D010.13374斤.issn10153x.201.02.016 第33卷第2期 北京科技大学学报 Vo133 No 2 2011年2月 Journal ofUniversity of Science and Technobgy Bejjing Feb 2011 基于Con Jey指标理论求解反应扩散方程的冲击波解 张柳 张晓丹 北京科技大学应用科学学院，北京100083 通信作者，Ema时hmgu88@163m 摘要利用Coml指标理论研究一类非线性反应扩散方程的冲击波解的情况.以扩散系数作为反应扩散方程的参数，通 过Cme指标和Mos吩解分析行波解所满足的常微分方程的异宿轨道的存在性，并根据偏微分方程的孤立波与冲击波分别 对应于常微分方程的同宿轨道与异宿轨道的思想，进而证明了反应扩散方程鞍一焦型、鞍一结型冲击波解的存在性.特别地， 应用联络矩阵和传递矩阵可证明鞍一鞍型冲击波解的存在性和唯一性.使用Conley软件包和Ma即软件编程计算了联络矩 阵和传递矩阵. 关键词微分方程：反应扩散方程：冲击波：Come指标 分类号01752 SoMing the shock wave solutions of reactiondiffusion equations based on Conley index theory ZHANG Lu.ZHANG Xiaodan Schpol ofApplid Science University of Sc ience and Techrokgy Beijng Beijing 1(0083 Chna Correspond ng author Email hangluligs@163 com ABSTRACT Based on Conkey index heory the shock wave sou tions of a class ofnonlinear reactiond iffus pn equatons were sud ied Considerng he difusicn coefficient as a system parameter he exisence of heeroclinic orbit of ord nary differential equations satisfied by travelng wave solutons is anayzed by using Con ey index and Morse decampositons The existence of saddle ocus and saddle crunale style shock wave solutions of the reactpnd iffus on equations is proved a the basis of an dea that the solitarywaves and shock waves of partial differen tial equations correspond p he hon oclin ic orbits and heterocln ic ot its ofordnary d iffern tial equatpns In particular the existence and uniqueness of sadde_sadd e stle shock wave sou tions are poved by usng connection matrixes and transition matrixes which are campued win Conley packages and Maple sofware by programm ing KEY WORDS differen tial equatons reactiond iffs on equatons shock waves Conley ndex Came理论自创立以来，在很多领域都有应 型冲击波解存在也比较复杂.一直以来方程(1)的 用，如研究孤立不变集性质，证明系统的关联轨 扩散系数的改变对其波动现象所产生的影响。各种 道3、周期轨和极限环3甚至是混沌的存在性，研 冲击波解的存在性、唯一性及其解析表达式的研究 究不变集的内部结构，研究奇异摄动理论，以 都是一些热点问题'？.本文利用Conje指标理论研 及计算多参数动力系统的数据库同 究一类非线性反应扩散方程的冲击波解的情况.以 考虑如下形式的非线性反应扩散方程： 扩散系数作为系统的参数，根据DE的孤立波与 4=d-u叶 (1) 冲击波分别对应于ODE的同宿轨道与异宿轨道的 式中，妫扩散系数，>0为常数.值越大，方程的 思想，通过Cm上指标和联络矩阵证明行波解所满 冲击波解的近似表达式就越难求，其中证明鞍鞍 足的常微分方程的异宿轨道的存在性，进而证明了 收稿日期：2010-05-11 基金项目：北京科技大学治金工程研究院基础理论研究基金资助项目(N900009503)
