第13卷第1期 智能系统学报 Vol.13 No.I 2018年2月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Feb.2018 D0:10.11992/tis.201607004 网络出版t地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170626.1739.008.html 利用混沌布谷鸟优化的二维Renyi灰度熵图像阈值选取 马英辉2，吴一全145 (1.南京航空航天大学电子信息工程学院，江苏南京211106：2.宿迁学院信息工程学院，江苏宿迁223800,3.西华 大学制造与自动化省高校重点实验室，四川成都610039,4.华中科技大学数字制造装备与技术国家重点实验室，湖 北武汉430074,5.安徽理工大学煤矿安全高效开采省部共建教育部重点实验室，安徽淮南232001) 摘要：为了进一步降低现有的Renyi嫡阈值法的计算复杂度，提出了基于混沌布谷鸟算法和二维Renyi灰度熵的阈 值选取。首先.引入一维Ryi灰度嫡阈值选取公式，建立基于像素灰度和邻域梯度的二维直方图，推导出基于该直 方图的二维Ryi灰度嫡阈值选取公式，通过快速递推公式来减少阈值准则函数的计算量：最后，采用混沌布谷鸟算 法搜索最优阈值来完成图像分割。结果表明，与二维Arimoto嫡法、基于粒子群的二维Renyi嫡法、基于混沌粒子群 的二维Tsallis灰度嫡法、基于布谷鸟算法的二维Reyi灰度嫡法相比，所提出的方法能够准确实现图像分割，且运算 速度有所提升。 关键词：图像分割：阈值选取；布谷鸟算法：Renyi灰度嫡：灰度-梯度二维直方图：混沌优化：Arimoto嫡：Tsallis灰度嫡 中图分类号：TP391.41文献标志码：A文章编号：1673-4785(2018)01-0152-07 中文引用格式：马英辉，吴一全.利用混沌布谷鸟优化的二维Reyi灰度熵图像阈值选取.智能系统学报，2018.13(1)：152-158. 英文引用格式：MA Yinghui,.WU Yiquan..Two-dimensional Renyi--gray-entropy image threshold selection based on chaotic cuckoo search optimization[J].CAAI transactions on intelligent systems,2018,13(1):152-158. Two-dimensional Renyi-gray-entropy image threshold selection based on chaotic cuckoo search optimization MA Yinghui2,WU Yiquan'345 (1.College of Electronic and Information Engineering,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 211 106,China; 2.School of Information Engineering,Suqian College,Sugian 223800,China;3.Key Laboratory of Manufacturing Automation, Xihua University,Chengdu 610039,China;4.State Key Laboratory of Digital Manufacturing Equipment&Technology,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China;5.Key Laboratory of Safety and High-efficiency Coal Mining,Min istry of Education,Anhui University of Science and Technology,Huainan,232001,China) Abstract:To further reduce the computational complexity of existing thresholding methods based on Renyi's entropy, in this paper,we propose a method for threshold selection based on 2-D Renyi-gray-entropy image threshold selection and chaotic cuckoo search optimization.First,we derive the formula for a 1-D Renyi-gray-entropy threshold selection. Then,we build a 2-D histogram based on the grayscale and gray-gradient and derive a formula for 2-D Renyi-gray-en- tropy threshold selection based on this histogram.We use fast recursive algorithms to eliminate redundant computation in the threshold-selection criterion function.Finally,to achieve image segmentation,we search for the optimal threshold using the chaotic cuckoo search algorithm.The experimental results show that,compared with 2-D Arimoto-entropy thresholding method,the 