B(“)又称布尔算子。显然函数B仍然是在{0,1}集上取值。 下面引用数理逻辑中的一个定理。！，1山 定理2.任一布尔函数B(N,5心1，…1)，都可以唯一地展开成如下的析取规范形式 2N-1 51=y①B1( (2-1) 1=0 (5N5N-1…)是第i个合取项。合取项是N个因子的逻辑积，其每个因子取自！或 者1（按1=1,2…N次的次序）。例如N=4,那么(E,*9*2号1)就是i=1001（二进制 数表永)，或i=9(十进制数表示)的合取项。 (5,5,…5),■(5050写051)简记为(5，写3E:51) (2-1)式中B1是布尔函数在i点的值（显然B,或为0，或为1）。例如i=9(或i=1001), 就是5。=1，E3=0,52=0,ξ1=1的点，对应于该点的函数值就是B,即 B。=B(1,0,0,1) 符号①表示连续的或运算（又称逻辑连加）。 由定理2，可以得到以下三个推论。 推论1：如果布尔函数在N维逻辑变量空间中某一点处的值为0，则其规范展开式中没有 相应的合取项。 举例来说，若B。=0,则其析取范式中就没有(，，25：)项。 推论2：如果布尔函数在N维逻辑变量空间中所有点上的值皆为1，则其析取范式中含有 全部2N个合取项。 由此联系到定理1，可知，析取范式中的每一个合取项唯一对应于逻辑空间中的一个点。 推论3：如果一个布尔函数规范展开式如(2~1)，那么其“非”式的规范展开式如下 2N-1 B(5N,51…5)=了①B1*(5N5N1…5)1 t■0 为以后的讨论在语言的方便，特做如下的定义。 定义：如果布尔函数的析取范式中含有全部2个合取项，则称它是完备的。并把这种规 范展开式称为完备的布尔多项式。 有了以上的准备之后，下面来讨论加权布尔多项式。加权布尔多项式实质上就是定义在 N维逻辑变量空间上的实函数。 首先来定义实数a与逻辑变量u的“乘积” W =a.u 它定义为一个实函数，与逻辑变量u的对应关系如下， 如果u=1 W0, a 如果u=0 (2-2) 注意逻辑0与实0不能混淆，这里对u的唯-一要求就是它在集合{0,1}上取值，所以u可理解 成任何的逻辑表达式。例如“是几个逻辑变量的逻辑积。 设一个由实数构成的有序数组A A={80,a1…ak…} 用它的每个数分别乘布尔多项式的每个合取项，然后取代数和，这就得到一个加权布尔多项 46
护 又 称布尔算子 。 显然函数 仍然是在 福。 ， 卜集上取 值 。 下面 引用数理 逻辑 中的一 个定理 。 ‘ 。 定理 任一布尔函数 如 ， 七、 ， 一 玉 七 ， 都可 以 唯一地 展开 成如下 的析取 规范形 式 ” ‘ 毛 “ ， 七 ’ ” ” ’ 如 ’ 艺④“ ’ ‘ 七七 ’ “ ’ ” 劫 ’ 一 七 七 一 … … 七 是第 个合取项 。 合取项是 个 因 子的 逻辑积 ， 其每个因子取 自如 或 者乙 按 二 ， · · … 次的 次序 。 例如 ， 那 么 息 ‘ 盯 牙 七 就是 二进 制 数表示 ， 欢 二 十进制数表示 的合取项 。 七 ‘ ， 七 ， …… 七 二 七声砚 毓 七 简记为 毛 瓦 飞 乙 一 式 中 是布 尔函 数在 点的值 显然 ，或为 ， 或为 。 例 如 或 ， 就是 七 ‘ ， 七 。 ， 七 ， 七 的 点 ， 对应 于该 点的 函数值就 是 ， 即 一 ， ， ， 符号艺曰 表示 连续的 或运算 又 称逻辑 连加 。 由定理 ， 可 以得 到以下三个推论 。 推论 如果布尔函数在 维逻辑变量 空 间 中某一 点处的值为 ， 则 其规范展开式 中没 有 相应 的 合取项 。 举例来 说 ， 若 。 二 ， 则 其析取范式 中就没 有 七 七 七 息 项 。 推论 如果布尔函数在 维逻 辑变量 空 间中所 有点上的值 皆为 ， 则 其析取 范式 中含有 全部 ” 个合取项 。 由此联系到定理 可 知 ， 析取范式 中的每一个合取项唯一 对应 于逻 辑空 间 中的一个点 。 推论 如果一个布尔函数规范 展开 式如 一 ， 那 么其 “ 非 ” 式 的规范展开 式 如下 一 七 ， 七、 ， … … 毛 艺④ “ ·’ ‘流 一 ” ” ” 孰 ’ 为 以后的讨论在语 言的方便 ， ’ 特做如下的 定义 。 定义 如果布尔函数 的析取范式 中含有全部 个 合取 项 ， 则 称它是 完备 的 。 并把这种 规 范展开 式 称为完备的布尔多项式 。 有 了以 上的 准备之后 ， 下面来讨论加权布尔多项式 。 加权布尔多项式 实质上就是 定义 在 维逻辑变 空 间 上的实函数 。 首先来定义 实数 与逻辑变 的 “ 乘积 ” 一 它定义为一个实函数 ， 与逻 辑 变量 的 对应 关系如 下 如果 如果 二 一 ‘ 八 一 ‘ 注 意逻辑 与实 不能 混淆 ， 这里 对 。 的 唯一要求就是 它 在 集合 扣 ， 上取 值 ， 所 以 可 理解 成任何的 逻辑表达式 。 例如 是几个逻辑 变量 的逻辑积 。 设一个 由实数构成的有序数组 。 ， … … ‘ … … 用 它 的每个数分别 乘布尔多项式的 每个合取项 ， 然后取代数和 ， 这就得到一个加权布尔多项
