志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第三章过关检测卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.已知曲线C2-mx2-1,则“曲线C是双曲线”是“m>0”的() A充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 解析：方程y2-m2=1表示双曲线时，应满足m>0,反之，当m>0时，方程2-m2=1一定表示双曲线，所以 “曲线C是双曲线”是“m>0”的充要条件」 2若椭圆后+六1的焦点在)轴上，则实数m的取值范围是(） y2 A(经，+0) B(0) c(2) D.(1,+o 答案B 解析：依题意有2m+1>4m>0,解得0<m<生 3若抛物线)护÷的焦点与椭圆号+号-1的左焦点重合，则m的值为 A月 B时 C.-2 D.2 答案：A 解析椭圆号+号1中，半焦距c=丙-2，所以左焦点为2,0)，国此)点x的焦点为(-2,0以于是票0且 -8，故m=克 m 4.(多选题)已知直线-3x+2被椭圆 -1（α>b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被该椭圆截得的 y2 a2+ 弦长也为8的有() A.y=3x-2 B.y=3x+l Cy=-3x-2 D.y=-3x+2 答案：ACD 解析：椭圆关于原，点和坐标轴对称，从而与直线y=3x+2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的 弦长也为8，与直线y=3x+2关于原点对称的直线为y=3x-2,关于x轴对称的直线为y=-3x-2,关于y轴 对称的直线为y=-3x+2,故ACD满足条件. 1
1 第三章过关检测卷 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知曲线 C:y 2 -mx2=1,则“曲线 C 是双曲线”是“m>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 解析:方程 y 2 -mx2=1 表示双曲线时,应满足 m>0,反之,当 m>0 时,方程 y 2 -mx2=1 一定表示双曲线,所以 “曲线 C 是双曲线”是“m>0”的充要条件. 2.若椭圆𝑥 2 4𝑚 + 𝑦 2 2𝑚+1 =1 的焦点在 y 轴上,则实数 m 的取值范围是( ) A.( 1 2 , + ∞) B.(0, 1 2 ) C.(- 1 2 ,1) D.(1, + ∞) 答案:B 解析:依题意有 2m+1>4m>0,解得 0<m<1 2 . 3.若抛物线 y 2= 4 𝑚 x 的焦点与椭圆𝑥 2 7 + 𝑦 2 3 =1 的左焦点重合,则 m 的值为( ) A.- 1 2 B. 1 2 C.-2 D.2 答案:A 解析:椭圆𝑥 2 7 + 𝑦 2 3 =1 中,半焦距 c=√7-3=2,所以左焦点为(-2,0),因此 y 2= 4 𝑚 x 的焦点为(-2,0),于是4 𝑚 <0 且 - 4 𝑚 =8,故 m=- 1 2 . 4.(多选题)已知直线 y=3x+2 被椭圆𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)截得的弦长为 8,则下列直线中被该椭圆截得的 弦长也为 8 的有( ) A.y=3x-2 B.y=3x+1 C.y=-3x-2 D.y=-3x+2 答案:ACD 解析:椭圆关于原点和坐标轴对称,从而与直线 y=3x+2 关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的 弦长也为 8,与直线 y=3x+2 关于原点对称的直线为 y=3x-2,关于 x 轴对称的直线为 y=-3x-2,关于 y 轴 对称的直线为 y=-3x+2,故 ACD 满足条件
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 5已知FA分别为双曲线蜡-三-1a0b>0的左、右焦点且F20,点P为双曲线右支上的一点 且IF1F2=2PF2l,△PF1F2的周长为10，则双曲线的渐近线方程为) Ay=±V3x By=± Cy=±2x D=士艺 答案：A 解析：由题知c=2,则F1F2=4.因为1F1F2-2PF2l,所以PF2=2.因为△PF1F3的周长为10，所以 1PF1+2+4=10,解得1PF1=4,所以PF-PF2=2=2a,解得a=1,因为a2+b2=c2,所以b=√3.故双曲线的渐 近线方程为y=士V3x 6.己知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点的距 离之和为3m,则该椭圆的离心率等于() A号 B号 c号 D吃 答案B 解析：由已知得精圆的焦距20-24，长轴长2a=3,则离心率e二=兰=手 7.已知抛物线2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点A(3,2)向其准线作垂线，与抛物线交于点E,则EF等 于( A.1 B.2 c D 答案D 解析：由已知得抛物线方程为2-8x因为AE与准线垂直，所以设E0,2),代入抛物线方程可得0三，于 是EF等于点E到准线的距离d+2-号 8.(多选题)若ab≠0，则ax-y+b=0和br2+a2=ab所表示的曲线不可能是下图中的( 头：诉、 答案：ABD 解析原方程分别可化为)=m+b和二+苦-1从B,D中的两精圆看，a>0,b>0,但由B中的直线可得 b a<0,b<0,矛盾，故B不可能；从D中的直线可得a<0,b>0,矛盾，故D不可能.由A中的双曲线可得 2
