志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时) 用空间向量研究夹角问题 课后·训练提升 基础巩固 1.若直线1的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°，则直线1与平面a所成的角为) A.30° B.60° C.150° D.120° 答案B 2在长方体ABCD-4B1CD,中，若AB=2BC=2,DD1是则AC与BD,所成角的余弦值是() A.0 B.30 C.3v而 D而 70 70 70 答案A D 解析如图建立空间直角坐标系，则D0,0 ,B2.0,420,0C0,20所以BD-2-2星，元- 2,2,0) 设AC与BD1所成的角为Q,则cos0=lcos<BD,C>匹C-0 BDACI 3.在正四棱柱ABCD-A1B1CD1中，己知AA1=2AB,则CD与平面BDC所成角的正弦值为) A号 B③ 3 D 答案A 解析不妨设AB-1,则A41=2. 1
1 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第 2 课时 用空间向量研究夹角问题 课后· 基础巩固 1.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角为 150°,则直线 l 与平面 α 所成的角为( ) A.30° B.60° C.150° D.120° 答案:B 2.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,若 AB=2,BC=2,DD1= 3 2 ,则 AC 与 BD1 所成角的余弦值是( ) A.0 B. 3√70 70 C.- 3√70 70 D. √70 70 答案:A 解析:如图建立空间直角坐标系,则 D1 0,0,3 2 ,B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),所以𝐵𝐷1 ⃗⃗ ⃗⃗ = -2,-2,3 2 ,𝐴⃗⃗𝐶 =(- 2,2,0). 设 AC 与 BD1 所成的角为 θ,则 cos θ=|cos<𝐵𝐷1 ⃗⃗ ⃗⃗ ,𝐴𝐶⃗⃗ >|=|𝐵𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | |𝐵𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | =0. 3.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,已知 AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值为( ) A. 2 3 B. √3 3 C. √2 3 D. 1 3 答案:A 解析:不妨设 AB=1,则 AA1=2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 以D1为原点，D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则 D0,0,2),C1(0,1,0,B1,1,2),C(0,1,2),所以DB-(1,1,0),DC1=-0,1,-2),DC=(0,1,0) 设n=(x,y,)为平面BDC的法向量， 则nD丽=0、即gty=0取m22, n DC=0, y-2z=0. 设CD与平面BDC1所成的角为O, 则sn0=-Dt=号 4.己知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SB的中点，则AE,SD所成角的余弦值为 () A时 B c 房 客案c 解析不妨设正四棱锥的棱长为2，如图，以正方形ABCD的中心O为原点，建立空间直角坐标系，则 A1,-1,0),D-1-1,0,S0,022是是， 2’22 所以证-（号历1-lV2 2,2,2 设AE,SD所成的角为O, 则cos0=cos<4正，5D>1m严= AEISDI 故AE,SD所成角的余弦值为号 5.(多选题)已知P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面 PCD所形成的二面角的大小可以为() A30° B.45° C.135° D.150° 答案BC 解析建立如图所示的空间直角坐标系A 2
2 以 D1 为原点,D1A1,D1C1,D1D 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则 D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),所以𝐷𝐵⃗ ⃗ =(1,1,0),𝐷𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-2),𝐷𝐶⃗⃗⃗ =(0,1,0). 设 n=(x,y,z)为平面 BDC1 的法向量, 则{ 𝑛·𝐷𝐵⃗ ⃗ = 0, 𝑛·𝐷𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0, 即 { 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑦-2𝑧 = 0, 取 n=(-2,2,1). 设 CD 与平面 BDC1 所成的角为 θ, 则 sin θ=|cos<𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,n>|=|𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛| |𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑛| = 2 3 . 4.