第 33卷 第 2期 2011年 2月 北 京 科 技 大 学 学 报 JournalofUniversityofScienceandTechnologyBeijing Vol.33 No.2 Feb.2011 基于 Conley指标理论求解反应扩散方程的冲击波解 张 柳 张晓丹 北京科技大学应用科学学院, 北京 100083 通信作者, E-mail:zhangliuliu88@163.com 摘 要 利用 Conley指标理论研究一类非线性反应扩散方程的冲击波解的情况.以扩散系数作为反应扩散方程的参数, 通 过 Conley指标和 Morse分解分析行波解所满足的常微分方程的异宿轨道的存在性, 并根据偏微分方程的孤立波与冲击波分别 对应于常微分方程的同宿轨道与异宿轨道的思想, 进而证明了反应扩散方程鞍 -焦型、鞍 -结型冲击波解的存在性.特别地, 应用联络矩阵和传递矩阵可证明鞍 -鞍型冲击波解的存在性和唯一性.使用 Conley软件包和 Maple软件编程计算了联络矩 阵和传递矩阵. 关键词 微分方程;反应扩散方程;冲击波;Conley指标 分类号 O175.2 Solvingtheshockwavesolutionsofreaction-diffusionequationsbasedonConley indextheory ZHANGLiu , ZHANGXiao-dan SchoolofAppliedScience, UniversityofScienceandTechnologyBeijing, Beijing100083, China Correspondingauthor, E-mail:zhangliuliu88@163.com ABSTRACT BasedonConleyindextheory, theshockwavesolutionsofaclassofnonlinearreaction-diffusionequationswerestudied.Consideringthediffusioncoefficientasasystemparameter, theexistenceofheteroclinicorbitsofordinarydifferentialequations satisfiedbytravelingwavesolutionsisanalyzedbyusingConleyindexandMorsedecompositions.Theexistenceofsaddle-focusand saddle-crunodestyleshockwavesolutionsofthereaction-diffusionequationsisprovedonthebasisofanideathatthesolitarywavesand shockwavesofpartialdifferentialequationscorrespondtothehomoclinicorbitsandheteroclinicorbitsofordinarydifferentialequations. Inparticular, theexistenceanduniquenessofsaddle-saddlestyleshockwavesolutionsareprovedbyusingconnectionmatrixesand transitionmatrixes, whicharecomputedwithConleypackagesandMaplesoftwarebyprogramming. KEYWORDS differentialequations;reaction-diffusionequations;shockwaves;Conleyindex 收稿日期:2010--05--11 基金项目:北京科技大学冶金工程研究院基础理论研究基金资助项目 (No.00009503 ) Conley [ 1] 理论自创立以来, 在很多领域都有应 用, 如研究孤立不变集性质, 证明系统的关联轨 道 [ 2] 、周期轨和极限环 [ 3] 甚至是混沌的存在性, 研 究不变集的内部结构 [ 4] , 研究奇异摄动理论 [ 5] , 以 及计算多参数动力系统的数据库 [ 6] . 考虑如下形式的非线性反应扩散方程 : ut =duxx -u+u p ( 1) 式中, d为扩散系数, p>0为常数 .p值越大, 方程的 冲击波解的近似表达式就越难求, 其中证明鞍 -鞍 型冲击波解存在也比较复杂 .一直以来, 方程 ( 1)的 扩散系数的改变对其波动现象所产生的影响, 各种 冲击波解的存在性 、唯一性及其解析表达式的研究 都是一些热点问题 [ 7] .本文利用 Conley指标理论研 究一类非线性反应扩散方程的冲击波解的情况 .以 扩散系数作为系统的参数, 根据 PDE的孤立波与 冲击波分别对应于 ODE的同宿轨道与异宿轨道的 思想, 通过 Conley指标和联络矩阵证明行波解所满 足的常微分方程的异宿轨道的存在性, 进而证明了 DOI :10 .13374 /j .issn1001 -053x .2011 .02 .016
第2期 张柳等：基于C on ky指标理论求解反应扩散方程的冲击波解 251° 反应扩散方程各种类型冲击波解的存在性. (NL以.考虑这指数对的一个复形a.(y= 1基本概念 a(N/a(I少，其中a(N,a()是相关常规的 链，则M的同调Cam指标被定义为 11 Conje指标 CH(M)=H(NI=H(a(N I). 定义11设(X)为一局部紧的度量空 其中，H(y)=(H(y)。9定义为相对 间，&X是一个不变的紧集七S如果存在的 同调群，且总是存在一个指数对(y少，使得H 一个邻域U使得，极限集w(∩S=A则A称为 (N山=H(VL[马.经常采用系数Z2Z 是S上的一个吸引子：A={∈Sw(9∩A=} 定理11到假设S包含一个双曲不动点，且 称为在S中对应的排斥子.(AA称为不变集S 相关不稳定流形维数为即是正实部特征值的 的吸引排斥对分解.S中的从A到A的连接轨道 数量).S的同调Conley指标CH(S)= 的集合记为 (CH(S)e空o,则有 CA:A S Sl(CAa(CA). (Z n H(S含 定义12设S为孤立不变集MS={MW9 0 其他 CS∈P)是S的紧的互不相交不变子集的有限 文章后面的部分，S的Conjey指标简写作 族；P是一个指标集.