志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时用空间向量研究直线、平面的垂直关系 课后·训练提升 基础巩固 1.已知直线h,h的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若1⊥2，则m等于() A.-2 B.2 C.6 D.10 答案p 解析国为上h,所以a1b,所以ab=0,即6-4+m=-0,解得m=10, 2.已知平面aB的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),若a⊥B,则x的值为() A.10 B.-10 c D克 答案B 解析因为aLB,所以a⊥b,所以ab=-x-2-8=0,解得x=-10 3.己知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为( A.(1,0,-2) B.(1,0,2) C.(-1,0,2) D.(2,0,-1) 答案c 解析由题意知，A正-(1，-1，-1)，A元-(2,0,1)，4亚-(x-1,). 因为PA⊥平面ABC 所以 E20得2 AP.AC=2x+z=0, 故点P的坐标为(-1,0,2). 4.在正方体ABCD-A1B1CD1中，E为A1C1的中点，则下列直线与直线CE垂直的是() A.直线AC B.直线BD C.直线A1D D.直线A1A 答案B 解析如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立室间直角坐标系 设正方体的棱长为1， 1
1 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第 2 课时 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 课后· 基础巩固 1.已知直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若 l1⊥l2,则 m等于( ) A.-2 B.2 C.6 D.10 答案:D 解析:因为 l1⊥l2,所以 a⊥b,所以 a·b=0,即-6-4+m=0,解得 m=10. 2.已知平面 α,β 的法向量分别为 a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),若 α⊥β,则 x 的值为( ) A.10 B.-10 C. 1 2 D.- 1 2 答案:B 解析:因为 α⊥β,所以 a⊥b,所以 a·b=-x-2-8=0,解得 x=-10. 3.已知点 A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若 PA⊥平面 ABC,则点 P 的坐标为( ) A.(1,0,-2) B.(1,0,2) C.(-1,0,2) D.(2,0,-1) 答案:C 解析:由题意知,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,-1,-1),𝐴𝐶⃗⃗ =(2,0,1),𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(x,-1,z). 因为 PA⊥平面 ABC, 所以{ 𝐴𝑃⃗⃗⃗ ·𝐴𝐵⃗⃗⃗ = -𝑥 + 1-𝑧 = 0, 𝐴𝑃⃗⃗⃗ ·𝐴𝐶⃗⃗ = 2𝑥 + 𝑧 = 0, 解得{ 𝑥 = -1, 𝑧 = 2. 故点 P 的坐标为(-1,0,2). 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为 A1C1 的中点,则下列直线与直线 CE 垂直的是( ) A.直线 AC B.直线 BD C.直线 A1D D.直线 A1A 答案:B 解析:如图,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 则C0.1,0,B11,04,0.0.D0,00.C0,1IA10,1232 所以正=2，C=1,10,D-1-10AD-1,0-14-0,0-1 因为CE·AC0,CE.BD-0,CE·A1D0,CE.A1A≠0，所以CE⊥BD 5.(多选题)如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两 个平面，某学生得出如下四个结论，其中正确的是( A.AB.AC=0 B.AB⊥DC C.BD⊥AC D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 答案BC 解析以D为原点，DB,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D(图略) 设Rt△ABC的斜边BC=2,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1),D(0,0,0), 所以AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),D元=(0,1,0)，BD=(-1,0,0). 由于AE.AC0+0+1-1,故A错误，AB.D元-0，故AB⊥DC,故B正确；由于BD.AC=0,故BD LAC,故C 正确； 易知平面ADC的一个法向量为BD=(-1,0,0) 设平面ABC的法向量为n=(x,y,) AB.n=x-z=0,AC.n=y-z=0. 取y=1,则x=1,=1 故n=(1,1,1)为平面ABC的一个法向量 由于BDn=.l,故D错误. 2
