物理奥林匹克竞赛：全国物理奥林匹克竞赛第23届复赛试题（含参考答案）

中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 因此可求得，开始下落处到玻璃管底部的距离的可能值为 n=2,3,4,… (6) 若用H,表示与n对应的H值，则与H,相应的A点到玻璃管底部的距离 1 h,=H,-28时 n=2,3,4,… (7) 当n为奇数时，T可取0<t1<x中的任意值，故有 0<h<H [a-(j n=3,5,7,·· (8) 可见与H相应的h,的可能值为0与H之间的任意值. 当n为偶数时，1= 二π，由(6)式、(7)式求得H的可能值 3 h=H 4 n=2,4,6,· (9) 2.若A点正好在最高点或最低点. 无论n是奇数还是偶数都有 T=2(n-1)x n=2,3,4,·… (10) n=2,3,4,.… (11) h=H。 n=2,3,4, (12) 或 ha=0 (13 解法二 因为照相机每经一时间间隔T拍摄一次时，小球都位于相片上同一位置，所以小球经 过该位置的时刻具有周期性，而且T和这个周期的比值应该是一整数.下面我们就研究小 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

因此可求得，开始下落处到玻璃管底部的距离的可能值为 2 1 1 2 2 2 1 n T H g g n           n  2,3,4, （6） 若用 Hn 表示与 n 对应的 H 值，则与 Hn 相应的 A 点到玻璃管底部的距离 2 1 1 2 A n h H g    n  2,3,4, （7） 当 n 为奇数时， 1  可取 1 0     中的任意值，故有 0 A n   h H 2 1 2 1 n T H g n               n=3,5,7,· · · （8） 可见与 Hn 相应的 A h 的可能值为 0 与 Hn 之间的任意值． 当 n 为偶数时， 1 1 2    ，由（6）式、（7）式求得 Hn 的可能值 3 4 A n h H  2 1 2 1 n T H g n               n=2,4,6,· · · （9） 2．若 A 点正好在最高点或最低点． 无论 n 是奇数还是偶数都有 T n   2 1   n=2,3,4,· · · （10）   2 1 1 2 2 2 2 1 n T H g g n             n=2,3,4,· · · （11） A n h H   2 1 2 2 1 n T H g n                     n=2,3,4,· · · （12） 或 0 A h  （13） 解法二 因为照相机每经一时间间隔 T 拍摄一次时，小球都位于相片上同一位置，所以小球经 过该位置的时刻具有周期性，而且 T 和这个周期的比值应该是一整数．下面我们就研究小 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 球通过某个位置的周期性， 设小球从最高点（开始下落处）落下至管底所需时间为x,从最高点下落至相片上小 球所在点(A点)所需时间为x,从A点下落至管底所需时间为2，则 t=T+T (1) (小球上升时通过相应路程段所需时间与下落时同一路程所需时间相同，也是πx和π，) 从小球在下落过程中经过A点时刻开始，小球经过的时间2x,后上升至A点，再经过 时间2x,后又落到A点，此过程所需总时间为2x+2x2=2π.以后小球将重复这样的运动.小 球周期性重复出现在A点的周期是多少？分两种情况讨论： (1).T1≠2，T和t2都不是小球在A点重复出现的周期，周期是2π. (2).1=t2,小球经过时间2x2=x回到A点，再经过时间2=T又回到A点，所 以小球重复出现在A点的周期为π. 下面就分别讨论各种情况中H的可能值和A点离管底的距离，的可能值.（如果从小 球在上升过程中经过A点的时刻开始计时，结果一样，只是x和τ，对调一下) 1.H的可能值 (1).较普遍的情况，T,≠t2·T与2π的比值应为一整数，T的可能值应符合下式 T =k, k=1,2,3,… (2) 2t 由自由落体公式可知，与此相应的H,的数值为 n.-) k=1,2,3, (3) (2).T,=t2·t的可能值应符合下式 T-k k'=1,2,3,… (4) 故H的可能值为 k'=1,2,3, 当k'为偶数时，即k'=2,4,6,…时，(5)式与(3)式完全相同.可见由(3)式求得的H的 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