2 5.已知 F1,F2 分别为双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且 F2(2,0),点 P 为双曲线右支上的一点, 且|F1F2|=2|PF2|,△PF1F2 的周长为 10,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±√3x B.y=± √3 3 x C.y=±2x D.y=± 1 2 x 答案:A 解析:由题知 c=2,则|F1F2|=4.因为|F1F2|=2|PF2|,所以|PF2|=2.因为△PF1F2 的周长为 10,所以 |PF1|+2+4=10,解得|PF1|=4,所以|PF1|-|PF2|=2=2a,解得 a=1,因为 a 2+b2=c2 ,所以 b=√3.故双曲线的渐 近线方程为 y=±√3x. 6.已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为 2.4 m,外轮廓线上的点到两个焦点的距 离之和为 3 m,则该椭圆的离心率等于( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 2 3 D. 1 2 答案:B 解析:由已知得椭圆的焦距 2c=2.4,长轴长 2a=3,则离心率 e= 2𝑐 2𝑎 = 2.4 3 = 4 5 . 7.已知抛物线 y 2=2px(p>0)的焦点为 F(2,0),过点 A(3,2)向其准线作垂线,与抛物线交于点 E,则|EF|等 于( ) A.1 B.2 C. 3 2 D. 5 2 答案:D 解析:由已知得抛物线方程为 y 2=8x.因为 AE 与准线垂直,所以设 E(x0,2),代入抛物线方程可得 x0= 1 2 ,于 是|EF|等于点 E 到准线的距离 d=1 2 +2= 5 2 . 8.(多选题)若 ab≠0,则 ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab 所表示的曲线不可能是下图中的( ) 答案:ABD 解析:原方程分别可化为 y=ax+b 和 𝑥 2 𝑎 + 𝑦 2 𝑏 =1.从 B,D 中的两椭圆看,a>0,b>0,但由 B 中的直线可得 a<0,b<0,矛盾,故 B 不可能;从 D 中的直线可得 a<0,b>0,矛盾,故 D 不可能.由 A 中的双曲线可得
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org a<0,b>0,但由直线可得a>0,b>0,矛盾，故A不可能.由C中的双曲线可得a>0,b<0,由直线可得 a>0,b<0,故C有可能. 9过椭圆品+号-1内一点M2)引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所在直线的斜率等于(） A.-2 B时 c D.2 答案：C 解析：由题意得，弦所在直线的斜率存在.设所求直线的斜率为k,则其方程为少1=x-2),与椭圆方程联 立，并整理 得(42+1)x2-8(22-)x+4(2k-1)2-16=0.(*)） 设直线与精圆的交点为Am),B2,则，是方程（约的两根，于是+2型 4k2+1 又M为AB的中点，所以1=2=2， 2 4k2+1 解得仁是 10.(多选题)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1,F2.若曲线厂上存在点P满足IPF:FF2: |PF2-4:3:2,则曲线T的离心率可能等于() A月 B明 C.2 D 答案：AD 解析：设圆锥曲线的离心率为e,由PF1:FF:PF=4:3:2,知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的 F1F2 3 F1F2l 定义，得广最一O若圆维南线为数南线，则由议由线的定义，得e=名=月 综上，所求的离心率为或 11.过抛物线y2-8x焦点F的直线I交抛物线于A,B两点，点P在线段AB上运动，原点O关于点P的 对称点为M,则四边形OAMB的面积的最小值为) A.8 B.10 C.14 D.16 答案D 解析：依题知F(2,0),设直线1的方程为x=my+2,与抛物线方程联立消去x,得)y2-8少16=0，设 A(x1,n）,B(x2,2),则1+2=8m,y2=-16. 由对称性知，四边形OAMB的面积等于2Sa4OB 2Sa408-2xOF]-Lvi-y2l 3
3 a<0,b>0,但由直线可得 a>0,b>0,矛盾,故 A 不可能.由 C 中的双曲线可得 a>0,b<0,由直线可得 a>0,b<0,故 C 有可能. 9.过椭圆𝑥 2 16 + 𝑦 2 4 =1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被点 M 平分,则这条弦所在直线的斜率等于( ) A.-2 B. 1 2 C.- 1 2 D.2 答案:C 解析:由题意得,弦所在直线的斜率存在.设所求直线的斜率为 k,则其方程为 y-1=k(x-2),与椭圆方程联 立,并整理, 得(4k 2+1)x 2 -8(2k 2 -k)x+4(2k-1)2 -16=0.(*) 设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程(*)的两根,于是 x1+x2= 8(2𝑘 2 -𝑘) 4𝑘 2+1 . 