第六章非线性逼近方法 教学目的和要求 要求掌握非线性一致逼近、有理函数逼近、Pade逼近方法、有理逼近的一些算 法 考虑函数m(1+x)的逼近问题它的 Taylor展开式为 (-1<x≤1) k 记上式右端前s项的和为T(x),显然T(x)可以作为(1+x)的一种近似由连分 式展开 的方法,h(1+x)又有如下的连分式展开式 x12x12x22x22 不难算出它的前4个渐近分式依次为 R1(x) 6x+3x2 R2(x)= 6+6x+x 60x+60x2+1 Ilx k(x)=60+90x+36x2+3x 420x+630x2+260x3+25x4 R4(x) 420+840x+540x2+120x3+6 可以具体算出,Rn(x)的展开式将含有函数m(1+x)之 Taylor展开式的前2n项 和T2n(x) 下面来比较Rn(x)与T2n(x)的逼近误差设以ER与分别记Rn(x)与T2n(x)同 h(1+x)之间的误差,并取x=1它们误差的对比,如下表 R, (D) Er T ET 0.667 0.026 0.50 0.19
第六章 非线性逼近方法 教学目的和要求： 要求掌握非线性一致逼近、有理函数逼近、Pad ' e 逼近方法、有理逼近的一些算 法 . 考虑函数 ln(1+ x) 的逼近问题.它的 Taylor 展开式为 = − + = − − 1 1 ln(1 ) ( 1) ( 1 1) k k k x k x x . 记上式右端前 s 项的和为 T (x) s ，显然 T (x) s 可以作为 ln(1+ x) 的一种近似.由连分 式展开 的方法， ln(1+ x) 又有如下的连分式展开式： . 5 2 4 2 3 1 2 1 1 ln(1 ) 2 2 2 2 + = + + + + + x x x x x x 不难算出它的前 4 个渐近分式依次为 . 420 840 540 120 6 420 630 260 25 ( ) , 60 90 36 3 60 60 11 ( ) , 6 6 6 3 ( ) , 2 2 ( ) 2 3 4 2 3 4 4 2 3 2 3 3 2 2 2 1 x x x x x x x x R x x x x x x x R x x x x x R x x x R x + + + + + + + = + + + + + = + + + = + = 可以具体算出， R (x) n 的展开式将含有函数 ln(1+ x) 之 Taylor 展开式的前 2n 项 和 ( ) 2 T x n . 下面来比较 R (x) n 与 ( ) 2 T x n 的逼近误差.设以 R 与 分别记 R (x) n 与 ( ) 2 T x n 同 ln(1+ x) 之间的误差，并取 x =1.它们误差的对比，如下表： n (1) Rn R (1) T2n T 1 0.667 0.026 0.50 0.19
0.69231 0.00084 0.58 0.1l 0.693122 0.000025 0.617 0.076 4 0693146320.00000076 0.634 0.058 ((n2=0.69314718 由上表可知,R(1)的精确度竞比(①)的精确度高几乎10°倍这说明开展某些函 数的有 逼近或一般非线性逼近的研究是很有必要的 §1.非线性一致逼近 首先讨论如下有理分式,Rmn∈R Rmn(x) P( Q(x) 其中Pn(x)∈Pn,Q(x)∈P分别为x的m,n次多项式设Ran3(x)是既约有理分 式,即 Pn(x)与Qn(x)互质 设∫(x)是有界闭区间[a,b]上的连续函数定义偏差函数f(x)-Rn(x)的 绝对值的上确界为Rnn(x)与f(x)的最大偏差,简称为偏差 A(Rm,n)=sup/f(x)-Rn,(x) (1.2) 又定义量 Pm.n ()=inf sup f(x)R Rm,masx≤b 为形如(1.1)的有理分式类: R n def{Rn(x)对给定函数f(x)的最佳逼近 或最小