若M(S满足以下条件：在指 ∑，即H(S=∑” 标集P上存在一偏序>，对每一个∈SYM9 性质119对于一吸引子排斥对(AA人 都存在PEP且使得w(9CM,a(9C 有从A的Conle指标的阶同调到A的Conley指 MP,则称此有限族MS是S的一个Mos分解， 标的4-1阶同调上的映射日称为流定义边界映 Mos分解的元M马称为Mos集. 射，有以下两个性质. 偏序>称作可允许偏序.最小的可允许偏序称 (1)如果≠0则心44)≠心 作流定义偏序，记作>.如果q当且仅当存 (2)如果4是指标为∑的双曲不动点，是 在一个序列生BB；R=P使得CMR), M))≠心. 指标为∑“的双曲不动点且A的不稳定流型与 根据Morse分解的定义，可看出Morse分解是 的稳定流型横向相交，则是带方向的连接轨道 吸引子排斥对分解的一般化，对于S的一个吸引 数.特别地，如果用系数乙且若连接数为奇数则日 子排斥对分解(AA),定义一个Moe分解 是一个同构.若连接数为偶数，则=0 MS={M(D|=122>1,则有M(1)=A 定义15设有微分方程X=〔，中(：t9是此 M2)=A 方程的解.则不动点X的稳定流形是指当趋于正 定义13在(P>)上有一个互不相交区 无穷时，趋于不动点的所有点的集合，即 间有序对(，IJ)满足UE(>:且若∈I W(文)={B:1m吨(：B)=x}= ∈J则吵9其中(P>)为(>)中区间的集 {B:ωB)={X}. 合.那么称(，】J)为邻近对，则临近对的集合定义为 同样，不稳定流形定义是指负无穷时，趋于不 2(P>. 动点的所有点的集合，即 引理11如果，IE(P>,则(M, W(x)={:m中(B)=x}= M())为M()一对吸引子排斥对. {Ba(B)={x}. 定义14设S是一个孤立不变集一对紧集(N 1.2联络矩阵 以，C称为是S的指标对，如果下述条件满足： 令MS={M(P|E(P>)}是一个Morse (1)S=nY NV,并且NY是的邻域. 分解，每一个Mos集是一个孤立不变集因此有形 (2)关于N是正向不变的，也即若↓且 如CH(MP的一个Came指标令 P([01,9Cy则9([0夕cL A巴，aH(M9→®，CH(MP, (3)I是的出口集也即给定∈N以及 则△是一线性算子，它可写成矩阵△=[△(P9], 0使得9(9任N则存在长[0]，使得9([0 其中，△(P9:⊕CH(M9)⊕H(MD.△ ,9CN且P(d9CL 是有关偏序>的上三角矩阵且满足如果呼q则 让MCS是一个孤立不变集，且它的指数对是 △(，9=0如果它是一个度为一1的映射，即它是
第 2期 张 柳等:基于 Conley指标理论求解反应扩散方程的冲击波解 反应扩散方程各种类型冲击波解的存在性 . 1 基本概念 1.1 Conley指标 定义 1.1 [ 1] 设 ( X, μ)为一局部紧的度量空 间, S X是一个不变的紧集, A S, 如果存在 A的 一个邻域 U使得 ω极限集 ω(U∩ S) =A, 则 A称为 是 S上的一个吸引子;A1 ∶={x∈ S ω( x) ∩ A= } 称为 A在 S中对应的排斥子 .( A, A1 )称为不变集 S 的吸引 --排斥对分解 .S中的从 A1 到 A的连接轨道 的集合记为 C(A1;A;S)∶={x∈ S ω( x) A, α( x) A1}. 定义 1.2 设 S为孤立不变集, M( S) ={M( p) S p∈ P}是 S的紧的互不相交不变子集的有限 族 ;P是一个指标集.若 M( S)满足以下条件 :在指 标集 P上存在一偏序 >, 对每一个 x∈ S ∪p∈ PM( p) 都存在 p, q∈ P且 p>q使得 ω( x) M( q), α(x) M( p), 则称此有限族 M( S)是 S的一个 Morse分解, Morse分解的元 M( p)称为 Morse集 . 偏序 >称作可允许偏序 .最小的可允许偏序称 作流--定义偏序, 记作 >φ.如果 p>φq当且仅当存 在一个序列 q=p0, p1, …, pn =p使得 C( M( pi+1 ), M( pi) ) ≠ . 根据 Morse分解的定义, 可看出 Morse分解是 吸引子 --排斥对分解的一般化, 对于 S的一个吸引 子 --排斥对 分 解 ( A, A1 ), 定 义 一个 Morse分解 M( S) ={M( p) p=1, 2, 2 >1}, 则有 M( 1) =A, M( 2) =A1. 定义 1.3 [ 1] 在 ( P, >)上有一个互不相交区 间有序对 (I, J), 满足 I∪ J∈ Γ( P, >) ;且若 p∈ I, q∈ J, 则 p≯q, 其中 Γ( P, >)为 ( P, >)中区间的集 合 .那么称 (I, J)为邻近对, 则临近对的集合定义为 Γ2 (P, >) . 引理 1.1 [ 1] 如果 I, J∈ Γ2 ( P, >), 则 ( M( I), M( J) )为 M( IJ)一对吸引子--排斥对 . 定义 1.4 设 S是一个孤立不变集,一对紧集( N, L), L N称为是 S的指标对,如果下述条件满足: ( 1) S=Inv( N L, φ), 并且 N L是 S的邻域. ( 2) L关于 N是正向不变的, 也即若 x∈ L, 且 φ( [ 0, t], x) N, 则 φ([ 0, t], x) L. ( 3) L是 N的出口集, 也即给定 x∈ N以及 t1 > 0使得 φ( t1, x) N, 则存在 t0∈ [ 0, t1 ], 使得 φ( [ 0, t0 ] , x) N, 且 φ(t0, x) L. 让 M S是一个孤立不变集, 且它的指数对是 ( N, L), 考虑这指数对的一个复形 ＊ ( N, L) = ＊ (N) / ＊ (L), 其中 ＊ ( N), ＊ ( L)是相关常规的 链, 则 M的同调 Conley指标被定义为 CH＊ (M) =H＊ ( N, L) =H＊ ( ＊ ( N, L) ). 其中, H＊ ( N, L) =( Hk( N, L) ) k∈ Z≥ 0 [ 8] 定义为相对 同调群 [ 1] , 且总是存在一个指数对 ( N, L), 使得 H＊ ( N, L) =H＊ ( N/L, [ L] ) .经常采用系数 Z/2Z. 定理 1.1 [ 9] 假设 S包含一个双曲不动点, 且 相关不稳定流形维数为 n(即 n是正实部特征值的 数量 ) . S的 同 调 Conley指 标 CH＊ ( S) = ( CHk(S) )k∈ Z≥0, 则有 CHk( S) Z2, k=n 0, 其他 文章后 面的部 分, S的 Conley指 标简写 作 ∑ n , 即 CH＊ (S) =∑ n . 性质 1.1 [ 10] 对于一吸引子 --排斥对 ( A, A1 ), 有从 A1 的 Conley指标的 q阶同调到 A的 Conley指 标的 q-1阶同调上的映射 , 称 为流 --定义边界映 射, 有以下两个性质 . ( 1) 如果 ≠0, 则 C( A;A1 ) ≠ . ( 2) 如果 A1 是指标为 ∑ k 的双曲不动点, A是 指标为 ∑ k-1 的双曲不动点, 且 A1 的不稳定流型与 A的稳定流型横向相交, 则 是带方向的连接轨道 数.特别地, 如果用系数 Z2, 且若连接数为奇数, 则 是一个同构.若连接数为偶数, 则 =0. 定义 1.5 设有微分方程 x · =f( x), ( t;x)是此 方程的解 .则不动点 x ＊的稳定流形是指当 t趋于正 无穷时, 趋于不动点的所有点的集合, 即 W s ( x ＊ ) ={p0 :tl※im∞ ( t;p0 ) =x ＊ }= {p0 :ω(p0 ) ={x ＊ }}. 同样, 不稳定流形定义是指 t负无穷时, 趋于不 动点的所有点的集合, 即 W u (x ＊ ) ={p0 :t※li-m∞ ( t;p0 ) =x ＊ }= {p0:α( p0 ) ={x ＊ }}. 1.2 联络矩阵 令 M(S) ={M( p) p∈ ( P, >)}是一个 Morse 分解, 每一个 Morse集是一个孤立不变集, 因此有形 如 CH＊ ( M( p) )的一个 Conley指标, 令 Δ:p ∈ PCH＊ (M( p) )※p ∈ PCH＊ ( M(p) ), 则 Δ是一线性算子, 它可写成矩阵 Δ =[ Δ( p, q) ], 其中, Δ( p, q) : CH＊ (M( q) ) ※ CH＊ ( M(p) ).Δ 是有关偏序 >的上三角矩阵且满足如果 p≯q则 Δ( q, p) =0.如果它是一个度为 -1的映射, 即它是 · 251·
。252 北京科技大学学报 第33卷 从阶同调到n一1阶同调的映射.且满足△°△= 定义16设C={H(M(P)IEP且A 0则称△是一个边界算子.对于每一个区间E 巴CH(M9→®，H(M(9)是一个上三角边 「(P>,定义 界算子.如课对于每一个区间(P>,都存在一 △()=[△(P]Pe®，H(MpP 个同构(：H△(K→H(M(),使得对于邻近 H.(M B ) 区间的所有对(，I∈2(P>,有以下图表： H△()→H△(w→H△()H△()→… ￥0) ￥0( ￥0() ￥0() 4CH(M)→CH(MU)→CH(MJ)CH(M)P… 它是一个长正合序列四的同构，则△称为一个联络 让A定义一个MK)的联络矩阵.因为当λ=士1 矩阵. 时，产生流=fx士1. 如果△是一个联络矩阵，则它满足以下四个性 4®.CH(Mp)e.CH(MP) 质g (1)△是上.三角矩阵. 巴H(MP)e.H(MP)b (2)△是一个边界算子. 采用形式 (3)对于每个区间ET(P>,H△()士 「△ A- ker()≈CH(M). 0△ m说(】 其中， (4)考虑一对邻近区间(，1J)∈2(P>人.这 T:®.GH+1(Mp)→®，H(MP) 有三个相关联的链复合：⊕e1H(M(P))有边界 和 算子△（⊕ECH(M(D)有边界算子△(J): T(④，ph®，H+(MP)巴，H(M可小. 田EuCH(M(D)有边界算子△(.进一步证 注意，首先△.中的△±不是MS)的联络矩阵 明，有在包含和投影的条件下，得到一个短的正合序 列11， △±，因为它们定义在不同的空间上.其次，当T作 0e,H(MP)-→e,CH(M9→ 为e的函数改变时，总是能够选择一个序列e→0 时，此时T是一个常数，通过这个求极限过程，得到 ®，H(M90 的矩阵集合被称作奇异传递矩阵，而奇异传递矩阵 应用边界算子定义，得到以下长的正合同调序 的真子集合被记作，奇异传递矩阵是传递矩阵 列： 中最常用一种. H△(HA(W→HA()H△(. 考虑，且假设P堤邻近元素，相关序是 其中，是有Sak写吲理"构建的关联同构. >,若TT,P)≠0则存在一个序列e0使得 13传递矩阵 T.(q,P≠0此结果可推断出M(9在M1(9 传递矩阵有很多方式求解，最简单且常用的方 到之间存在参数值为em的一条连接轨道E。当en 法是在常规扰动基础上进行求解.有关奇异传递矩 →0求得E的极限说明对于(2)定义的动力系统 阵，此概念由Re incek实现考虑微分方程 在λ∈（一11）时，在M(到M(9之间有一条 x=fxλ) (2) 连接轨道存在.因此在奇异传递矩阵非零部分可用 λ=e(λ2-1)，e>0 于推断连接轨道的存在性. 对于每个>0它产生了一个孤立领域是X [一22]的流，让K=NX[一22).定义 2各种冲击波解的存在性和唯一性 MP)=M(P以，MP)=M1(D. 考虑非线性反应扩散方程(1)二7的情况.此 则MK)={M)|EB是一个Moe分解.对 时，方程(1)写成 于e>0如果入∈（一11），则入<0.进一步，给出 =dx-叶 (3) 可允许偏序>>， 研究行波解，设=（τ），t=X-t其中0为 >>p,>>p台少P>>pHP 行波速，则有