2 则 C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),E 1 2 , 1 2 ,1 , 所以𝐶𝐸⃗⃗ = 1 2 ,- 1 2 ,1 ,𝐴𝐶⃗⃗ =(-1,1,0),𝐵𝐷⃗ ⃗ =(-1,-1,0),𝐴⃗⃗ 1 ⃗𝐷⃗ =(-1,0,-1),𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ =(0,0,-1). 因为𝐶𝐸⃗⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ ≠0,𝐶𝐸⃗⃗ · 𝐵𝐷⃗ ⃗ =0,𝐶𝐸⃗⃗ · 𝐴⃗⃗ 1 ⃗𝐷⃗ ≠0,𝐶𝐸⃗⃗ · 𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ ≠0,所以 CE⊥BD. 5.(多选题)如图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两 个平面,某学生得出如下四个结论,其中正确的是( ) A.𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ =0 B.AB⊥DC C.BD⊥AC D.平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直 答案:BC 解析:以 D 为原点,DB,DC,DA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系 Dxyz(图略). 设 Rt△ABC 的斜边 BC=2,则 B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1),D(0,0,0), 所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(1,0,-1),𝐴𝐶⃗⃗ =(0,1,-1),𝐷𝐶⃗⃗⃗ =(0,1,0),𝐵𝐷⃗ ⃗ =(-1,0,0). 由于𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ =0+0+1=1,故 A 错误;𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐷𝐶⃗⃗⃗ =0,故 AB⊥DC,故 B 正确;由于𝐵𝐷⃗ ⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ =0,故 BD⊥AC,故 C 正确; 易知平面 ADC 的一个法向量为𝐵𝐷⃗ ⃗ =(-1,0,0). 设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z), 则𝐴𝐵⃗⃗⃗ ·n=x-z=0,𝐴𝐶⃗⃗ ·n=y-z=0. 取 y=1,则 x=1,z=1. 故 n=(1,1,1)为平面 ABC 的一个法向量. 由于𝐵𝐷⃗ ⃗ ·n=-1,故 D 错误
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 6.在空间直角坐标系Onz中，已知点P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和Q(cosx,-1,3),其中x∈[0，π.若直线 OP与OQ垂直，则x的值为. 图案或号 解标由题意得丽1心， .0.00=0. .'.cos x(2cos x+1)-(2cos 2x+2)=0. 2c0SxC0sx=-0,解得c0sx=0或c0sx 又x∈[0，风∴x受或x胃 7.己知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CMLAB,则点M的坐标 为 图案() 解析由已知得，A丽-(-1,1,0). 设Mxy,),则AM=(x,y,-1),C=(x-12,z+3) ,点M在直线AB上，∴AB与AM共线 ∴.AM=AB,1∈R∴x=-y=入，-1=0. 又CM⊥AB,∴.CM⊥AB ∴.CM.AB=0.∴-(x-1)+02)=0. 故点M的坐标为（是） 8.在空间直角坐标系Oz中，A(1,-2,-1),B0,-3,1),C(2,-2,1).若OP与平面ABC垂直，且OP=V2工，则点P 的坐标为 靥案-2,41)或(2，-4-1) 解析依题意，AB-(-1,-1,2),AC-(1,0,2) 设点P的坐标为(x,y,),则O丽=(xy,) ,OP与平面ABC垂直， 8Y2.0 (0AC=0, 3
3 6.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知点 P(2cos x+1,2cos 2x+2,0)和 Q(cos x,-1,3),其中 x∈[0,π].若直线 OP 与 OQ 垂直,则 x 的值为 . 答案: π 2 或 π 3 解析:由题意得𝑂𝑃⃗⃗⃗ ⊥ 𝑂𝑄⃗ ⃗ , ∴𝑂𝑃⃗⃗⃗ · 𝑂𝑄⃗ ⃗ =0. ∴cos x·(2cos x+1)-(2cos 2x+2)=0. ∴2cos2 x-cos x=0,解得 cos x=0 或 cos x= 1 2 . 又 x∈[0,π],∴x= π 2或 x= π 3 . 7.已知空间三点 A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线 AB 上一点 M,满足 CM⊥AB,则点 M 的坐标 为 . 答案:(- 1 2 , 1 2 ,1) 解析:由已知得,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,1,0). 设 M(x,y,z),则𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z-1),𝐶𝑀⃗⃗⃗ =(x-1,y-2,z+3). ∵点 M 在直线 AB 上,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ 共线. ∴𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,λ∈R.∴x=-λ,y=λ,z-1=0. 又 CM⊥AB,∴𝐶𝑀⃗⃗⃗ ⊥ 𝐴𝐵⃗⃗⃗ . ∴𝐶𝑀⃗⃗⃗ · 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =0.∴-(x-1)+(y-2)=0. ∴x=- 1 2 ,y= 1 2 ,z=1. 故点 M 的坐标为(- 1 2 , 1 2 ,1). 8.在空间直角坐标系 Oxyz 中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若 OP 与平面 ABC 垂直,且 OP=√21,则点 P 的坐标为 . 答案:(-2,4,1)或(2,-4,-1) 解析:依题意,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),𝐴𝐶⃗⃗ =(1,0,2). 设点 P 的坐标为(x,y,z),则𝑂𝑃⃗⃗⃗ =(x,y,z). ∵OP 与平面 ABC 垂直, ∴{ 𝑂𝑃⃗⃗⃗ ·𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 0, 𝑂𝑃⃗⃗⃗ ·𝐴𝐶⃗⃗ = 0, 即 { -𝑥-𝑦 + 2𝑧 = 0, 𝑥 + 2𝑧 = 0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 6 ,OP=√2i, ∴.0F=√x2+y2+z2=V2I=√2I,解得2=1或=-1. 