2 3 4 0.692 31 0.693 122 0.693 146 32 0.000 84 0.000 025 0.000 000 76 0.58 0.617 0.634 0.11 0.076 0.058 （ (ln 2 = 0.693147 18) 由上表可知， (1) R4 的精确度竟比 (1) T8 的精确度高几乎 5 10 倍.这说明开展某些函 数的有 逼近或一般非线性逼近的研究是很有必要的. §1. 非线性一致逼近 首先讨论如下有理分式， Rm,n Rm,n ： , ( ) ( ) ( ) , Q x P x R x n m m n = （1.1） 其中 m m n Pn P (x) P ,Q (x) 分别为 x 的 m, n 次多项式.设 ( ) , R x m x 是既约有理分 式，即 P (x) m 与 Q (x) n 互质. 设 f (x) 是有界闭区间 [a,b] 上的连续函数.定义偏差函数 ( ) ( ) , f x R x − m n 的 绝对值的上确界为 ( ) , R x m n 与 f (x) 的最大偏差，简称为偏差： ( ) sup ( ) ( ) , , R f x R x m n a x b m n = − . (1.2) 又定义量 ( ) inf sup ( ) ( ) , , , f f x R x m n a x b R m n m n = − （1.3） 为形如（1.1）的有理分式类： Rm,n def Rm,n (x) 对给定函数 f (x) 的最佳逼近 或最小
偏差 关于偏差的下界估计,有 定理1( Valle e-Poussin)设多项式 A(x)=a0xm“+…+am-n,B(x)=bx"+…+b 互质,其中0≤≤m0≤v≤nb≠0.且设 R(x)=A(x)/B(x) 于[a,b区间上为有穷,差函数f(x)-R(x)在[a,b中的点列 上以正负交错的符号取异于0的值 (不妨假定各个4>0)而且N=m+n-d+2d=min(,v)则对每一形如 的函数Q(x),恒有 (Q≥mn{A1,A2,x} 当R(x)=0且N=m+2(即d=n)时,此不等式仍然成立 证明采用反证法假若存在一个形如(1.1)的函数Q(x),满足 △(Q<mn{λ22…N} 考察差 7(x)=Qx)-R(x) [f(x)-R(x-[f(x)-Q(x) 显然(x1)n(x2)…,n(xN)不等于0且正负交错变号由于m(x)于[a,b]上连续
偏差. 关于偏差的下界估计，有： 定 理 1 （ Vall é e-Poussin ） 设 多 项 式 ( ) , 0 − − = + + m m A x a x a − − = + + n n B(x) b0 x b 互质，其中 0 ,0 , 0. m n b0 且设 R(x) = A(x)/ B(x) 于 [a,b] 区间上为有穷，差函数 f (x) − R(x) 在 [a,b] 中的点列 N x x x 1 2 上以正负交错的符号取异于 0 的值 N N 1 1 2 , , ,( 1) − − − （不妨假定各个 j 0 ）.而且 N = m + n − d + 2,d = min( , ), 则对每一形如 （1.1） 的函数 Q(x), 恒有 ( ) min{ , , }. Q 1 2 N （1.4） 当 R(x) 0 且 N = m+ 2 （即 d = n) 时，此不等式仍然成立. 证明 采用反证法.假若存在一个形如（1.1）的函数 Q(x), 满足 ( ) min{ , , }. Q 1 2 N 考察差 (x) = Q(x) − R(x) = [ f (x) − R(x)] −[ f (x) − Q(x)]. 显然 ( ), ( ), , ( ) 1 2 N x x x 不等于 0 且正负交错变号.由于 (x) 于 [a,b] 上连续
根据 连续函数的中值定理,n(x)与(a,b)内至少有N-1=m+n-d+1个零点然而 7(x)=Q(x)-R(x)=v(x)/a(x) 中分子v(x)的次数≤mx{m+n-,m+n-}=m+n-d.从而必有r(x)=0,亦 Q(x)=R(x)此与定理假设相矛盾,故定理得证 定理2在所有形如(l1)的有理分式中,至少存在一个有理分式Qx) 使得它与 f(x)的偏差Δ()取到极小值,即 △(Q)=mn 证明只须证明存在形如(1.1)的有理分式Q(x),使得 下面我们将具体地构造出Ω(x)来按下确界的定义,存在无穷函数序列 Q(x)},使得 lm A(O)=Pmn(), 其中 OO Imi Pox+P1x+…+Pn 将Q(x)如下标准化,使其分母的系数满足 poi t 我们来证明相应的系数qn(=01…,m)也是有界的事实上,设 △(Q)<M(=1,2,…) 又设51,点2,…,5m为(a,b)内给定的互异点,则对其中任一点5,必有