式。a是其第k项的权系数。而且，说一个加权布尔多项式是完备的，如果它所对应的布尔 多项式是完备的。也就是说，加权布尔多项式的完备性是以其对应的布尔多项式的完备性来 定义的。显然，完备的加权布尔多项式具有以下的形式： u(A)=ao(写N5M-1…号)+a1(5N号w1…专，)+…+ 2N-1 a2N-1(5N名1…5)=∑a1(店N5N1…专)1 (2-3) 0 不难看出，它是定义在N维逻辑变量空间中的实函数。对于空间中的每一点都有、而且也仅 有一个权系数与之对应。并且把 2N-1 WT=∑a: fg} (2-4) 1=0 称为“(A)在其定义空间内的总权重。 在讨论加权布尔多项式的运算之前，先定义只有一个单项情况下的加法和乘法运算。 设a、b为两个实数。u1、“z为两个逻辑变量，由(2-2)式的定义知 W.=aui,W。=b·uz 定义“加”：W,+W,记着W,+b W。+b=au1+bu2 (2-5) 特别是当W。、W。具有同一个定义空间，即当u1=“z=u时，上式成为 W。+b=(a+b)·u 定义“乘”，W。×W记做W.xb(或W.b) W。xb=(a×b)(u1™uz) 简记为ab·(u1uz) (2-6) 这时，乘积的逻辑空间增大成二维的。当然若u!=42=u则 W.xb=(a×b)u 由于上述的“加”、“乘”定义和已知的实数加、乘运算和逻辑的“或”、“与”运算 的规定，是无矛盾的、互相协调。这就使帅权布尔多项式具有许多有价值的性质和非常简明 的运算规则。 为了以后在叙述上的方便，特规定以下的符号。 设有序的实数组A、B A={a0,a1…ag…} B={bg,b…bk…} 则符号A+B,A×B分别表示下述数组 A+B={a。+b。,a1+b1…ak+bt…} AXB={a0Xbo,a1Xb1,…xbk…} 定理3.（选加原理）设有定义在同一个N维逻辑变量空间上的完备的加权布尔多项式 u(A)、u(B),则 u(A)+u(B)=u(A+B) (2-7) 这一定理的正确性是很明显的，证明从略。这是布尔多项式的一个重要性质。 定理4.：（正交原理)设从上述的完备加权布尔多项式u(A)中取出第i项， 47
式 。 是 其第 项 的权系数 。 而且 ， 说一个加 权布尔多项式是完备的 ， 如果 它所对应 的布尔 多项式是完备的 。 也就是 说 ， 加 权布尔多项式 的完备性是 以其 对应 的布尔多项式 的 完备性来 定义 的 。 显然 ， 完备的加权布尔多项式具有 以下的形 式 二 。 七 七、 · · 一 息 七 七、 · ” … 七 · · 一 一 。 一 ， ‘ 、 … … “ ， ‘ 艺 一 … … ， “ 不难看出 ， 它是定义 在 维逻辑 变量 空 间 中的实函 数 。 对于空 间 中的每一点都有 、 而且也仅 有一个 权系数与之 对应 。 并且把 二 福 一 称为 在其 定义 空 间内的总权重 。 在讨论加权布尔多项式的运 算之前 ， 先定义只有一个单项情况 下的加法和果法运算 。 设 、 为 两个实数 。 、 。 为两个逻辑变里 ， 由 一 式的 定义 知 一， 。 一 定义 “ 加 ” 。 十 。 记着 。 ， 。 。 二 · · 一 特别是 当 。 、 。 具有同一个定义空 间 ， 即 当 时 ， 上式成为 。 、 一 定义 乘 ” 。 。 记做 、 或 。 。 。 。 一 简记为 一 这时 ， 乘积 的逻辑 空 间增 大成二维 的 。 当然若 二 则 二 、 一 由于 上述的 “ 加 ” 、 “ 乘” 定义 和 已知的 实数加 、 乘运算和 逻辑 的 “ 或” 、 “ 与” 运算 的规定 ， 是 无矛盾的 、 互相协调 。 这 就使加权布尔多项式具有许多有价值 的性质和 非常简明 的运 算规则 。 为 了以后在叙述 上的方便 ， 特规定 以下的符 号 。 设有序 的 实数组 、 二 。 ， … … … … 卜 二 魂 ， ，… … … … 卜 则符号 ， 分 别 表示下述数组 毛 。 ， … … ‘ … … 。 。 ， ， … … … … 定理 迭加原 理 设有定义在同一个 维逻辑变 空 间 上的完备的加权布尔多项式 、 ， 则 一 这一定理 的正 确性是很 明显的 ， 证明从略 。 这是布尔多项式 的一布甲重要性质 。 定理 正交原理 设 从 上 述 的 完 备加权 布尔 多项式 《 中取 出 第 项