又 M 为 AB 的中点,所以𝑥1+𝑥2 2 = 4(2𝑘 2 -𝑘) 4𝑘 2+1 =2, 解得 k=- 1 2 . 10.(多选题)设圆锥曲线 Г 的两个焦点分别为 F1,F2.若曲线 Г 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶ |PF2|=4∶3∶2,则曲线 Г 的离心率可能等于( ) A. 1 2 B. 2 3 C.2 D. 3 2 答案:AD 解析:设圆锥曲线的离心率为 e,由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,知①若圆锥曲线为椭圆,则由椭圆的 定义,得 e= |𝐹1𝐹2| |𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2| = 3 4+2 = 1 2 ;②若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义,得 e= |𝐹1𝐹2| |𝑃𝐹1|-|𝑃𝐹2| = 3 4-2 = 3 2 . 综上,所求的离心率为1 2或 3 2 . 11.过抛物线 y 2=8x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,点 P 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 P 的 对称点为 M,则四边形 OAMB 的面积的最小值为( ) A.8 B.10 C.14 D.16 答案:D 解析:依题知 F(2,0),设直线 l 的方程为 x=my+2,与抛物线方程联立消去 x,得 y 2 -8my-16=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=8m,y1y2=-16. 由对称性知,四边形 OAMB 的面积等于 2S△AOB. ∵2S△AOB=2× 1 2 |OF|·|y1-y2|
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org -20y+2)2.4y2=16Nm2+1, ∴.当m=0时，四边形OAMB的面积取得最小值，最小值为16 12已知椭圆E号+云1的左、右焦点分别为FA定点，4，点P是椭圆E上的动点，则 PA+PF的取值不可能为( A.7 B.10 C.17 D.19 答案D 解析：由题意可得F2(4,0),则4F2=V32+42-5.于是I‖P4-PF≤4F=5.因为点P在椭圆E上，所以 1PF1+|PF2=2a=12,所以PF=12-PFl,故|PA+PF=12+PA-PF,因为-5≤IPA-PF≤5，所以 7≤IP4+PF1≤17，结合选项知，lPA+PF的可能取值为7,10,17，但不可能为19. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分： 13.抛物线x+-0的准线方程为 答案：x 解析：抛物线方程可化为)2-2x,抛物线开口向左号-，故准线方程为x 14与双曲线号-号-1有公共焦点，且长轴长为8的椭圆的方程为 答案+片1 解析易知双曲线号-号-1的焦点在x轴上，坐标为（士3,0，因此可设精圆的标准方程为 2+ 子-1(0>b0,则有2a=8,于是a=4,又63，所以6=7，于是精国的方程为号+号-1 15.己知抛物线Cy2=4x的焦点为F,定点A(0,-2),若射线FA与抛物线C交于点M,与抛物线C的准线 交于点N,则MM:IFN等于」 答案 解桥封线H的方轻为)22≤联之-2经解得学气=学合去所以0N FN-+1:0+1)54 4
4 =2√(𝑦1 + 𝑦2 ) 2 -4𝑦1𝑦2=16√𝑚2 + 1, ∴当 m=0 时,四边形 OAMB 的面积取得最小值,最小值为 16. 12.已知椭圆 E: 𝑥 2 36 + 𝑦 2 20=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,定点 A(1,4),点 P 是椭圆 E 上的动点,则 |PA|+|PF1|的取值不可能为( ) A.7 B.10 C.17 D.19 答案:D 解析:由题意可得 F2(4,0),则|AF2|=√3 2 + 4 2=5.于是||PA|-|PF2||≤|AF2|=5.因为点 P 在椭圆 E 上,所以 |PF1|+|PF2|=2a=12,所以|PF1|=12-|PF2|,故|PA|+|PF1|=12+|PA|-|PF2|,因为-5≤|PA|-|PF2|≤5,所以 7≤|PA|+|PF1|≤17,结合选项知,|PA|+|PF1|的可能取值为 7,10,17,但不可能为 19. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.抛物线 x+1 2 y 2=0 的准线方程为 . 答案:x= 1 2 解析:抛物线方程可化为 y 2=-2x,抛物线开口向左, 𝑝 2 = 1 2 ,故准线方程为 x= 1 2 . 14.与双曲线𝑥 2 2 − 𝑦 2 7 =1 有公共焦点,且长轴长为 8 的椭圆的方程为 . 答案: 𝑥 2 16 + 𝑦 2 7 =1 解析:易知双曲线𝑥 2 2 − 𝑦 2 7 =1 的焦点在 x 轴上,坐标为(±3,0),因此可设椭圆的标准方程为𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0),则有 2a=8,于是 a=4,又 c=3,所以 b 2=7,于是椭圆的方程为𝑥 2 16 + 𝑦 2 7 =1. 15.已知抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F,定点 A(0,-2),若射线 FA 与抛物线 C 交于点 M,与抛物线 C 的准线 交于点 N,则|MN|∶|FN|等于 . 答案: 5-√5 4 解析:射线 FA 的方程为 y=2x-2(x≤1),联立{ 𝑦 2 = 4𝑥, 𝑦 = 2𝑥-2, 解得 x= 3-√5 2 (𝑥 = 3+√5 2 舍去),所以|MN|∶ |FN|=( 3-√5 2 + 1)∶(1+1)= 5-√5 4