根据 连续函数的中值定理， (x) 与 (a,b) 内至少有 N −1= m+ n − d +1 个零点.然而 (x) = Q(x) − R(x) = v(x)/ u(x) 中分子 v(x) 的次数 max{m + n − ,m + n −} = m + n − d. 从而必有 (x) 0 ，亦 即 Q(x) R(x).此与定理假设相矛盾，故定理得证. 定理 2 在所有形如（1.1）的有理分式中，至少存在一个有理分式 Q(x), 使得它与 f (x) 的偏差 (Q) 取到极小值，即 (Q) = min . 证明 只须证明存在形如（1.1）的有理分式 Q(x), 使得 ( ) ( ) , Q f = m n . 下面我们将具体地构造出 Q(x) 来.按下确界的定义，存在无穷函数序列 {Q (x)} i ，使得 lim ( ) ( ) , Q f i m n i = → ， 其中 ni n i n i mi m i m i i p x p x p q x q x q Q x + + + + + + = − − 1 0 1 1 0 1 ( ) . 将 Q (x) i 如下标准化，使其分母的系数满足 1( 1,2, ). 2 2 1 2 p0i + p i ++ pni = i = 我们来证明相应的系数 q ( j 0,1, ,m) ji = 也是有界的.事实上，设 (Q ) M(i =1,2,). i 又设 1 2 1 , , , m+ 为 (a,b) 内给定的互异点，则对其中任一点 ，必有
Po5"+p15 P g”+q5"+…+q厘 32+2+…+nm-/(+/ ≤M+mxf(x) a≤xsb 从而有正常数K存在,使得 5"+q1 +qmi< k 由于多项式qoxm+q1xm+…+qm于m+1个点51,52…,5m处的值是有界 的, 比方设它们依次为K1,K2,Km1,则按线性方程组 40 qui K,G=1,2,,m+1) 可以解出q的一个表达式(=0,…,m)显然这些qn(=0,…,m)均有界 由于P1(=0,…,m)和q(=0,…,m)有界,根据 bolzano- Weierstrass定 理, 在有理分式序列{Q(x)}中,可以选出某子序列,不妨仍记为Q(x)},使得 lim pi=aj,lm qn=b, 今作(1.1)型有理分式 P(x) bx+b ax+ax+.+a 以下来证明△(P)=mxf(x)-P(x)=pn()因为P(x)只可能在有限多个点 处 变为无穷,而在[ab]区间的其它点x处,显然有 Im O(x)=P(x) (1.5)
ni n i n i mi m i m i p p p q q q + + + + + + − + 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) 1 0 1 1 0 1 f f p p p q q q ni n i n i mi m i m i − + + + + + + + − + M max f (x) axb + . 从而有正常数 K 存在，使得 q q qmi K m i m i + + + 0 1 −1 . 由于多项式 mi m i m q i x + q x + + q 0 1 −1 于 m+1 个点 1 2 1 , , , m+ 处的值是有界 的， 比方设它们依次为 1 2 1 , , , K K Km+ ，则按线性方程组 ( 1,2, , 1) 1 0 + 1 + + = = + − q q qmi Kj j m m i j m i j ， 可以解出 li q 的一个表达式 (l = 0,,m).显然这些 q (l 0, ,m) li = 均有界. 由于 p ( j 0, ,n) ji = 和 q (l 0, ,m) li = 有界，根据 Bolzano-Weierstrass 定 理， 在有理分式序列 {Q (x)} i 中，可以选出某子序列，不妨仍记为 {Q (x)} i ，使得 lim ,lim . li l i ji j i p = a q = b → → 今作（1.1）型有理分式 ( ) . 1 0 1 1 0 1 n n n m m m a x a x a b x b x b P x + + + + + + = − − 以下来证明 ( ) max ( ) ( ) ( ). , P f x P x f m n a x b = − = 因为 P(x) 只可能在有限多个点 处 变为无穷，而在 [a,b] 区间的其它点 ~ x 处，显然有 lim ( ) ( ) ~ ~ Q x P x i i = → . （1.5）