Max z= 50x + 100x2管理者模型一对互为对偶的模型s.t.X1 + X2 ≤300原问题2x + X2 ≤ 400X2 ≤ 250X1, X2≥ 0Min f = 300yi+ 400y2+ 250y3租赁者模型对偶问题≥50s.t.Yi+2y2Yi+ Y2+ y3≥100Y1, Y2, Y3 ≥ 0
Min f = 300y1+ 400y2+ 250y3 s.t. y1+2y2 ≥ 50 y1+ y2+ y3 ≥100 y1 , y2 , y3 ≥ 0 Max z = 50x1 + 100x2 s.t. x1 + x2 ≤300 2x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0 对 偶 问 题 租 赁 者 模 型 原 问 题 管 理 者 模 型 一 对 互 为 对 偶 的 模 型
（对称形式）对偶问题的定义：(LP)max Z=CiXi + C2X2 +... + CnXns.t.a11xi + a12X2 + ... + airrn≤biam1Xi+ am2X2 + ...+ amnXn ≤ b,X1,X2,... ,Xn ≥0(DP)min W=byi+ b2y2+ ... + bmyms.t.aiyi+ a21y2+ ... + am1ym ≥ Ciainyi+ a2ny2+... + amnym ≥CnYi, y2,... , Jm ≥ 0
对偶问题的定义： （对称形式） （LP ） max Z=c1 x1 + c2 x2 + . + cn xn s.t. a11x1 + a12 x2 + . + a1nxn b1 . . . . . . am1x1 + am2x2 + .+ amn xn bm x1 , x2 , . , xn 0 （DP） min W=b1 y1+ b2 y2+ . + bm ym s.t. a11y1+ a21 y2+ . + am1 ym c1 . . . . . . a1ny1+ a2n y2+ . + amnym cn y1 , y2 , . , ym 0
设：6aCyiaTYb2C2y2a22nX =b=Y=A=6xLCnaammlm2Y(LP) Max z= cT x(DP) Min f = bT ys.t. Ax ≤bS.t. ATy ≥ cx ≥0y≥0则（DP）称为（LP）的对称形式对偶问题
(LP) Max z = cT x (DP) Min f = bT y s.t. Ax ≤ b s.t. AT y ≥ c x ≥ 0 y ≥ 0 则（DP）称为（LP）的对称形式对偶问题 设： = m m mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 = n x x x X 2 1 = n c c c C 2 1 = m y y y Y 2 1 = m b b b b 2 1
例3．2写出下面线性规划的对偶规划模型max = 3xj + 75x2 + 2x3 +x42xi +5x2 +6x3 + x4 ≤ 403xi +2x2 + X3 － x4 ≤ 50X -2x2 -3x3 +2x4 ≤ 20x, ≥ 0, j = 1,2,3,4解：按照对称形式的对偶关系，其对偶模型为
例3．2 写出下面线性规划的对偶规划模型 = − − + + + − + + + = + + + 0, 1,2,3,4 2 3 2 20 3 2 50 2 5 6 40 max 3 75 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x j x x x x x x x x x x x x x x x x j 解：按照对称形式的对偶关系，其对偶模型为
min f = 40yi + 50y2 +20y32yi +3y2 + y3 ≥35yi +22 2y3 ≥ 756yi + J2 -3y3 ≥2Ji J2 +2y2 ≥ 1J1,2,J3≥0
− + + − + − + + = + + , , 0 2 1 6 3 2 5 2 2 75 2 3 3 min 40 50 20 1 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 y y y y y y y y y y y y y y y f y y y