2-D Renyi-entropy thresholding method based on particle swarm optimization,the 2-D Tsallis- gray-entropy thresholding method using chaotic particle swarm,and the 2-D Renyi-gray-entropy thresholding method based on the cuckoo search,our proposed method can segment objects more accurately and has a higher running speed. Keywords:image segmentation;threshold selection;cuckoo search algorithm;Renyi gray entropy;gray-gradient two- dimensional histogram;chaotic optimization;Arimoto entropy;Tsallis gray entropy 阈值分割1因为简单有效且快速实用，可广泛 收稿日期：2016-07-05.网络出版日期：2017-06-26. 基金项目：西华大学制造与自动化省高校重点实验室开放课题 应用于刀具磨损、火焰、工业CT等一系列机器视觉 (S2j2014-028):华中科技大学数字制造装备与技术国家 重点实验室开放课题(DMETKF20140I0):安徽理工大 检测领域。其关键是依据目标和背景在图像中的不 学煤矿旷安全高效开采省部共建教育部重点实验室开放 课题YBSYS2014102). 同灰度信息，快速确定最佳阈值，将图像中感兴趣 通信作者：吴一全.Email:nuaaimage(@163.com. 的目标从背景中提取出来，从而得到清晰的边缘
DOI: 10.11992/tis.201607004 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170626.1739.008.html 利用混沌布谷鸟优化的二维 Renyi 灰度熵图像阈值选取 马英辉1,2，吴一全1,3,4,5 （1. 南京航空航天大学 电子信息工程学院，江苏 南京 211106; 2. 宿迁学院 信息工程学院，江苏 宿迁 223800; 3. 西华 大学 制造与自动化省高校重点实验室，四川 成都 610039; 4. 华中科技大学 数字制造装备与技术国家重点实验室，湖 北 武汉 430074; 5. 安徽理工大学 煤矿安全高效开采省部共建教育部重点实验室，安徽 淮南 232001） 摘 要：为了进一步降低现有的 Renyi 熵阈值法的计算复杂度，提出了基于混沌布谷鸟算法和二维 Renyi 灰度熵的阈 值选取。首先，引入一维 Renyi 灰度熵阈值选取公式，建立基于像素灰度和邻域梯度的二维直方图，推导出基于该直 方图的二维 Renyi 灰度熵阈值选取公式，通过快速递推公式来减少阈值准则函数的计算量；最后，采用混沌布谷鸟算 法搜索最优阈值来完成图像分割。结果表明，与二维 Arimoto 熵法、基于粒子群的二维 Renyi 熵法、基于混沌粒子群 的二维 Tsallis 灰度熵法、基于布谷鸟算法的二维 Renyi 灰度熵法相比，所提出的方法能够准确实现图像分割，且运算 速度有所提升。 关键词：图像分割；阈值选取；布谷鸟算法；Renyi 灰度熵；灰度-梯度二维直方图；混沌优化；Arimoto 熵；Tsallis 灰度熵 中图分类号：TP391.41 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2018)01−0152−07 中文引用格式：马英辉, 吴一全. 利用混沌布谷鸟优化的二维 Renyi 灰度熵图像阈值选取[J]. 智能系统学报, 2018, 13(1): 152–158. 英文引用格式：MA Yinghui, WU Yiquan. Two-dimensional Renyi-gray-entropy image threshold selection based on chaotic cuckoo search optimization[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2018, 13(1): 152–158. Two-dimensional Renyi-gray-entropy image threshold selection based on chaotic cuckoo search optimization MA Yinghui1,2 ，WU Yiquan1,3,4,5 (1. College of Electronic and Information Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, China; 2. School of Information Engineering, Suqian College, Suqian 223800, China; 3. Key Laboratory of Manufacturing & Automation, Xihua University, Chengdu 610039, China; 4. State Key Laboratory of Digital Manufacturing Equipment & Technology, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China; 5. Key Laboratory of Safety and High-efficiency Coal Mining, Ministry of Education, Anhui University of Science and Technology, Huainan, 232001, China) Abstract: To further reduce the computational complexity of existing thresholding methods based on Renyi’s entropy, in this paper, we propose a method for threshold selection based on 2-D Renyi-gray-entropy image threshold selection and chaotic cuckoo search optimization. First, we derive the formula for a 1-D Renyi-gray-entropy threshold selection. Then, we build a 2-D histogram based on the grayscale and gray-gradient and derive a formula for 2-D Renyi-gray-entropy threshold selection based on this histogram. We use fast recursive algorithms to eliminate redundant computation in the threshold-selection criterion function. Finally, to achieve image segmentation, we search for the optimal threshold using the chaotic cuckoo search algorithm. The experimental results show that, compared with 2-D Arimoto-entropy thresholding method, the 2-D Renyi-entropy thresholding method based on particle swarm optimization, the 2-D Tsallisgray-entropy thresholding method using chaotic particle swarm, and the 2-D Renyi-gray-entropy thresholding method based on the cuckoo search, our proposed method can segment objects more accurately and has a higher running speed. Keywords: image segmentation; threshold selection; cuckoo search algorithm; Renyi gray entropy; gray-gradient twodimensional histogram; chaotic optimization; Arimoto entropy; Tsallis gray entropy 阈值分割[1-4]因为简单有效且快速实用，可广泛 应用于刀具磨损、火焰、工业 CT 等一系列机器视觉 检测领域。其关键是依据目标和背景在图像中的不 同灰度信息，快速确定最佳阈值，将图像中感兴趣 的目标从背景中提取出来，从而得到清晰的边缘。 收稿日期：2016−07−05. 网络出版日期：2017−06−26. 基金项目：西华大学制造与自动化省高校重点实验室开放课题 (S2jj2014-028)；华中科技大学数字制造装备与技术国家 重点实验室开放课题 (DMETKF2014010)；安徽理工大 学煤矿安全高效开采省部共建教育部重点实验室开放 课题 (JYBSYS2014102). 通信作者：吴一全. Email：nuaaimage@163.com. 第 13 卷第 1 期 智 能 系 统 学 报 Vol.13 No.1 2018 年 2 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Feb. 2018
第1期 马英辉，等：利用混沌布谷鸟优化的二维Reyi灰度嫡图像阈值选取 ·153· 其中以熵为准则的方法是国内外众多学者的研究热 2,,L-1分割为目标D。={x,y)f(xy)=0,1,2,…,t 点之一s-,Kapur等最早将嫡的定义引入阈值选取， 和背景D,={(x,yfx,y)=t+1,t+2,…,L-1},h(为 提出了一维最大Shannon熵法，后续学者们又提出 灰度i(=0,1,,L-1)的像素数。 以Arimoto嫡o、Tsallis熵-)、Renyi嫡4-7为准 令 则的阈值分割方法。文献14-15]利用基于灰度级和 f(x,y) 邻域平均灰度级的二维直方图，只考虑在对角线上 (x,y)∈D。 f(m.n) 其他区域的目标和背景的有用信息，获得的最佳阈 m,n)ED。 值存在误差，会产生目标点和背景点的错分，最终 f(x.y) (x,y∈D 影响图像的分割效果。文献[14-17刀所述的4种方法 f(m.n) (m.n)ED 均是基于二维Renyi嫡法，只利用图像灰度级出现 的概率信息，而忽略了图像类内灰度均匀性，必然 则目标类的Renyi灰度嫡Hg()定义为 会造成某些图像的分割质量欠佳。与一维Renyi熵 In >(px)"= 法相比，分割精度有所提高，但运行时间增加。为 H(0=1-a (xy)ED 了降低运行时间，引入了快速递推公式47，使总运 (1) 算量由0(L)降为O(L)。此外，利用粒子群算法 h(i (particle swarm optimization,PSO)s-l来进一步提高 h(i) 运算速度。近年提出的布谷鸟算法(cuckoo search, =0 CS)8剧与粒子群算法相比，需设定的参数少且运算 同理，可以得到背景类的Renyi灰度熵H)定 简单易实现，具有更强的全局寻优能力，能得到更 义为 有效的搜索效果，因此该算法已成功应用于函数优 化1、神经网络训练、工程优化2等领域。