球通过某个位置的周期性． 设小球从最高点（开始下落处）落下至管底所需时间为，从最高点下落至相片上小 球所在点（A 点）所需时间为 1  ，从 A 点下落至管底所需时间为 2  ，则 1 2      （1） （小球上升时通过相应路程段所需时间与下落时同一路程所需时间相同，也是、 1  和 2  ） 从小球在下落过程中经过 A 点时刻开始，小球经过的时间 2 2 后上升至 A 点，再经过 时间 1 2 后又落到 A 点，此过程所需总时间为 1 2 2 2 2      ．以后小球将重复这样的运动．小 球周期性重复出现在 A 点的周期是多少？ 分两种情况讨论： （1）． 1 2    ， 1  和 2  都不是小球在 A 点重复出现的周期，周期是2 ． （2）． 1 2    ，小球经过时间 2 2   回到 A 点，再经过时间 1 2   又回到 A 点，所 以小球重复出现在 A 点的周期为． 下面就分别讨论各种情况中 H 的可能值和 A 点离管底的距离 A h 的可能值．（如果从小 球在上升过程中经过 A 点的时刻开始计时，结果一样，只是 1  和 2  对调一下） 1．H 的可能值 （1）．较普遍的情况， 1 2    ．T 与 2 的比值应为一整数， 的可能值应符合下式 2 T k   ， k 1,2,3, （2） 由自由落体公式可知，与此相应的 Hk 的数值为 2 1 1 2 2 2 2 k T H g g k          k 1,2,3, （3） （2）． 1 2    ． 的可能值应符合下式 T k    k 1,2,3, （4） 故 Hk 的可能值为 2 1 1 2 2 2 k T H g g k           k 1,2,3, （5） 当 k为偶数时，即k  2,4,6,时，（5）式与（3）式完全相同．可见由（3）式求得的 H 的 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 可能值包含了1≠x2的全部情况和x=t2的一部分情况.当k'为奇数时，即k'=1,3,5,…时， 由(5)式得出的H的可能值为 k'=13,5,… (6) 它们不在(3)式之内，故(3)式和(6)式得出的H合在一起是H的全部的可能值 2.与各H值相应的h,的可能值 a.与H相应的h,的可能值 由于在求得(3)式时未限定A点的位置，故h,的数值可取0和H,之间的任意值，即 0≤ha≤H k=1,2,3,… (7) b.与H（k'为奇数)相应的h,的可能值 这些数值与A位于特定的位置，1==5 相对应，所以对于每一个H.对应的h。 是一个特定值，它们是 k'=1,3,5,… (8) 评分标准： 本题23分 二、参考解答： 1.求刚碰撞后小球A、B、C、D的速度 设刚碰撞后，小球A、B、C、D的速度分别为)A、、0c、D,并设它们的方向都 与？，的方向相同.由于小球C位于由B、C、D三球组成的系统的质心处，所以小球C的 速度也就是这系统的质心的速度.因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒，故有 M'。=MoA+3mwc (1) 碰撞前后质点组的角动量守恒，有 0=mlvc +2mlop (2) 这里角动量的参考点设在与B球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正.因 为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理

可能值包含了 1 2    的全部情况和 1 2    的一部分情况．当k为奇数时，即 k 1,3,5,时， 由（5）式得出的 H 的可能值为 2 1 2 k T H g k         k 1,3,5, （6） 它们不在（3）式之内，故（3）式和（6）式得出的 H 合在一起是 H 的全部的可能值． 2．与各 H 值相应的 A h 的可能值 a.与 Hk 相应的 A h 的可能值 由于在求得（3）式时未限定 A 点的位置，故 A h 的数值可取 0 和 Hk 之间的任意值，即 0 A k   h H 2 1 2 2 k T H g k              k 1,2,3, （7） b. 与 Hk （ k为奇数）相应的 A h 的可能值 这些数值与 A 位于特定的位置， 1 2 2      ，相对应，所以对于每一个 Hk 对应的 A h 是一个特定值，它们是 2 1 1 2 2 A k T h H g k          2 1 2 k T H g k                 k 1,3,5, （8） 评分标准： 本题 23 分 二、参考解答： 1． 求刚碰撞后小球 A、B、C、D 的速度 设刚碰撞后，小球 A、B、C、D 的速度分别为 A v 、 B v 、 C v 、 Dv ，并设它们的方向都 与 0 v 的方向相同．由于小球 C 位于由 B、C、D 三球组成的系统的质心处，所以小球 C 的 速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒， 故有 0 A C M M m v v v   3 （1） 碰撞前后质点组的角动量守恒，有 C D 0 2   ml ml v v （2） 这里角动量的参考点设在与 B 球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因 为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理