,An,必有 0. 另一方面,显然有 广x-x)…(x-x,)dk>0 所以(5.1)的最高代数精度必不能超过2n-1 人们要问:是否存在具有2n-1次代数精度的求积公式?如果存在的话,它 的求积结点应该有什么特征呢?以下定理给上述问题一个肯定的回答。 定理2插值型求积公式(51)具有2n-1次代数精度,必须且只须插值结 点x1…,x是ab上以p(x)为权的n次直交多项式的零点 证明设(5.1)具有2n-1次代数精度。记o(x)=(x-x1)…(x-xn)对任意 给定的多项式引(x)∈Pn1,因(5.1)的代数精度为2n-1,所以 ∫p()b(x(xk=∑4o(rx)=0 亦即o(x)与q(x)关于权p(x)直交 反之,若o(x)与任何次数≤n-1的多项式关于p(x)直交。任意给定 (x)∈P2n,恒可表为/(x)=(xo(x)+r(x)其中q(x)与x)均属于P。且 ∫p()/(xk=((x+p(y( A ∑4lx,k(x,)+r,) ∑4,/(x) 即求积公式(5.1)具有2n-1次代数精度。证毕。 具有最高代数精度2n-1的插值型求积公式,称为 Gauss型求积公式。由定理2, 构造 Gauss i型求积公式的关键间题是:给定了川(x)与n,究竞应如何来作多项式 ox)=(x-x1Xx-x2)(x-xn),使o(x)与任意次数≤n-1的多项式q(x)关于 p(x)恒直交,其中a≤x<x2<…<xn≤b由直交多项式理论,多项式o(x)可表
( ) ( ) ( ) 2 2 1 n f x = x − x x − x 必不能精确成立。事实上，对任意选定的求积系数 , , A1, An 必有 ( ) = = n j j j A f x 1 0. 另一方面，显然有 ( )( ) ( ) − − b a x x x x xn dx 0. 2 2 1 所以（5.1）的最高代数精度必不能超过 2n-1。 人们要问：是否存在具有 2n-1 次代数精度的求积公式？如果存在的话，它 的求积结点应该有什么特征呢？以下定理给上述问题一个肯定的回答。 定理 2 插值型求积公式（5.1）具有 2n-1 次代数精度，必须且只须插值结 点 n x , , x 1 是[a,b]上以 (x) 为权的 n 次直交多项式的零点。 证明 设（5.1）具有 2n-1 次代数精度。记 ( ) ( ) ( ), 1 n x = x − x x − x 对任意 给定的多项式 ( ) Pn−1 q x ，因（5.1）的代数精度为 2n-1，所以 亦即 (x) 与 q(x) 关于权 (x) 直交。 反之， 若 (x) 与任何次 数 n −1 的多项式 关于 (x) 直交 。任意 给定 ( ) P2n−1 f x ，恒可表为 f (x) = q(x)(x)+ r(x), 其中 q(x) 与 r(x) 均属于 Pn−1 。且 ( ) = = n j j j A r x 1 ( ) ( ) ( ) = = + n j j j j j A q x x r x 1 ( ). 1 = = n j j j A f x 即求积公式（5.1）具有 2n-1 次代数精度。证毕。 具有最高代数精度 2n-1 的插值型求积公式，称为 Gauss 型求积公式。由定理 2， 构造 Gauss 型求积公式的关键问题是：给定了 (x) 与 n，究竟应如何来作多项式 ( ) ( )( ) ( ) n x = x − x x − x x − x 1 2 ，使 (x) 与任意次数 n −1 的多项式 q(x) 关于 (x) 恒直交，其中 . a x1 x2 xn b 由直交多项式理论，多项式 (x) 可表 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = n j j j j b a x x q x dx A x q x 1 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + b a b a b a x f x dx x q x x dx x r x dx
示成 1412 un HnHn+1…l2n-1 定理3设(5.1)为 Gauss型内插求积公式,则其求积系数A皆为正,且A4有 一个与(1.6)等价的表达式 二()(-) (5.2) 证明显然,多项式 f(x)=[o(x)/(x-x) 的次数是不超过2n-2的,并且容易看出 0 1≠k, To'(*P l=k 由于 Gauss公式对其精确成立,故得 plx)fGr)ar=2A,5(,)=AkLo(kF 因为p(x)/(x)>0所以 4-( >0. 最后将∫(x)的多项式代入,便得到公式(52) 定理4若f(x)在ab]内2n次连续可微,则 Gauss型公式(51)的余项表 达式为 E()= (2n) (订么 其中a≤5≤b,o(x)=(x-x1Xx-x2)(x-xn) 证明根据 Hermite插值公式可以作出一个次数≤2n-1的多项式o(x)使得 o(x)=f(x)q(x)=f(xk=1…,n),并且
示成 定理 3 设（5.1）为 Gauss 型内插求积公式，则其求积系数 Ak 皆为正，且 Ak 有 一个与（1.6）等价的表达式： （5.2） 证明 显然，多项式 ( ) ( ) ( ) 2 k f x = x x − x 的次数是不超过 2n-2 的，并且容易看出 由于 Gauss 公式对其精确成立，故得 ( ) ( ) ( ) ( ) = = = b a n l l l k k x f x dx A f x A x 1 2 . 因为 ( ) ( ) b a x f x dx 0, 所以 最后将 f (x) 的多项式代入，便得到公式（5.2）。 定理 4 若 f (x) 在[a,b]内 2n 次连续可微，则 Gauss 型公式（5.1）的余项表 达式为 其中 , ( ) ( )( ) ( ). 1 2 n a b x = x − x x − x x − x 证明 根据 Hermite 插值公式可以作出一个次数 2n −1 的多项式 (x), 使得 (x ) f (x ) (x ) f (x )(k n) k k k k = , = =1, , ，并且 ( ) n n n n n n n x x x 1 2 1 1 2 0 1 1 1 1 1 + − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) − = b a k k k dx x x x x x A . 1 2 2 2 ( ) ( ) = = , . 0, , 2 x l k l k f x k l ( ) ( ) ( ) = b a k k x f x dx x A 0. 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 ! 2 2 x x dx n f E f b a n =