如果将 布谷鸟算法引入阈值选取中，可以进一步提高算法 H()= In 1-a 的搜索速度。 基于上述分析，本文提出了一种基于混沌布谷 鸟优化(chaotic cuckoo search optimization,CCSO) 由此可得目标类和背景类的总Renyi灰度嫡为 的二维Renyi灰度熵图像阈值选取方法。该方法全 H(0)=Hg(t)+Hg()= 面利用像素的灰度信息和邻域梯度信息，构建了图 像的二维直方图，推导出二维Renyi灰度嫡阈值选 取公式，与上述的二维Renyi嫡法相比，避免因直方 h(i 1-a 图的近似假设而造成分割结果不准确。然后，在计 〉h(i 2=0 (3) 算适应度函数时引入快速递推算法，以降低适应度 函数的运算时间。最后，利用Tent映射产生的混沌 L-1 序列对布谷鸟算法进行优化，用改进后的布谷鸟算 1n∑h( 1-m 法来搜索二维Renyi灰度熵的最佳阈值，大大提高 .h(i) 产=+1 搜索速度。本文方法与二维Arimoto嫡法、基于 当图像的总Renyi灰度熵越大，目标和背景的 粒子群优化(PSO)的二维Renyi熵法s1、基于混沌 类内灰度越趋于均匀，因此最佳阈值r可由Renyi灰 粒子群优化(chaotic particle swarm optimization, CPSO)的二维Tsallis灰度熵法I)、基于布谷鸟算 度嫡的最大值来确定，即 法(CS)的二维Renyi灰度熵法相比，在分割结果和 t=arg max (H (t) (4) 运算时间上均具有明显的优势。 2 基于灰度-梯度的二维Renyi灰度 1一维Renyi灰度熵阈值选取方法 熵阈值选取 现有大小为M×N的原始图像f(x,y),L为图像 -幅M×N的图像f(x,y),灰度级为L,假设g(x,y) 的灰度级数，阈值1将图像D={(x,y)儿f(x,y=0,1, 为邻域灰度梯度，灰度级i和其邻域灰度梯度j组
O ( L 4 ) O ( L 2 ) 其中以熵为准则的方法是国内外众多学者的研究热 点之一[5-9] ，Kapur 等最早将熵的定义引入阈值选取， 提出了一维最大 Shannon 熵法，后续学者们又提出 以 Arimoto 熵 [10] 、Tsallis 熵 [11-13] 、Renyi 熵 [14-17]为准 则的阈值分割方法。文献[14-15]利用基于灰度级和 邻域平均灰度级的二维直方图，只考虑在对角线上 其他区域的目标和背景的有用信息，获得的最佳阈 值存在误差，会产生目标点和背景点的错分，最终 影响图像的分割效果。文献[14-17]所述的 4 种方法 均是基于二维 Renyi 熵法，只利用图像灰度级出现 的概率信息，而忽略了图像类内灰度均匀性，必然 会造成某些图像的分割质量欠佳。与一维 Renyi 熵 法相比，分割精度有所提高，但运行时间增加。为 了降低运行时间，引入了快速递推公式[14, 17] ，使总运 算量由 降为 。此外，利用粒子群算法 (particle swarm optimization, PSO)[15-16]来进一步提高 运算速度。近年提出的布谷鸟算法 (cuckoo search， CS)[18]与粒子群算法相比，需设定的参数少且运算 简单易实现，具有更强的全局寻优能力，能得到更 有效的搜索效果，因此该算法已成功应用于函数优 化 [19] 、神经网络训练、工程优化[20]等领域。如果将 布谷鸟算法引入阈值选取中，可以进一步提高算法 的搜索速度。 基于上述分析，本文提出了一种基于混沌布谷 鸟优化 (chaotic cuckoo search optimization，CCSO) 的二维 Renyi 灰度熵图像阈值选取方法。该方法全 面利用像素的灰度信息和邻域梯度信息，构建了图 像的二维直方图，推导出二维 Renyi 灰度熵阈值选 取公式，与上述的二维 Renyi 熵法相比，避免因直方 图的近似假设而造成分割结果不准确。然后，在计 算适应度函数时引入快速递推算法，以降低适应度 函数的运算时间。最后，利用 Tent 映射产生的混沌 序列对布谷鸟算法进行优化，用改进后的布谷鸟算 法来搜索二维 Renyi 灰度熵的最佳阈值，大大提高 搜索速度。本文方法与二维 Arimoto 熵法[10] 、基于 粒子群优化 (PSO) 的二维 Renyi 熵法[15] 、基于混沌 粒子群优化 (chaotic particle swarm optimization， CPSO) 的二维 Tsallis 灰度熵法[12] 、基于布谷鸟算 法 (CS) 的二维 Renyi 灰度熵法相比，在分割结果和 运算时间上均具有明显的优势。 1 一维 Renyi 灰度熵阈值选取方法 M ×N f (x, y) Dg = {(x, y)| f (x, y) = 0,1, 现有大小为 的原始图像 ，L 为图像 的灰度级数，阈值 t 将图像 2,···,L−1} Do = {(x , y) | f (x, y) = 0,1,2,···,t} Db = {(x, y)| f(x, y) = t+1,t+2,···,L−1} h(i) i(i = 0, 1,···,L−1) 分割为目标 和背景 ， 为 灰度 的像素数。 令 px,y = ∑ f (x, y) (m,n)∈Do f (m,n) , (x, y) ∈ Do ∑ f (x, y) (m,n)∈Db f (m,n) , (x, y) ∈ Db H α o 则目标类的 Renyi 灰度熵 (t) 定义为 H α o (t) = 1 1−α ln ∑ (x,y)∈Do ( px,y )α = 1 1−α ln∑t i=0 h(i) i ∑t i ′=0 h(i ′ )i ′ α (1) H α b 同理，可以得到背景类的 Renyi 灰度熵 (t) 定 义为 H α b (t) = 1 1−α ln∑L−1 i=t+1 h(i) i ∑L−1 i ′=t+1 h(i ′ )i ′ α (2) 由此可得目标类和背景类的总 Renyi 灰度熵为 H α (t) = H α o (t)+ H α b (t) = 1 1−α ln∑t i=0 h(i) i ∑t i ′=0 h(i ′ )i ′ α + 1 1−α ln∑L−1 i=t+1 h(i) i ∑L−1 i ′=t+1 h(i ′ )i ′ α (3) t ∗ 当图像的总 Renyi 灰度熵越大，目标和背景的 类内灰度越趋于均匀，因此最佳阈值 可由 Renyi 灰 度熵的最大值来确定，即 t ∗ = arg max 0⩽t⩽L−1 {H α (t)} (4) 2 基于灰度–梯度的二维 Renyi 灰度 熵阈值选取 一幅 M ×N 的图像 f (x, y) ，灰度级为 L，假设 g(x, y) 为邻域灰度梯度，灰度级 i 和其邻域灰度梯度 j 组 第 1 期 马英辉，等：利用混沌布谷鸟优化的二维 Renyi 灰度熵图像阈值选取 ·153·
·154· 智能系统学报 第13卷 成二元组位，)=(f(x,y),g(x,y》。用h(i,》表示灰度- 梯度出现的频数，则相应的联合概率为 p. 且 〉p6)=1 i=0=0 式中：i=0,1,…,L-1;j=0,1,…,W-1;L为灰度级的 0 最大值：W为邻域灰度梯度的最大值。{p(,》为基 L-1 于灰度-邻域梯度直方图，假设阈值(t,s)将{P位，川分 图1灰度梯度二维直方图 割成4个区域（见图1），其中目标类为 D。={i,)li=0,1,,tj=0,1,…,W-1 Fig.1 Gray-gradient two-dimensional histogram 背景类为 将式(2)和式(3)推广到二维，则目标类和背景 D={(i,)i=t+1,+2,…,L-1j=0,1,…,W-1 类的二维Renyi灰度熵Hg(t,s)和H亿，s)分别为 片短 1 h(i,j h(t,门j (5) 1 1-d h(i.i) h(i.j)j (6) 则基于灰度-梯度的二维Renyi灰度嫡的图像阈值 令 选取准则函数为 o(亿，S）= (t,s)=Hg (t,s)+(t,s)= 24r .ne I-a n 24 w. ae(,） 2r ,)= 22.n 2aunr (7) 224 Voj(t,5)= 7=07=-0 气4u (,)= 22 h(ij)i 7=02=+】 1-a w.nr (t,)=
成二元组 (i, j) = (f (x, y),g(x, y)) 。用 h(i, j) 表示灰度- 梯度出现的频数，则相应的联合概率为 p(i, j) = h(i, j) M ×N ∑L−1 i=0 ∑L−1 j=0 且 p(i, j) = 1 i = 0,1,···,L−1 j = 0,1,···,W −1 {p(i, j)} (t,s) {p(i, j)} 式中： ； ;L 为灰度级的 最大值；W 为邻域灰度梯度的最大值。 为基 于灰度–邻域梯度直方图，假设阈值 将 分 割成 4 个区域（见图 1），其中目标类为 Do = {(i, j)|i = 0,1,···,t; j = 0,1,···,W −1} 背景类为 Db = {(i, j) |i = t+1, t+2,···,L−1; j = 0,1,···, W −1} Hα o (t,s) Hα b (t,s) 将式 (2) 和式 (3) 推广到二维，则目标类和背景 类的二维 Renyi 灰度熵 和 分别为 H α o (t,s) = [ H α oi (t,s) H α o j (t,s) ]T = 1 1−α ln∑s j=0 ∑t i=0 h(i, j) i ∑s j ′=0 ∑t i ′=0 h(i ′ , j ′ )i ′ α 1 1−α ln∑s j=0 ∑t i=0 h(i, j) j ∑s j ′=0 ∑t i ′=0 h(i ′ , j ′ ) j ′ α T (5) H α b (t,s) = [ H α bi (t,s) H α b j (t,s) ]T = 1 1−α ln∑s j=0 ∑L−1 i=t+1 h(i, j) i ∑s j ′=0 ∑L−1 i ′=t+1 h(i ′ , j ′ )i ′ α 1 1−α ln∑s j=0 ∑L−1 i=t+1 h(i, j) j ∑s j ′=0 ∑L−1 i ′=t+1 h(i ′ , j ′ ) j ′ α T (6) 则基于灰度-梯度的二维 Renyi 灰度熵的图像阈值 选取准则函数为 φ(t,s) = Hα o (t,s)+ Hα b (t,s) = 1 1−α ln ∑s j=0 ∑t i=0 h(i, j)i α ∑s j ′=0 ∑t i ′=0 h(i ′ , j ′ )i ′ α + 1 1−α ln ∑s j=0 ∑t i=0 h(i, j) j α ∑s j ′=0 ∑t i ′=0 h(i ′ , j ′ ) j ′ α + 1 1−α ln ∑s j=0 ∑L−1 i=t+1 h(i, j)i α ∑s j ′=0 ∑L−1 i ′=t+1 h(i ′ , j ′ )i ′ α + 1 1−α ln ∑s j=0 ∑L−1 i=t+1 h(i, j) j α ∑s j ′=0 ∑L−1 i ′=t+1 h(i ′ , j ′ ) j ′ α (7) 令 uoi(t,s) = ∑s j=0 ∑t i=0 h(i, j)i α uo j(t,s) = ∑s j=0 ∑t i=0 h(i, j) j α ubi(t,s) = ∑s j=0 ∑L−1 i=t+1 h(i, j)i α ub j(t,s) = ∑s j=0 ∑L−1 i=t+1 h(i, j) j α voi(t,s) = ∑s j ′=0 ∑t i ′=0 h(i ′ , j ′ )i ′ vo j(t,s) = ∑s j ′=0 ∑t i ′=0 h(i ′ , j ′ ) j ′ vbi(t,s) = ∑s j ′=0 ∑L−1 i ′=t+1 h(i ′ , j ′ )i ′ vb j(t,s) = ∑s j ′=0 ∑L−1 i ′=t+1 h(i ′ , j ′ ) j ′ W−1 j t L−1 s 3 2 0 1 O i 图 1 灰度-梯度二维直方图 Fig. 1 Gray-gradient two-dimensional histogram ·154· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷
第1期 马英辉，等：利用混沌布谷鸟优化的二维Renyi灰度嫡图像阈值选取 ·155· 那么有 2)利用适应度函数计算每个鸟巢的适应度值， 1 uoi(t,S) (t,s)= no(t,s） 得到当前整个鸟巢的最优解。 In +I 1-a(t,s) “6(t, In (t.s) +h (8) 3)记录上一代的最佳鸟巢位置，利用式(12)完 成其他鸟巢的位置更新。 (t,) t,) 4)将新的鸟巢位置与上一代最佳鸟巢位置进 当函数亿，s)达到最大值时，得到最优的阈值向 行比较，若更优，则作为当前最佳鸟巢位置。 量(t,s),即 (t,s）=arg-o6,s训 (9) 5)经过位置更新后，将随机产生数r∈(0,1)与寄 生巢主人发现外来蛋的概率P。进行比较，如果 为进一步提高二维Renyi灰度熵法的运算效 r<po,则位置不变，否则搜索新寄生巢。 率，可采用快速递推方法计算式(9)的中间参量 6)若达到最大迭代次数，则执行7)；否则，返回 4o(t,S)、uoi(t,S)、(t,s)、i(t,s)、Voa(t,S)、Voi(t,S)、 执行2)。 ,s)、化，)，使得计算量从0(L)降为O(L2)。以 7)输出全局最佳鸟巢位置。 u(亿，)为例，递推公式如下： 3.2二维Renyi灰度熵阈值选取的混沌布谷鸟优 4o(0,0)=0 化算法步骤 lor(t,0)=lo(t-1,0)+h(t,0)t uou(0,s)=ua(0,s-1)+h(0,s)×0 (10) 将混沌扰动的理念引入布谷鸟优化算法，借助 or(t,s=o(t,5-1)+4o(t-1,S） 混沌序列的遍历性和随机性完成最佳阈值搜寻，可 uoi(1-1,s-1)+h(t,s)t 提高算法的精度和收敛速度。由于Tent映射的遍 其他7个中间参量，即uo(亿S)、(t,S)、(t,s)、 历性和寻优效果相对较高，本文将基于Tent映射的 Va(t,、Vo(t,s)、(t,s)、t,s)的递推公式也可依据 混沌迭代扰动和布谷鸟算法相结合应用于二维 上述方法得出。 Renyi灰度熵阈值选取。 3混沌布谷鸟优化算法 Tent映射方程为 0.7 0<xm≤0.7 3.1布谷鸟算法 Xn= 1-Xn (12) 布谷鸟算法是模拟布谷鸟通过寻找寄生巢来确 0.7<xm≤1 0.3 定最佳寄生巢的智能算法。为了方便操作，Yang等 为了提升搜索精度，对位置最优的寄生巢采用 将布谷鸟的巢寄生过程假设为以下的3种理想状态： 混沌扰动算子进行变异，用混沌扰动后产生较优的 1)1只布谷鸟1次只能产1枚蛋，并随机选择 位置代替原位置，即 寄生巢来放置鸟蛋： 2)在选择寄生巢的过程中，只有最佳的寄生巢 R=B- (13) 被保留到下一代： xtbd xhb+Ra(2xd(i)-1) 3)可用来放蛋的寄生巢数量是固定的，寄生巢 主人发现外来蛋的概率是Po。 式中：表示第k代当前最优寄生巢的第d维向 在假设的3种理想状态下，布谷鸟算法利用式 量值；x()表示第k代由式(13)产生的混沌序列； (12)完成对寄生巢位置的迭代更新。 x表示新的最优寄生巢的第d维向量值；B为混沌 X*1=X+B⊕L(),1≤i≤n (11) 扰动比例系数，一般为0.5。 式中：X为第i个寄生巢在第1代的位置；B为控制 混沌布谷鸟优化算法的具体步骤如下： 步长的参数且服从正态分布；L()为列维分布函数， 1)种群参数设置。最大迭代次数Tmx=50,维 且满足L()~u=,1<A≤3。 数d=2,概率po=0.25,在搜索空间中随机产生 设搜索空间的维数为d,需要求解的目标函数 20个寄生巢。 为f(X),X=(x,,,x),布谷鸟算法的基本步骤描 2)利用式(6)(11)计算各寄生巢的适应度函数 述如下。 值，确定当前寄生巢最优位置及其适应度函数值。 1)设置算法的相关参数：种群大小、维数、最大 3)寄生巢的位置按式(12)完成更新，得到新的 发生概率P。和最大迭代次数等；种群初始化，随机 寄生巢位置，计算各寄生巢位置的适应度函数值， 产生n个d维寄生巢位置{X=(x2,…,xd)i=1, 并进行比较，更新寄生巢的历史最优位置。 2,…,。 4)比较随机产生数r∈(0,1)和p0=0.25的大小
那么有 φ(t,s) = 1 1−α ( ln uoi(t,s) v α oi (t,s) +ln uo j(t,s) v α o j (t,s) + ln ubi(t,s) v α bi (t,s) +ln ub j(t,s) v α b j (t,s) (8) φ(t,s) (t ∗ ,s ∗ ) 当函数 达到最大值时，得到最优的阈值向 量 ，即 (t ∗ ,s ∗ ) = arg max 0⩽t⩽L−1,0⩽s⩽L−1 {φ(t,s)} (9) uoi(t,s) uo j(t,s) ubi(t,s) ub j(t,s) voi(t,s) vo j(t,s) vbi(t,s) vb j(t,s) O ( L 4 ) O ( L 2 ) uoi(t,s) 为进一步提高二维 Renyi 灰度熵法的运算效 率，可采用快速递推方法计算式 (9) 的中间参量 、 、 、 、 、 、 、 ，使得计算量从 降为 。以 为例，递推公式如下： uoi(0,0) = 0 uoi(t,0) = uoi(t−1,0)+h(t,0)t α uoi(0,s) = uoi(0,s−1)+h(0,s)×0 uoi(t,s) = uoi(t,s−1)+uoi(t−1,s)− uoi(t−1,s−1)+h(t,s)t (10) uo j(t,s) ubi(t,s) ub j(t,s) voi(t,s) vo j(t,s) vbi(t,s) vb j(t,s) 其他 7 个中间参量，即 、 、 、 、 、 、 的递推公式也可依据 上述方法得出。 3 混沌布谷鸟优化算法 3.1 布谷鸟算法 布谷鸟算法是模拟布谷鸟通过寻找寄生巢来确 定最佳寄生巢的智能算法。为了方便操作，Yang 等 将布谷鸟的巢寄生过程假设为以下的 3 种理想状态： 1) 1 只布谷鸟 1 次只能产 1 枚蛋，并随机选择 寄生巢来放置鸟蛋； 2) 在选择寄生巢的过程中，只有最佳的寄生巢 被保留到下一代； 3) 可用来放蛋的寄生巢数量是固定的，寄生巢 主人发现外来蛋的概率是 p0。 在假设的 3 种理想状态下，布谷鸟算法利用式 (12) 完成对寄生巢位置的迭代更新。 X t+1 i = X t i +β⊕ L(λ),1 ⩽ i ⩽ n (11) X t i β L(λ) L(λ) ∼ u = t −λ ,1 < λ ⩽ 3 式中： 为第 i 个寄生巢在第 t 代的位置； 为控制 步长的参数且服从正态分布； 为列维分布函数， 且满足 。 f (X) X = (x1, x2,···, xd) 设搜索空间的维数为 d，需要求解的目标函数 为 ， ，布谷鸟算法的基本步骤描 述如下。 { Xi = ( xi,2,··· , xi,d ) |i = 1, 2,··· ,n} 1) 设置算法的相关参数：种群大小、维数、最大 发生概率 p0 和最大迭代次数等；种群初始化，随机 产生 n 个 d 维寄生巢位置 。 2) 利用适应度函数计算每个鸟巢的适应度值， 得到当前整个鸟巢的最优解。 3) 记录上一代的最佳鸟巢位置，利用式 (12) 完 成其他鸟巢的位置更新。 4) 将新的鸟巢位置与上一代最佳鸟巢位置进 行比较，若更优，则作为当前最佳鸟巢位置。 r ∈ (0,1) r < p0 5) 经过位置更新后，将随机产生数 与寄 生巢主人发现外来蛋的概率 p0 进行比较，如果 ，则位置不变，否则搜索新寄生巢。 6) 若达到最大迭代次数，则执行 7)；否则，返回 执行 2)。 7) 输出全局最佳鸟巢位置。 3.2 二维 Renyi 灰度熵阈值选取的混沌布谷鸟优 化算法步骤 将混沌扰动的理念引入布谷鸟优化算法，借助 混沌序列的遍历性和随机性完成最佳阈值搜寻，可 提高算法的精度和收敛速度。由于 Tent 映射的遍 历性和寻优效果相对较高，本文将基于 Tent 映射的 混沌迭代扰动和布谷鸟算法相结合应用于二维 Renyi 灰度熵阈值选取。 Tent 映射方程为 xn = xn 0.7 , 0 < xn ⩽ 0.7 1− xn 0.3 , 0.7 < xn ⩽ 1 (12) 为了提升搜索精度，对位置最优的寄生巢采用 混沌扰动算子进行变异，用混沌扰动后产生较优的 位置代替原位置，即 Rd = β 1 n ∑n j=0 x k j,d − x k hb,d x k nb,d = x k hb,d +Rd (2xd (i)−1) (13) x k hb,d xd (i) x k nb,d β 式中： 表示第 k 代当前最优寄生巢的第 d 维向 量值； 表示第 k 代由式 (13) 产生的混沌序列； 表示新的最优寄生巢的第 d 维向量值； 为混沌 扰动比例系数，一般为 0.5。 混沌布谷鸟优化算法的具体步骤如下： Tmax = 50 d = 2 p0 = 0.25 1) 种群参数设置。最大迭代次数 ，维 数 ，概率 ，在搜索空间中随机产生 20 个寄生巢。 2) 利用式 (6)~(11) 计算各寄生巢的适应度函数 值，确定当前寄生巢最优位置及其适应度函数值。 3) 寄生巢的位置按式 (12) 完成更新，得到新的 寄生巢位置，计算各寄生巢位置的适应度函数值， 并进行比较，更新寄生巢的历史最优位置。 4) 比较随机产生数r ∈ (0,1) 和 p0 = 0.25 的大小， 第 1 期 马英辉，等：利用混沌布谷鸟优化的二维 Renyi 灰度熵图像阈值选取 ·155·
·156· 智能系统学报 第13卷 若r≤0.25，则寄生巢位置保留；否则位置被替换，得 方法均在不同程度上丢失了部分信息。如图4所 到新的寄生巢位置，确定当前最优寄生巢位置。 示，二维Arimoto嫡法的分割结果中存在大量虚警 5)按式(13)、式(14)对最优位置寄生巢执行混 目标，图4b)中部有大量阴影，覆盖CT图像的部分 沌扰动，与扰动之前的寄生巢位置比较，记录最优 信息。基于PSO的二维Renyi嫡法和基于CPSO的 寄生巢位置。 二维Tsallis灰度嫡法降低了虚警率，但物体的外边 6)对迭代次数1做出判断，当t<Tm时返回 界和内部空洞轮廓不够清晰，如图4(c)、(©)，空洞边 3)继续进行搜索，否则执行7)。 界不清晰且尺寸变小，部分孔洞未被分割出来，不 7)输出Renyi灰度嫡的最优阈值(r,s'),得到图 利于后续的检测和识别。基于CS的二维Renyi灰 像的阈值分割结果。 度嫡法和本文方法在减少虚警目标的同时准确地分 割出物体的外围轮廓及内部空洞的边界。由图5可 4实验结果及分析 以看出，基于PSO的二维Renyi嫡法和二维Ar- 运用提出的基于CCSO的二维Renyi灰度熵阈 imoto嫡法分割出的火焰轮廓均不够准确，而二维 值法对各种图像进行实验，并与二维Arimoto嫡法 Arimoto熵法还丢失了左上方的火焰目标；基于CPSO PSO的二维Renyi嫡法、CPSO的二维Tsallis灰度熵 的二维Tsallis灰度熵法、基于CS的二维Renyi灰 法I、基于CS的二维Renyi灰度熵法在分割结果 度熵法、本文提出的方法分割得到的火焰边界清晰 和运行时间上进行比较。图2~5以刀具磨损图像 准确。 (327×156)、狒狒图像(512×512)、工业CT图像 (371×300)、模糊火焰图像(468×369)为例，给出 5种阈值选取方法的分割结果。基于PSO的二维 Renyi嫡法和基于CPSO的二维Tsallis灰度嫡法的 粒子群数均为20，最大迭代次数为50：基于CS的 二维Renyi灰度嫡法的最大迭代次数为50，种群规 (a)原始图像 (b)二维Arimoto(c)基于PSO的三 熵法 维Renyi熵法 模为30个，概率po=0.25;基于CCS0的二维Renyi 灰度嫡法的最大迭代次数T=50,种群规模为30， 概率p%=0.25。 如图2所示，二维Arimoto嫡法无法将刀具磨 损区域从正常区域中分割出来，故没有得到磨损区 域的边缘；基于PSO的二维Renyi嫡法、基于CPSO (d基于CPSO的二(e)基于CS的二（①基于CCSO的 的二维Tsallis灰度熵法、基于CS的二维Renyi灰 维Tsallis灰度熵法维Renyi灰度熵法维Renyi灰度熵法 度熵法虽然能检测出磨损区域，但仍存在大量正常 图3，狒狒图像及分割结果 区域的边界；本文方法较好地分割出磨损区域，轮 Fig.3 Baboon image and segmentation results 廓清晰，并分割出了较小的磨损区域。 (a)原始图像 (b)二维Arimoto(c)基于PSO的 熵法 维Renyi熵法 (a)原始图像 (b)二维Arimoto(c)基于PSO的二 熵法 维Renyi熵法 (d基于CPSO的二(e)基于CS的二（①基于CCSO的二 维Tsallis灰度熵法维Renyi灰度熵法维Renyi灰度熵法 图2刀具图像及分割结果 (d基于CPS0的二(e)基于CS的二（①基于CCSO的三 Fig.2 Tool wear image and segmentation results 维Tsallis灰度熵法维Renyi灰度熵法维Renyi灰度熵法 图3所示狒狒图像，Renyi灰度嫡提取的狒狒 图4工业CT图像及分割结果 鼻子和胡须清晰可见，细节信息丰富；而其他3种 Fig.4 Industrial CT image and segmentation results
若r ⩽ 0.25 ，则寄生巢位置保留；否则位置被替换，得 到新的寄生巢位置，确定当前最优寄生巢位置。 5) 按式 (13)、式 (14) 对最优位置寄生巢执行混 沌扰动，与扰动之前的寄生巢位置比较，记录最优 寄生巢位置。 6) 对迭代次数 t 做出判断，当 t < Tmax时返回 3) 继续进行搜索，否则执行 7)。 (t ∗ ,s ∗ 7) 输出 Renyi 灰度熵的最优阈值 ) ，得到图 像的阈值分割结果。 4 实验结果及分析 p0 = 0.25 Tmax = 50 p0 = 0.25 运用提出的基于 CCSO 的二维 Renyi 灰度熵阈 值法对各种图像进行实验，并与二维 Arimoto 熵法[10] 、 PSO 的二维 Renyi 熵法[15] 、CPSO 的二维 Tsallis 灰度熵 法 [12] 、基于 CS 的二维 Renyi 灰度熵法在分割结果 和运行时间上进行比较。图 2~5 以刀具磨损图像 (327×156)、狒狒图像 (512×512)、工业 CT 图像 (371×300)、模糊火焰图像 (468×369) 为例，给出 5 种阈值选取方法的分割结果。基于 PSO 的二维 Renyi 熵法和基于 CPSO 的二维 Tsallis 灰度熵法的 粒子群数均为 20，最大迭代次数为 50；基于 CS 的 二维 Renyi 灰度熵法的最大迭代次数为 50，种群规 模为 30 个，概率 ；基于 CCSO 的二维 Renyi 灰度熵法的最大迭代次数 ，种群规模为 30， 概率 。 如图 2 所示，二维 Arimoto 熵法无法将刀具磨 损区域从正常区域中分割出来，故没有得到磨损区 域的边缘；基于 PSO 的二维 Renyi 熵法、基于 CPSO 的二维 Tsallis 灰度熵法、基于 CS 的二维 Renyi 灰 度熵法虽然能检测出磨损区域，但仍存在大量正常 区域的边界；本文方法较好地分割出磨损区域，轮 廓清晰，并分割出了较小的磨损区域。 (a) മۿ) b) Ҽ㔤 Arimoto ⟥⌅ (c) สҾ PSO ⲴҼ 㔤 Renyi ⟥⌅ (d) สҾ CPSO ⲴҼ 㔤 Tsallis ⚠ᓖ⟥⌅ (e) สҾ CS ⲴҼ 㔤 Renyi ⚠ᓖ⟥⌅ (f) สҾ CCSO ⲴҼ 㔤 Renyi ⚠ᓖ⟥⌅ 图 2 刀具图像及分割结果 Fig. 2 Tool wear image and segmentation results 图 3 所示狒狒图像，Renyi 灰度熵提取的狒狒 鼻子和胡须清晰可见，细节信息丰富；而其他 3 种 方法均在不同程度上丢失了部分信息。如图 4 所 示，二维 Arimoto 熵法的分割结果中存在大量虚警 目标，图 4(b) 中部有大量阴影，覆盖 CT 图像的部分 信息。基于 PSO 的二维 Renyi 熵法和基于 CPSO 的 二维 Tsallis 灰度熵法降低了虚警率，但物体的外边 界和内部空洞轮廓不够清晰，如图 4(c)、(e)，空洞边 界不清晰且尺寸变小，部分孔洞未被分割出来，不 利于后续的检测和识别。基于 CS 的二维 Renyi 灰 度熵法和本文方法在减少虚警目标的同时准确地分 割出物体的外围轮廓及内部空洞的边界。由图 5 可 以看出，基于 PSO 的二维 Renyi 熵法和二维 Arimoto 熵法分割出的火焰轮廓均不够准确，而二维 Arimoto 熵法还丢失了左上方的火焰目标；基于 CPSO 的二维 Tsallis 灰度熵法、基于 CS 的二维 Renyi 灰 度熵法、本文提出的方法分割得到的火焰边界清晰 准确。 (a) മۿ) b) Ҽ㔤 Arimoto ⟥⌅ (c) สҾ PSO ⲴҼ 㔤 Renyi ⟥⌅ (d) สҾ CPSO ⲴҼ 㔤 Tsallis ⚠ᓖ⟥⌅ (e) สҾ CSⲴ Ҽ 㔤 Renyi ⚠ᓖ⟥⌅ (f) สҾ CCSO ⲴҼ 㔤 Renyi ⚠ᓖ⟥⌅ 图 3 狒狒图像及分割结果 Fig. 3 Baboon image and segmentation results (a) മۿ) b) Ҽ㔤 Arimoto ⟥⌅ (c) สҾ PSO ⲴҼ 㔤 Renyi ⟥⌅ (d) สҾ CPSO ⲴҼ 㔤 Tsallis ⚠ᓖ⟥⌅ (e) สҾ CS ⲴҼ 㔤 Renyi ⚠ᓖ⟥⌅ (f) สҾ CCSO ⲴҼ 㔤 Renyi ⚠ᓖ⟥⌅ 图 4 工业 CT 图像及分割结果 Fig. 4 Industrial CT image and segmentation results ·156· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