已知正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长与底面边长相等,E 为 SB 的中点,则 AE,SD 所成角的余弦值为 ( ) A. 1 3 B. √2 3 C. √3 3 D. 2 3 答案:C 解析:不妨设正四棱锥的棱长为 2,如图,以正方形 ABCD 的中心 O 为原点,建立空间直角坐标系,则 A(1,-1,0),D(-1,-1,0),S(0,0,√2),E 1 2 , 1 2 , √2 2 , 所以𝐴𝐸⃗⃗⃗ = - 1 2 , 3 2 , √2 2 ,𝑆𝐷⃗⃗ =(-1,-1,-√2). 设 AE,SD 所成的角为 θ, 则 cos θ=|cos<𝐴𝐸⃗⃗⃗ ,𝑆𝐷⃗⃗ >|=|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑆𝐷⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑆𝐷⃗⃗⃗⃗ | = √3 3 . 故 AE,SD 所成角的余弦值为√3 3 . 5.(多选题)已知 P 为正方形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥平面 ABCD,若 PA=AB,则平面 PAB 与平面 PCD 所形成的二面角的大小可以为( ) A.30° B.45° C.135° D.150° 答案:BC 解析:建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1 设PA=AB=1,则A(0,0,0),D0,1,0),P(0,0,1),于是AD=(0,1,0) 取PD的中点E,连接AE, 则o,》 于是正=(02》 易知AD是平面PAB的一个法向量，A正是平面PCD的一个法向量， 0s<而，正>号 平面PAB与平面PCD所形成的二面角的余弦值为士三 .平面PAB与平面PCD所形成的二面角的大小为45°或135° 6.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，M为CC的中点，O为底面ABCD的中心，P为A1B上的任意点， 则直线BM与OP所成的角为 D C B B 答案 解析如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. D 设正方体的棱长为2，A1P=x(0≤x≤2) 则O1,1,0),P(2,x,2),B2,2,0),M0,2,1)2 所以0丽=(1，x-1,2),BM=(-2,0,1). 所以O丽.BM=0,所以丽⊥BM,即OP⊥BM 3
3 设 PA=AB=1,则 A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),于是𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0). 取 PD 的中点 E,连接 AE, 则 E(0, 1 2 , 1 2 ), 于是𝐴𝐸⃗⃗⃗ = (0, 1 2 , 1 2 ). 易知𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 是平面 PAB 的一个法向量,𝐴𝐸⃗⃗⃗ 是平面 PCD 的一个法向量, ∵cos<𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ,𝐴𝐸⃗⃗⃗ >= √2 2 , ∴平面 PAB 与平面 PCD 所形成的二面角的余弦值为± √2 2 . ∴平面 PAB 与平面 PCD 所形成的二面角的大小为 45°或 135°. 6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 C1C 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为 A1B1 上的任意点, 则直线 BM 与 OP 所成的角为 . 答案: π 2 解析:如图,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 2,A1P=x(0≤x≤2), 则 O(1,1,0),P(2,x,2),B(2,2,0),M(0,2,1), 所以𝑂𝑃⃗⃗⃗ =(1,x-1,2),𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,1). 所以𝑂𝑃⃗⃗⃗ · 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ =0,所以𝑂𝑃⃗⃗⃗ ⊥ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ,即 OP⊥BM
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 所以直线BM与OP所成的角为2 7.己知点E,F分别在正方体ABCD-AB1C1D1的棱BB1,CC1上，且B1E-2EB,CF-2FC1,则平面AEF与 平面ABCD的夹角的正切值为 图案 解析如图，建立空间直角坐标系 D 设正方体的棱长为1，则41,00,111F(0,1),所以正=(0,1)，丽=（1,0》 平面ABCD的一个法向量为n1=(0,0,1) 设平面AEF的法向量为2=(x,), 由n2AE=0,2EF=0,可得平面AEF的一个法向量为2=(1，-1,3) 所以csn>将=要 设平面AEF与平面ABCD的夫角为a则c0sa=c0s<,3匹从而sina= 11 11 ⑦ 所以tanu=3 8.如图，在四面体ABCD中，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=√Z.求异面直线AB与CD所成角的余弦值. B 解如图，取BD的中点O,连接OA,0C,则由题意知，OALBD,OC⊥BD,0A=1,OC=V3 又CA=2,所以OA2+OC2=CA2,所以OA⊥OC 4