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 从 n阶同调到 n-1阶同调的映射.且满足 Δ°Δ = 0, 则称 Δ是一个边界算子.对于每一个区间 I∈ Γ(P, >), 定义 Δ( I) =[ Δ( p, q)] p, q∈ I:p ∈ ICH＊ ( M( p) )※ p ∈ ICH＊ ( M(p) ) . 定义 1.6 设 C={CH＊ ( M(p) ) p∈ P}且 Δ: p ∈ PCH＊ ( M(p) ) ※p ∈ PCH＊ (M( p) )是一个上三角边 界算子.如果对于每一个区间 K∈ Γ( P, >), 都存在一 个同构 θ(K):H＊ Δ(K)※CH＊ (M(K) ), 使得对于邻近 区间的所有对 (I, J)∈ Γ2 (P, >), 有以下图表: … ※ δn+1 HnΔ( I) ※ HnΔ(IJ) ※ HnΔ( J) ※ δn Hn-1Δ( I) ※… ↑θ( I) ↑θ( IJ) ↑θ(J) ↑θ( I) … ※ n+1CHn( M( I) ) ※CHn( M(IJ) ) ※CHn( M( J) ) ※ nCHn-1 ( M(I) )※… 它是一个长正合序列 [ 11] 的同构, 则 Δ称为一个联络 矩阵. 如果 Δ是一个联络矩阵, 则它满足以下四个性 质 [ 1] . ( 1) Δ是上三角矩阵 . ( 2) Δ是一个边界算子. ( 3) 对于每个区间 I∈ Γ( P, >), H＊ Δ( I) ∶= kerΔ( I) imageΔ( I) ≈CH＊ ( M(I) ) . ( 4) 考虑一对邻近区间 ( I, J)∈ Γ2 (P, >).这 有三个相关联的链复合 : P∈ ICH＊ ( M(p) )有边界 算子 Δ( I); P∈ JCH＊ ( M( p) )有边界算子 Δ( J) ; P∈ IJCH＊ ( M( p) )有边界算子 Δ( IJ) .进一步证 明, 有在包含和投影的条件下, 得到一个短的正合序 列 [ 11] 0※p ∈ ICH＊ ( M(p) ) ※p ∈ IJ CH＊ (M( p) ) ※ p ∈ J CH＊ (M( p) ) ※0. 应用边界算子定义, 得到以下长的正合同调序 列 : …HnΔ(I)※HnΔ(IJ) ※HnΔ( J) ※ δnHn-1Δ(I)※…. 其中, δ＊是有 Snake引理 [ 11]构建的关联同构 . 1.3 传递矩阵 传递矩阵有很多方式求解, 最简单且常用的方 法是在常规扰动基础上进行求解.有关奇异传递矩 阵, 此概念由 Reincek实现, 考虑微分方程 x · =f(x, λ) λ · =ε(λ 2 -1), ε>0 ( 2) 对于每个 ε>0, 它产生了一个孤立领域是 N× [ -2, 2]的流, 让 Kε =N×[ -2, 2] .定义 M(p + )∶=M1 ( p), M(p - )∶=M-1 (p), 则 M( Kε) ={M( p ± ) p∈ P}是一个 Morse分解.对 于 ε>0, 如果 λ∈ ( -1, 1), 则 λ · <0.进一步, 给出 可允许偏序 >>, q + >>p - , q - >>p - q>p, q + >>p + q>p, 让 Δε定义一个 M( Kε)的联络矩阵.因为当 λ=±1 时, 产生流 x · =f(x, ±1). Δ:p ∈ PCH＊ (M( p - ) ) p ∈ PCH＊ ( M( p + ) ) ※ p ∈ PCH＊ ( M(p - ) ) p ∈ PCH＊ ( M( p + ) ), 采用形式 Δε = Δ- Tε 0 Δ+ . 其中, Tε:p ∈ PCH＊ +1 (M( p + ) ) ※p ∈ PCH＊ ( M( p - ) ) 和 Tε(q - , p + ):p ∈ PCH＊ +1 (M(p + ) )※p ∈ PCH＊ (M(q - )). 注意, 首先 Δε中的 Δ±不是 M(S± )的联络矩阵 Δ±, 因为它们定义在不同的空间上.其次, 当 Tε作 为 ε的函数改变时, 总是能够选择一个序列 εn※0 时, 此时 Tεn是一个常数, 通过这个求极限过程, 得到 的矩阵集合被称作奇异传递矩阵, 而奇异传递矩阵 的真子集合被记作 Γ sing -1, 1, 奇异传递矩阵是传递矩阵 中最常用一种 . 考虑 Γ sing -1, 1且假设 p, q是邻近元素, 相关序是 >, 若 T( q - , p + ) ≠0, 则存在一个序列 εn※0, 使得 Tεn ( q - , p + )≠0, 此结果可推断出 M1 ( p)在 M-1 ( q) 到之间存在参数值为 εn的一条连接轨道 Eεn , 当 εn ※0, 求得 Eεn的极限, 说明对于 ( 2)定义的动力系统 在 λ∈ ( -1, 1)时, 在 Mλ( p)到 Mλ( q)之间有一条 连接轨道存在 .因此在奇异传递矩阵非零部分可用 于推断连接轨道的存在性. 2 各种冲击波解的存在性和唯一性 考虑非线性反应扩散方程 ( 1) p=7的情况.此 时, 方程 ( 1)写成 ut=duxx -u+u 7 ( 3) 研究行波解, 设 u=u(τ) , τ=x-vt.其中 v>0为 行波速, 则有 · 252·
