2.2.2平面的齐次坐标 平面齐次坐标由行矩阵 P=a bc d来表示 当点v=xyzw处于平面P内时,矩阵乘积PV=O,或记为 PV=a b c d]v=ax+by+c2+dv=0 2 如果定义一个常数m=a+b2+c,则有: x a 、DbzC 7+-j+-k)-(i+j+-k) w m w m w m 可以把矢量(“7+7+k)解释为某个平面的外法线,此 平面沿着法线方向与坐标原点的距离为
2.2.2 平面的齐次坐标 • 平面齐次坐标由行矩阵P=[a b c d ]来表示 • 当点v=[x y z w]T处于平面P内时，矩阵乘积PV=O，或记为 = + + + = 0 = ax by cz dw w z y x PV a b c d 如果定义一个常数m= a 2 +b 2 + c 2 ，则有： m d m c w z m b w y m a w x + + = − ( ) ( k ) m c j m b i m a k w z j w y i w x + + + + = 可以把矢量 解释为某个平面的外法线，此 平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。 ( k ) m c j m b i m a + + m d −
[例]: 因此一个平行于x、y轴,且在z轴上的坐标为单位距离的 平面P可以表示为:P=001-或p=002-2 >0v点在平面上方 有:PV={=0v点在平面上 <0v点在平面下方 例如:点V=102011必定处于此平面内,而点V=0021T 处于平P的上方点V=000订处于P平面下方。因为: 20 0-1010 01 1>0 000 -1<0 与点矢四000相仿,平面000也没有意义
[例]： 因此一个平行于x、y轴，且在z轴上的坐标为单位距离的 平面P可以表示为： 或 有： PV= P = 0 0 1 −1 P = 0 0 2 − 2 = 0 v 0 v 0 v 点在平面下方 点在平面上 点在平面上方 例如：点 V=[10 20 1 1] T必定处于此平面内，而点 V=[0 0 2 1] T 处于平 P 的上方点V=[0 0 0 1] T处于P平面下方。因为： 0 1 1 20 10 0 0 10 10 = − 1 0 1 2 0 0 0 0 1 1 = − -1 0 1 0 0 0 0 0 1 -1 = 与点矢0 0 0 0 T 相仿，平面0 0 0 0 也没有意义
2.2旋转矩阵及旋转齐次变换 2.2.1旋转矩阵 设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz,动坐标系为 uvw, 研究旋转变换情况。 ①初始位置时,动静坐标系重合,O、O‘重合,如图。各轴对 应重合,设P点是动坐标系∑Ow中的一点,且固定不变。则 P点在∑Ouw中可表示为: Pmg= Pi+Pju+Pw k k坐标系X0uw的单位矢量, 则P点在∑0xyz中可表示为 P=Pi+Pi+Pi Pm=p
2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换 2.2.1 旋转矩阵 设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´ uvw， 研究旋转变换情况。 x y z w v u P o (O') 图2-3 ① 初始位置时，动静坐标系重合，O、O´重合，如图。各轴对 应重合，设P点是动坐标系ΣO´ uvw中的一点，且固定不变。则 P点在ΣO´ uvw中可表示为： uvw u u v u w w P = P i + P j + P k 、 、 为坐标系ΣO´ uvw的单位矢量， 则P点在Σoxyz中可表示为： u i v j w k xyz x x y y z z P = P i + P i + P i Puvw = Pxyz
②当动坐标系ΣOuww绕O点回转时,求P点在固定坐标系 ∑oxyz中的位置 已知:P=P+P,元+Pk P点在Ouw中是不变的仍然 P 成立,由于Σ0uw回转,则: P P=Pm i=i (P,i +Pj,+Pk P=Pw jv=j,(Pi+Pj,+ Pw kw P P=Pmw j:=j(Pi+ Pj,+Pk i.P 用矩阵表示为:kmP‖(27) P」|k.ink:,kkP
② 当动坐标系ΣO´ uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系 Σoxyz中的位置 y z x o (O') u v w P Pw Pv Pu 图2-4 已知： P点在ΣO´ uvw中是不变的仍然 成立，由于ΣO´ uvw回转，则： uvw u u v u w w P = P i + P j + P k P ( ) x uvw x x u u v v w w = P i = i P i + P j + P k P ( ) y uvw y y u u v v w w = P j = j P i + P j + P k P ( ) z uvw z z u u v v w w = P j = j P i + P j + P k 用矩阵表示为: = w v z z v z w y y v w x x v x w z y x P P P k i k j k k j i j j j k i i i j i k P P P y （2-7）
定义旋转矩阵为:R=,1,k则:P=RPm k i kj k k 反过来: R P=R P R det R R*为R的伴随矩阵,detR为R的行列式,由于R是正交矩阵 因此R=R 2.2.2旋转齐次变换 用齐次坐标变换来表示式(2-7) P 0‖P P 0 P R 0‖P R 0‖P P 0‖P P 0 P 0001‖1 00011
xyz uvw z z v z w y y v w x x v x w p RP k i k j k k j i j j j k i i i j i k = R = : 定义旋转矩阵为： y 则 反过来： Puvw R Pxyz −1 = R R R det * 1 = − 1 T R R det R = − 因此 R 为R的伴随矩阵， R为R的行列式，由于 是正交矩阵， 2.2.2 旋转齐次变换 用齐次坐标变换来表示式（2-7） = 0 0 0 1 1 0 0 0 1 w v u z y x P P P R P P P = − 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 z y x w v u P P P R P P P