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 16已知双曲线号-卡-1a0,b>0)的两条新近线的夹角（锐角或直角）为a且c0sa号则双曲线的离 心率等于 答案罗或v3 解析：设渐近线)名的领斜角为8当0合<1时，依题意有a-20国为c0sa所以c0s20-宁即 1-tan20 1+tan20 -解得m0-号-故高心年e台=十=票当会1时，依题意有a=290 0-180-20因为osa号所以co180-20号即品-解得ar0-2即号 -2,故离心率e== 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10分)已知双曲线与椭圆芹+号-1有相同的焦点，且经过点(4,6) (1)求双曲线的方程， (2)若双曲线的左、右焦点是F1,F2,则在双曲线上是否存在点P,使得PF1=5PF2? 解（满圆莞+号1的焦点在x轴上，且cV25可-4即焦点坐标为（士40， 于是可设双曲线方程为号- (a2+b2=16 a2- -o06>0,剥东悟9=1.解得-4-2 故双曲线的方程为号-若1 (2)假设在双曲线上存在点P,使得PF=5PF2b 则点P只能在右支上 由双曲线的定义，知PF1-PF=2a=4, 于是PF=5,PF2=1. 但当点P在双曲线的右支上时，点P到左焦，点F的距离的最小值应为a+C=6, 故不可能有lPF=5,即在双曲线上不存在点P,使得PF=5PF2 18(12分)已知椭圆C号+片-1o>b0)的离心率为9短轴的一个端点到右焦点的距离为3 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线1y=x+√Z与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，求△4OB的面积 5
5 16.已知双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角(锐角或直角)为 α,且 cos α= 1 3 ,则双曲线的离 心率等于 . 答案: √6 2 或√3 解析:设渐近线 y= 𝑏 𝑎 x 的倾斜角为 θ,当 0< 𝑏 𝑎 <1 时,依题意有 α=2θ,因为 cos α= 1 3 ,所以 cos 2θ= 1 3 ,即 1-tan 2𝜃 1+tan2𝜃 = 1 3 ,解得 tan2 θ= 1 2 ,即 𝑏 2 𝑎2 = 1 2 ,故离心率 e= 𝑐 𝑎 = √1 + 𝑏 2 𝑎2 = √6 2 ;当 𝑏 𝑎 >1 时,依题意有 α=2(90°- θ)=180°-2θ,因为 cos α= 1 3 ,所以 cos(180°-2θ)= 1 3 ,即 1-tan 2𝜃 1+tan2𝜃 =- 1 3 ,解得 tan2 θ=2,即 𝑏 2 𝑎2=2,故离心率 e= 𝑐 𝑎 = √1 + 𝑏 2 𝑎2 = √3. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知双曲线与椭圆𝑥 2 25 + 𝑦 2 9 =1 有相同的焦点,且经过点(4,6). (1)求双曲线的方程; (2)若双曲线的左、右焦点是 F1,F2,则在双曲线上是否存在点 P,使得|PF1|=5|PF2|? 解:(1)椭圆𝑥 2 25 + 𝑦 2 9 =1 的焦点在 x 轴上,且 c=√25-9=4,即焦点坐标为(±4,0), 于是可设双曲线方程为𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0),则有{ 𝑎 2 + 𝑏 2 = 16, 16 𝑎2 - 36 𝑏 2 = 1, 解得 a 2=4,b 2=12, 故双曲线的方程为𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=1. (2)假设在双曲线上存在点 P,使得|PF1|=5|PF2|, 则点 P 只能在右支上. 由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a=4, 于是|PF1|=5,|PF2|=1. 但当点 P 在双曲线的右支上时,点 P 到左焦点 F1 的距离的最小值应为 a+c=6, 故不可能有|PF1|=5,即在双曲线上不存在点 P,使得|PF1|=5|PF2|. 18.(12 分)已知椭圆 C: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的离心率为√6 3 ,短轴的一个端点到右焦点的距离为√3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=x+√2与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,求△AOB 的面积