第2期 张柳等：基于C on ky指标理论求解反应扩散方程的冲击波解 ·253 智 diw(A+dmw(B)=di W(A+W(B))+ din(W(An W(B)) 方程(3)可写成常微分方程形式： 因为dmW(A=i+↓dmW(B)=n-,i df'+u'-叶i=0 dmrW(Ay+W(B,)≤所以得到dm(W(y∩ 那么与其等价的平面动力系统是 W(B≥1推出W(AynW(B)≠，从而得到 u-w-fuw) (AB≠.所以A与B之间至少存在一条连接 w-L-网=uy (4) 轨道. 对于方程(4的三个平衡点，根据Mors吩解的 易求得方程(4)的三个平衡点为：(00)，（士10）. 定义1.2可验证这三个平衡点可作为一个Mor分 线性化方程(4)得到矩阵 解，即有M(3)=(00,M(2)=(-10)M(1)= 0 (10),则把此Mos分解表示为MS={M()| 1-7) =123D2D1}. 它在三个平衡点的特征根分别是： 当k一4时，（士！0）是鞍点，(00)是不稳 V12 4 定焦点，则根据定理11得，（士l0)的Canje指标 d 入12(00)= dd 是∑'，(00)的Come指标是∑2.根据定理 224 21方程(4)存在不稳定焦点(00到鞍点（士，0） d 入12（⊥，0）= 的异宿轨道，即方程(3存在鞍焦型冲击波解. 2 随着的变化，平衡点的奇点类型也跟着变化，见 当少24(00)是鞍点，（士出0)是稳定焦点， 表1. 则根据定理2.1可得，(00)的Con y指标是 表1参数d和平衡点类型的关系 ∑'，（士10）的Come指标是∑°，方程(4存在 Table 1 Re lations of parameter d and ba nced ponts 鞍点(00)到稳定焦点（士10）的异宿轨道，即方程 d范围 (3存在鞍焦型冲击波解. 平衡点 4k0 k- 0K长24 醒可江，当一冬比0方程(4)存在不稳定 (00) 不稳定结点不稳定焦点 鞍点 鞍点 结点(00)到鞍点（±10）的异宿轨道，即方程(3) (士10) 鞍点 鞍点 稳定结点稳定焦点 存在鞍结型冲击波解。当0K志24方程(4存在 定理2.1对于1阶维微分方程AB是其 两个双曲不动点，A的Coml指标为∑1，的 鞍点(00)到稳定结点（士10）的异宿轨道，即方程 (3存在鞍结型冲击波解. Came指标为∑，则A屿B之间至少存在一条连 下面讨论当k0时，鞍鞍型冲击波解的存在 接轨道. 性.首先计算方程(4的联络矩阵和传递矩阵，然后 证明根据定理1.1A的不稳定流形维数为 说明连接两个鞍点之间异宿轨道的存在性. 计1则其稳定流形的维数为D一-1B的不稳定 (1)根据前面所述，联络矩阵△有如下形式的 流形维数为，i其稳定流形的维数为n一根据定义 线性算子： 1.5得 A®H(M9®CH(MD). W(Ay={Ba(B)={4, 可推断△是3×3矩阵.根据△必须是上三角 W(B={Bw(B)={B), 矩阵和度为一1的映射.所以 可验证满足定义1.1BA为吸引子排斥子对分 00 解.且有 △= 0 0 C(A B)=(B lo(B)CB a(B)CA= 009 {BIB∈W(AnW(B. 根据维数公式有 考虑到方程(4的参数当。二0时，得到一个
第 2期 张 柳等:基于 Conley指标理论求解反应扩散方程的冲击波解 u′= du dτ , u″= d 2 u dτ 2 , 方程 ( 3)可写成常微分方程形式 : du″+vu′-u+u 7 =0. 那么与其等价的平面动力系统是 u′=w=f( u, w) w′= 1 d (u-u 7 -vw) =g( u, w) ( 4) 易求得方程 ( 4)的三个平衡点为:( 0, 0), ( ±1, 0) . 线性化方程 ( 4)得到矩阵 Δ = fu fw gu gw = 0 1 1 d ( 1 -7u 6 ) - v d , 它在三个平衡点的特征根分别是: λ1, 2 ( 0, 0) = - v d + v d 2 + 4 d 2 , λ1, 2 ( ±1, 0) = - v d + v d 2 - 24 d 2 . 随着 d的变化, 平衡点的奇点类型也跟着变化, 见 表 1. 表 1 参数 d和平衡点类型的关系 Table1 Relationsofparameterdandbalancedpoints 平衡点 d范围 - v2 4 ≤d<0 d<- v2 4 0<d≤ v2 24 d> v2 24 ( 0, 0 ) 不稳定结点 不稳定焦点 鞍点 鞍点 ( ±1, 0 ) 鞍点 鞍点 稳定结点 稳定焦点 定理 2.1 对于 1 阶 n维微分方程, A, B是其 两个双曲不动点, A的 Conley指标为 ∑ i+1 , B的 Conley指标为 ∑ i , 则 A与 B之间至少存在一条连 接轨道 . 证明 根据定理 1.1, A的不稳定流形维数为 i+1, 则其稳定流形的维数为 n-i-1.B的不稳定 流形维数为 i, 其稳定流形的维数为 n-i.根据定义 1.5得 W u ( A) ={p0:α( p0 ) ={A}}, W s (B) ={p0:ω( p0 ) ={B}}, 可验证满足定义 1.1, B、A为吸引子--排斥子对分 解 .且有 C(A;B) ={p0 ω( p0 ) B, α( p0 ) A}= {p0 p0∈ W u (A)∩ W s ( B) }. 根据维数公式, 有 dimW u (A) +dimW s (B) =dim(W u ( A) +W s (B) ) + dim(W u ( A) ∩ W s (B) ), 因为 dimW u ( A) =i+1, dimW s ( B) =n-i, dim( W u (A) +W s ( B) ) ≤n, 所以得到 dim(W u ( A) ∩ W s ( B) ) ≥1, 推出 W u (A) ∩ W s ( B) ≠ , 从而得到 C( A;B) ≠ .所以 A与 B之间至少存在一条连接 轨道 . 对于方程 ( 4)的三个平衡点, 根据 Morse分解的 定义 1.2, 可验证这三个平衡点可作为一个 Morse分 解, 即有 M( 3) =( 0, 0), M( 2) =( -1, 0), M( 1) = ( 1, 0), 则把此 Morse分解表示为 M( S) ={M( i) i=1, 2, 3, 3 >2 >1}. 当 d<- v 2 4 时, ( ±1, 0)是鞍点, ( 0, 0)是不稳 定焦点, 则根据定理 1.1得, ( ±1, 0)的 Conley指标 是 ∑ 1 , ( 0, 0)的 Conley指标是 ∑ 2 .根据定理 2.1, 方程 ( 4)存在不稳定焦点 ( 0, 0)到鞍点 ( ±1, 0) 的异宿轨道, 即方程 ( 3)存在鞍 --焦型冲击波解 . 当 d> v 2 24 , ( 0, 0)是鞍点, ( ±1, 0)是稳定焦点, 则根 据定理 2.1 可得, ( 0, 0 )的 Conley指标是 ∑ 1 , ( ±1, 0)的 Conley指标是 ∑ 0 , 方程 ( 4)存在 鞍点 ( 0, 0)到稳定焦点 ( ±1, 0)的异宿轨道, 即方程 ( 3)存在鞍 --焦型冲击波解. 同理可证, 当 - v 2 4 ≤d<0, 方程 ( 4)存在不稳定 结点 ( 0, 0)到鞍点 ( ±1, 0)的异宿轨道, 即方程 ( 3) 存在鞍--结型冲击波解 .当 0 <d≤ v 2 24 , 方程 ( 4)存在 鞍点 ( 0, 0)到稳定结点 ( ±1, 0)的异宿轨道, 即方程 ( 3)存在鞍 --结型冲击波解. 下面讨论当 d<0时, 鞍 --鞍型冲击波解的存在 性.首先计算方程 ( 4)的联络矩阵和传递矩阵, 然后 说明连接两个鞍点之间异宿轨道的存在性. ( 1) 根据前面所述, 联络矩阵 Δ有如下形式的 线性算子 : Δ: 3 p=1CH＊ (M( p) )※ 3 p=1CH＊ ( M(p) ) . 可推断 Δ是 3 ×3矩阵.根据 Δ必须是上三角 矩阵和度为 -1的映射 .所以 Δ= 0 0 ? 0 0 ? 0 0 0 . 考虑到方程 ( 4)的参数, 当 v d =0时, 得到一个 · 253·
。254 北京科技大学学报 第33卷 Hmto系统，其边界解集有两个部分，一部分由点 根据△.度为一1得到矩阵变为 (10组成另一部分包含(00和（一10）有周期 000T1,1+)T1,2) 0 轨簇和一个到（一↓0）的异宿轨道.从这些能够推 001 0 T2,2) 0 断出在一1区不0时，（化0）与其他两个平衡点之 000 0 0 T3,3+) △= 000 0 0 1 间没有连接轨道，(00)到（一10）有连接轨道.所 000 0 0 1 以有可允许偏序>432且1与2、3无关.再根 000 0 0 0 据区间定义，可构成一个区间.所以有关于>。的上 可以验证，(M(P),MP)可以形成一个吸 三角矩阵 引子排斥对，推断出TP,P)=1 0001T1,2) 0 0010 1 000 0000 0 A= 当下0时，根据前面的证明，有从(00)到 0000 0 0000 0 (士10)有异宿轨道.特别地，当一时，一个 0000 0 0 因为△.A=0有T1厂，2)=1. 简单的时间重置，方程(4)可写成上一（业d) 000110 作为极限等式对于这个等式，容易判断出有从(0 001010 00000 0)到（斗0）有异宿轨道.因此对于充分小时， △= 00000 有3>-23>-∞1.根据引理1.1得，（M(2), 00000 M3)人(M1),M3)分别是M23人M13)的吸 000009 引子排斥对.推断出 所以存在参数入<0即<0使得系统拥有一个从 0 0 (一10到（十10）异宿轨道，根据PDE的孤立波 △ 00 与冲击波分别对应于ODE的同宿轨道与异宿轨道 00g 根据这两个联络矩阵和性质1.1还可得到(0 的思想，即方程(3存在唯一一个鞍鞍型异宿解或 0)到（土10）只有唯一的异宿轨道，即方程(4)有唯 者鞍鞍型冲击波解. 一的冲击波解.同理，对于其他的几种情况。也可证 3利用Cone软件包对联络矩阵和传递矩 明方程(4有唯一的鞍焦或鞍结冲击波解. 阵进行数值模拟 (2)我们来计算它的奇异传递矩阵，令入=d Can ey软件包由Mohaed Baraka和Danjel Robertz提供，它是Cone指标理论的主要代数工具 加入等式=A-X)(以-X人其中-1《六 之一.在本节中，将利用Came等软件包来计算k 0时，计算方程(4)的联络矩阵和传递矩阵9. 0和一∞考虑此等式，入。入是它的不动点， (1)计算联络矩阵.调用软件包，定义三个平 且入。是它的吸引子，入-∞是它的排斥子.当入=入 衡点，获得以上关系的偏序323>-23D- 把三个平衡点记为1,2,3.当入=入-，把三个 ↓在P中得到这些相关偏序的区间集合，定义数组 平衡点记为1,2,3.得到相应联络矩阵形式 存放三个平衡点的指标.设置最大孤立不变集M 000T1,)71,2)T1,3) (P)的Conley指标，得到dH除了设置M(P)的 Conjey指标以外，还需设置M13,M23)的ConJey 00172,1)T2,2)72,3) △ 00073,1)73,2)T3,3) 指标，得到QL,当一1《六0时，得到联络矩阵 000 0 0 000 000 0 0 △=001 000. 0 0 0 000
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 Hamilton系统, 其边界解集有两个部分, 一部分由点 ( 1, 0)组成, 另一部分包含 ( 0, 0)和 ( -1, 0), 有周期 轨簇和一个到 ( -1, 0)的异宿轨道 .从这些能够推 断出在 -1 v d <0时, ( 1, 0)与其他两个平衡点之 间没有连接轨道, ( 0, 0)到 ( -1, 0)有连接轨道.所 以有可允许偏序 >0, 3 >0 2且 1与 2、3 无关.再根 据区间定义, 可构成一个区间.所以有关于 >0 的上 三角矩阵 Δ0 = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 . 当 v d <0 时, 根据前面的证明, 有从 ( 0, 0 )到 ( ±1, 0)有异宿轨道.特别地, 当 v d ※ -∞时, 一个 简单的时间重置, 方程 ( 4)可写成 u · =- 1 d ( u-u 7 ) 作为极限等式, 对于这个等式, 容易判断出有从 ( 0, 0)到 ( ±1, 0)有异宿轨道.因此对于 v d 充分小时, 有 3 >-∞ 2, 3 >-∞ 1.根据引理 1.1 得, ( M( 2 ), M( 3) ) 、( M( 1), M( 3) )分别是 M( 23) 、M( 13)的吸 引子--排斥对.推断出 Δ-∞ = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 . 根据这两个联络矩阵和性质 1.1, 还可得到 ( 0, 0)到 ( ±1, 0)只有唯一的异宿轨道, 即方程 ( 4)有唯 一的冲击波解.同理, 对于其他的几种情况, 也可证 明方程 ( 4)有唯一的鞍 --焦或鞍 --结冲击波解. ( 2)我们来计算它的奇异传递矩阵, 令 λ= v d , 加入等式 λ · =δ( λ-λ0 ) ( λ-λ-∞ ), 其中 -1 v d < 0和 v d ※ -∞.考虑此等式, λ0, λ-∞是它的不动点, 且 λ0 是它的吸引子, λ-∞是它的排斥子 .当 λ=λ0, 把三个平衡点记为 1 - , 2 - , 3 -.当 λ=λ-∞, 把三个 平衡点记为 1 + , 2 + , 3 +.得到相应联络矩阵形式 Δε = 0 0 0 T( 1 - , 1 + ) T( 1 - , 2 + ) T( 1 - , 3 + ) 0 0 1 T( 2 - , 1 + ) T( 2 - , 2 + ) T( 2 - , 3 + ) 0 0 0 T( 3 - , 1 + ) T( 3 - , 2 + ) T( 3 - , 3 + ) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , 根据 Δε度为 -1, 得到矩阵变为 Δε = 0 0 0 T( 1 - , 1 + ) T( 1 - , 2 + ) 0 0 0 1 0 T( 2 - , 2 + ) 0 0 0 0 0 0 T( 3 - , 3 + ) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 . 可以验证, (M(p - ), M( p + ) )可以形成一个吸 引子 --排斥对, 推断出 T(p - , p + ) =1. Δε = 0 0 0 1 T( 1 - , 2 + ) 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 . 因为 Δε Δε =0, 有 T( 1 - , 2 + ) =1. Δε = 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 , 所以存在参数 λ<0即 v d <0, 使得系统拥有一个从 ( -1, 0)到 ( +1, 0)异宿轨道, 根据 PDE的孤立波 与冲击波分别对应于 ODE的同宿轨道与异宿轨道 的思想, 即方程 ( 3)存在唯一一个鞍 --鞍型异宿解或 者鞍 --鞍型冲击波解. 3 利用 Conley软件包对联络矩阵和传递矩 阵进行数值模拟 Conley软件包由 MohamedBaraka和 Daniel Robertz提供, 它是 Conley指标理论的主要代数工具 之一 .在本节中, 将利用 Conley等软件包来计算d< 0时, 计算方程 ( 4)的联络矩阵和传递矩阵 [ 9] . ( 1) 计算联络矩阵.调用软件包, 定义三个平 衡点, 获得以上关系的偏序 3 >0 2, 3 >-∞ 2, 3 >-∞ 1, 在 P中得到这些相关偏序的区间集合, 定义数组 存放三个平衡点的指标.设置最大孤立不变集 M ( P)的 Conley指标, 得到 CH0, 除了设置 M( P)的 Conley指标以外, 还需设置 M( 13), M( 23)的 Conley 指标, 得到 CH-∞ .当 -1 v d <0时, 得到联络矩阵 Δ0 = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 . · 254·