4 所以直线 BM 与 OP 所成的角为π 2 . 7.已知点 E,F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 BB1,CC1 上,且 B1E=2EB,CF=2FC1,则平面 AEF 与 平面 ABCD 的夹角的正切值为 . 答案: √2 3 解析:如图,建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 1,则 A(1,0,0),E 1,1,1 3 ,F(0,1, 2 3 ),所以𝐴𝐸⃗⃗⃗ = (0,1, 1 3 ) ,𝐸𝐹⃗⃗ = (-1,0, 1 3 ). 平面 ABCD 的一个法向量为 n1=(0,0,1). 设平面 AEF 的法向量为 n2=(x,y,z), 由 n2·𝐴𝐸⃗⃗⃗ =0,n2·𝐸𝐹⃗⃗ =0,可得平面 AEF 的一个法向量为 n2=(1,-1,3). 所以 cos<n1,n2>= 𝑛1·𝑛2 |𝑛1||𝑛2| = 3√11 11 . 设平面 AEF 与平面 ABCD 的夹角为 α,则 cos α=|cos<n1,n2>|=3√11 11 ,从而 sin α= √22 11 . 所以 tan α= √2 3 . 8. 如图,在四面体 ABCD 中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=√2.求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值. 解:如图,取 BD 的中点 O,连接 OA,OC,则由题意知,OA⊥BD,OC⊥BD,OA=1,OC=√3. 又 CA=2,所以 OA2+OC2=CA2 ,所以 OA⊥OC
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 以O为原点，OB,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立空间直角坐标系， 则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,V3,0),A0,0,1)2 所以BA-(-1,0,1),CD=(1,-3,0) 设异面直线AB与CD所成的角为O, 则os0-6osAD1恶-号 BAICDI 故异面直线AB与CD所成角的余弦值为 9.如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FEAB⊥AD,M为EC的中 点，AF=AB=BC=FE-2AD. (I)求异面直线BF与DE所成的角的大小： (2)求证：平面AMDL平面CDE (3)求平面ABCD与平面CDE的夹角的余弦值. (1)解图如图，以A为原点，AB,AD,AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系 设AB=1,则B(1,0,0),C(1,1,0),D0,2,0),E0,1,1),F(0,0,1), 所以BF-(-1,0,1),D元=(0，-1,1) 设BF与DE所成的角为O, 则coscos<B那，正>1=2 BFIDEI 所以0=60° 所以异面直线BF与DE所成的角为60° (2应明(1)知，丽.1，正10,1， AD=(0,2,0),所以C正.AM=0,CE.AD-0 5
5 以 O 为原点,OB,OC,OA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系, 则 B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,√3,0),A(0,0,1), 所以𝐵𝐴⃗⃗⃗ =(-1,0,1),𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(-1,-√3,0). 设异面直线 AB 与 CD 所成的角为 θ, 则 cos θ=|cos<𝐵𝐴⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷⃗⃗⃗ >|=|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ | = √2 4 . 故异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为√2 4 . 9.如图,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中 点,AF=AB=BC=FE=1 2 AD. (1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (2)求证:平面 AMD⊥平面 CDE; (3)求平面 ABCD 与平面 CDE 的夹角的余弦值. (1)解:如图,以 A 为原点,AB,AD,AF 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. 设 AB=1,则 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),M 1 2 ,1,1 2 . 所以𝐵𝐹⃗⃗⃗ =(-1,0,1),𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1). 设 BF 与 DE 所成的角为 θ, 则 cos θ=|cos<𝐵𝐹⃗⃗⃗ ,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ >|=|𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1 2 , 所以 θ=60°. 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角为 60°. (2)证明:由(1)知,𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ = 1 2 ,1,1 2 ,𝐶𝐸⃗⃗ =(-1,0,1), 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),所以𝐶𝐸⃗⃗ · 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ =0,𝐶𝐸⃗⃗ · 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =0