志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时) 用空间向量研究距离问题 课后·训练提升 基础巩固 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，己知AB=BC=a,A41=2a,则点D1到直线AC的距离为() A.V3a 受 C22 3 D3 2 答案p 2.在三棱锥O-ABC中，OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA.若OA=1,OB=2,OC=2,则点A到直线BC的距离为 () A.V2 B.V3 C.5 D.3 答案B 解析如图建立空间直角坐标系，则由题意可知，4(1,0,0)，B(0,2,0),C(00,2),所以A正(-1,2,0)，BC-(0,-2,2) 取a-1,2.0.u-09. BCI 22 ),所以点A到直线BC的距离d=a2-(a)2=3 2 3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，MN分别为BB1,BC1的中点，则直线MN到平面ACD1间 的距离为() D A月 c 1
1 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第 1 课时 用空间向量研究距离问题 课后· 基础巩固 1.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,已知 AB=BC=a,AA1=2a,则点 D1 到直线 AC 的距离为( ) A.√3a B. √3𝑎 2 C. 2√2𝑎 3 D. 3√2𝑎 2 答案:D 2.在三棱锥 O-ABC 中,OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA.若 OA=1,OB=2,OC=2,则点 A 到直线 BC 的距离为 ( ) A.√2 B.√3 C.√5 D.3 答案:B 解析:如图建立空间直角坐标系,则由题意可知,A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,2,0),𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(0,-2,2). 取 a=𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,2,0),u= 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | = 0,- √2 2 , √2 2 ,所以点 A 到直线 BC 的距离 d=√𝑎 2-(𝑎·𝑢) 2 = √3. 3. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别为 BB1,B1C1 的中点,则直线 MN 到平面 ACD1 间 的距离为( ) A. 1 2 B. √2 2 C. 1 3 D. √3 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案D 解析如图，建立空间直角坐标系，则41,00，D0.0,1),M(11,),(侵，1,1，C01,0), D 所以4而-10,1).-0,1，-1.0 因为M=AD,且直线AD1与MN不重合，所以MN∥AD1. 又MNt平面ACD1,AD1C平面ACD1 所以MN∥平面ACD. 所以MN到平面ACD1的距离即为点M到平面ACD1的距离。 设平面ACD1的法向量为n=(xy,),则nAD=0,nD1C-0, 可得n=(1,1,1)为平面ACD1的一个法向量， 又A丽=(0,1，》，所以点M到平面ACD1的距离d= 2 所以直线MN到平面ACD,间的距高为票 4.在空间直角坐标系Oxz中，平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1).已知点P(-1,3,2),则点P到平面 OAB的距离d= 含案 5.如图，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠ AEB=90°，则点D到平面ACE的距离是 含案 解析如图，以AB的中点0为原点，建立空间直角坐标系，则4A0,-1,0),E1,0,0),D(0,-1,2,C0,12), 2
2 答案:D 解析:如图,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),D1(0,0,1),M(1,1, 1 2 ),N( 1 2 ,1,1),C(0,1,0), 所以𝐴𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),𝐷⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 =(0,1,-1),𝑀𝑁⃗⃗⃗ = - 1 2 ,0,1 2 . 因为𝑀𝑁⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且直线 AD1 与 MN 不重合,所以 MN∥AD1. 又 MN⊄平面 ACD1,AD1⊂平面 ACD1, 所以 MN∥平面 ACD1. 所以 MN 到平面 ACD1 的距离即为点 M 到平面 ACD1 的距离. 设平面 ACD1 的法向量为 n=(x,y,z),则 n·𝐴𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n·𝐷⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 =0, 可得 n=(1,1,1)为平面 ACD1 的一个法向量. 又𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ = (0,1, 1 2 ),所以点 M 到平面 ACD1 的距离 d=|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛| |𝑛| = √3 2 . 所以直线 MN 到平面 ACD1 间的距离为√3 2 . 4.在空间直角坐标系 Oxyz 中,平面 OAB 的一个法向量为 n=(2,-2,1).已知点 P(-1,3,2),则点 P 到平面 OAB 的距离 d= . 答案:2 5. 如图,在直二面角 D-AB-E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,△AEB 是等腰直角三角形,其中∠ AEB=90°,则点 D 到平面 ACE 的距离是 . 答案: 2√3 3 解析:如图,以 AB 的中点 O 为原点,建立空间直角坐标系,则 A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 所以AD=(0,0,2),AE-(1,1,0),AC=(0,2,2) 设平面ACE的法向量为n=(x,), 则n正-0， In AC=0, 62z”0 令y=1,则x=-1,=-1. 所以n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量。 故点D到平面ACE的距离d而列=23 2 6.如图，在长方体ABCD-A1B1CD1中，AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别为AB,CC的中点，则点D到直线 GF的距离为 D 答案V2 解析如图建立空间直角坐标系，则D0,0,0),F1,1,0),G0,2,1),所以GF=(1,-1,-1),DF=(1,1,0) 取4=7-1,10u器=（得亭则-24u=0 所以点D到直线GF的距离为a2-(a)2=√Z 7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD,中，E,F分别为BC,CD的中点，则BD到平面EFD1B的距离 为 3
3 所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),𝐴𝐸⃗⃗⃗ =(1,1,0),𝐴𝐶⃗⃗ =(0,2,2). 设平面 ACE 的法向量为 n=(x,y,z), 则{ 𝑛·𝐴𝐸⃗⃗⃗ = 0, 𝑛·𝐴𝐶⃗⃗ = 0, 即{ 𝑥 + 𝑦 = 0, 2𝑦 + 2𝑧 = 0. 令 y=1,则 x=-1,z=-1. 所以 n=(-1,1,-1)为平面 ACE 的一个法向量. 故点 D 到平面 ACE 的距离 d=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛| |𝑛| = 2√3 3 . 6.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,点 F,G 分别为 AB,CC1 的中点,则点 D 到直线 GF 的距离为 . 答案:√2 解析:如图建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0),F(1,1,0),G(0,2,1),所以𝐺𝐹⃗⃗ =(1,-1,-1),𝐷𝐹⃗⃗⃗ =(1,1,0). 取 a=𝐷𝐹⃗⃗⃗ =(1,1,0),u= 𝐺𝐹⃗⃗⃗⃗ |𝐺𝐹⃗⃗⃗⃗ | = ( √3 3 ,- √3 3 ,- √3 3 ),则 a 2=2,a·u=0. 所以点 D 到直线 GF 的距离为√𝑎 2-(𝑎·𝑢) 2 = √2. 7.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 BC,CD 的中点,则 BD 到平面 EFD1B1 的距离 为
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 含案 解析因为E,F分别为BC,CD的中点， 所以EF∥BD. 又EFC平面EFD1B1,BDt平面EFD1B, 所以BD∥平面EFD1B1. 所以BD到平面EFD1B1的距离即为点D到平面EFDB1的距离. D 如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立空间直角坐标系，则 D0,0.0,D00,1,0,3C,B(11,1 所以DD-0,01,0-（02-,D8-(1,10 设平面EFD1B1的法向量为n=(x,y,=, 则nD严=0，即月z=0,所以红= (nD1B1=0,(x+y=0,(x=-y 令y=2,则x=-2,2=1. 所以n=(-2,2,1)为平面EFD1B1的一个法向量 所以点D到平百EFD,B1的距离dT-专 所以BD到平面EFDB1的距离为号 8.在长方体ABCD-A1B1CD1中，AB=6,BC=4,BB1=3,求点B1到平面ABC1的距离. 解如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立空间直角坐标系，则 A1(4,0,3),B1(4,6,3),B(4,6,0),C1(0,6,3),所以A1C=(-4,6,0),A1B=(0,6,-3),A1B=(0,6,0) 设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,), 4