故点P的坐标为(-2,4,1)或(2，-4,1) 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB=4,BC-3,AD=5,∠DAB=∠ABC-90°，E是CD的中 点.求证：CD⊥平面PAE 证明如图，以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设PA=h,则A(0,0,0),C(4,3,0),D0,5,0),E2,4,0),P0,0,h),所以CD=(-4,2,0),AE-(2,4,0),AF=(0,0,h 因为CD.A正=.8+8+0=0，CD.AP-0, 所以CD⊥AE,CD⊥AP. 又AE4P=A,所以CD⊥平面PAE. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=V3,F是PB的中 点，点E在棱BC上移动.求证：PE⊥AF D 证明如图，以A为原点，AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则 40.0.P0,1102}所以-0 4
4 ∴{ 𝑥 = -2𝑧, 𝑦 = 4𝑧. ∵OP=√21, ∴|𝑂𝑃⃗⃗⃗ |=√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = √21|z|=√21,解得 z=1 或 z=-1. 故点 P 的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1). 9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是 CD 的中 点.求证:CD⊥平面 PAE. 证明:如图,以 A 为原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. 设 PA=h,则 A(0,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h),所以𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(-4,2,0),𝐴𝐸⃗⃗⃗ =(2,4,0),𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(0,0,h). 因为𝐶𝐷⃗⃗⃗ · 𝐴𝐸⃗⃗⃗ =-8+8+0=0,𝐶𝐷⃗⃗⃗ · 𝐴𝑃⃗⃗⃗ =0, 所以 CD⊥AE,CD⊥AP. 又 AE∩AP=A,所以 CD⊥平面 PAE. 10.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=1,AD=√3,F 是 PB 的中 点,点 E 在棱 BC 上移动.求证:PE⊥AF. 证明:如图,以 A 为原点,AD,AB,AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),P(0,0,1),F 0,1 2 , 1 2 ,所以𝐴𝐹⃗⃗⃗ = 0,1 2 , 1 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 依题意，设E(x,1,0),0≤x≤V3, 则PE=(x,1,-1) 因为E.F-0+-0,所以PELAF. 拓展提高 1.在正方体ABCD-AB1CD中，E,F分别在AD,4C上，且A1EAD,AFAC,则(） A.EF至多与A1D,AC中的一个垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF与BD,相交 D.EF与BD1异面 答案B 解析如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的技长为1则A10,.D000410,G010专)号0，B1,1p,D0,1 所以A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0), 厭-丽1， 所以EF-BD1,A1D.EF-0,AC.F-0, 所以EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B. 2.如图，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，E是CD的中点F是AD上一点，当BF⊥PE时铝的 值为) 5
5 依题意,设 E(x,1,0),0≤x≤√3, 则𝑃𝐸⃗⃗⃗ =(x,1,-1). 因为𝑃𝐸⃗⃗⃗ · 𝐴𝐹⃗⃗⃗ =0+ 1 2 − 1 2 =0,所以 PE⊥AF. 拓展提高 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别在 A1D,AC 上,且 A1E=2 3 A1D,AF=1 3 AC,则( ) A.EF 至多与 A1D,AC 中的一个垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF 与 BD1 相交 D.EF 与 BD1 异面 答案:B 解析:如图,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 1,则 A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E 1 3 ,0,1 3 ,F 2 3 , 1 3 ,0 ,B(1,1,0),D1(0,0,1), 所以𝐴⃗⃗ 1 ⃗𝐷⃗ =(-1,0,-1),𝐴𝐶⃗⃗ =(-1,1,0), 𝐸𝐹⃗⃗ = 1 3 , 1 3 ,- 1 3 ,𝐵𝐷1 ⃗⃗ ⃗⃗ =(-1,-1,1). 所以𝐸𝐹⃗⃗ =- 1 3 𝐵𝐷1 ⃗⃗ ⃗⃗ ,𝐴⃗⃗ 1 ⃗𝐷⃗ · 𝐸𝐹⃗⃗ =0,𝐴𝐶⃗⃗ · 𝐸𝐹⃗⃗ =0. 所以 EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选 B. 2. 如图,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,E 是 CD 的中点,F 是 AD 上一点,当 BF⊥PE 时, 𝐴𝐹 𝐹𝐷的 值为( )