4 答案: 1 3 解析:因为 E,F 分别为 BC,CD 的中点, 所以 EF∥BD. 又 EF⊂平面 EFD1B1,BD⊄平面 EFD1B1, 所以 BD∥平面 EFD1B1. 所以 BD 到平面 EFD1B1 的距离即为点 D 到平面 EFD1B1 的距离. 如图,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0),D1(0,0,1),F 0,1 2 ,0 ,B1(1,1,1), 所以𝐷𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),𝐷⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐹⃗ = 0,1 2 ,-1 ,𝐷1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0). 设平面 EFD1B1 的法向量为 n=(x,y,z), 则{ 𝑛·𝐷⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐹⃗ = 0, 𝑛·𝐷1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0, 即{ 1 2 𝑦-𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 0, 所以{ 𝑧 = 1 2 𝑦, 𝑥 = -𝑦. 令 y=2,则 x=-2,z=1. 所以 n=(-2,2,1)为平面 EFD1B1的一个法向量. 所以点 D 到平面 EFD1B1 的距离 d=|𝐷𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛| |𝑛| = 1 3 . 所以 BD 到平面 EFD1B1 的距离为1 3 . 8.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=4,BB1=3,求点 B1到平面 A1BC1 的距离. 解:如图,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 A1(4,0,3),B1(4,6,3),B(4,6,0),C1(0,6,3),所以𝐴1𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,6,0),𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐵 =(0,6,-3),𝐴1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6,0). 设平面 A1BC1 的法向量为 n=(x,y,z)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 则nC=0即4x+6y=0, (nA1B=0, (6y-3z=0. 令x=3,则y=2,2=4. 所以n=(3,2,4)为平面A1BC的一个法向量。 所以点B1到平面A1BC1的距离d-=12区 29 9.在三棱锥B-ACD中，平面ABD⊥平面ACD,AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°，求点D到平面ABC 的距离。 图-图，以AD的中点0为原点，建立空间直角坐标系，则由题意可知，（0，小上（受兰.0号0 所以-0丽-（票0，而-1,00 设n-(x,y,)为平面ABC的法向量， 则n丽=号x+z=0, ”n元=x+2y=0. .3 令y=1,则x=√3，=3 所以n=(V3,-1,-3)为平面ABC的一个法向量 所以点D到平面ABC的距离为D别=丽 13 拓展提高 1.如图，直三棱柱ABC-A41B1C1的侧棱AA1=V3,在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1,则点B1到平面 A1BC的距离为() 5
5 则{ 𝑛·𝐴1𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0, 𝑛·𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐵 = 0, 即{ -4𝑥 + 6𝑦 = 0, 6𝑦-3𝑧 = 0. 令 x=3,则 y=2,z=4. 所以 n=(3,2,4)为平面 A1BC1 的一个法向量. 所以点 B1 到平面 A1BC1 的距离 d=|𝐴1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛| |𝑛| = 12√29 29 . 9.在三棱锥 B-ACD 中,平面 ABD⊥平面 ACD,AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点 D到平面 ABC 的距离. 解:如图,以 AD 的中点 O 为原点,建立空间直角坐标系,则由题意可知,A - 1 2 ,0,0 ,B √3-1 2 ,0,1 2 ,C 0,√3 2 ,0 ,D 1 2 ,0,0 , 所以𝐴𝐶⃗⃗ = 1 2 , √3 2 ,0 ,𝐴𝐵⃗⃗⃗ = √3 2 ,0,1 2 ,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0). 设 n=(x,y,z)为平面 ABC 的法向量, 则{ 𝑛·𝐴𝐵⃗⃗⃗ = √3 2 𝑥 + 1 2 𝑧 = 0, 𝑛·𝐴𝐶⃗⃗ = 1 2 𝑥 + √3 2 𝑦 = 0. 令 y=-1,则 x=√3,z=-3. 所以 n=(√3,-1,-3)为平面 ABC 的一个法向量. 所以点 D 到平面 ABC 的距离为|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛| |𝑛| = √39 13 . 拓展提高 1. 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1=√3,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点 B1 到平面 A1BC 的距离为( )