哈尔滨工业大学：《机器人技术》课程PPT教学课件（机器人运动学）第六章 机器人静力学和动力学

6.3二杆机器人的拉格朗日方程 631刚体系统拉格朗日方程 应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。 定义:L=K-P L-Lagrange函数;K—系统动能之和;P一系统势能之和。 系统的动能和势能可在任何坐标系(极坐标系、圆柱坐 标系等)中表示,不是一定在直角坐标系中。 动力学方程为: d a al at aa. a 广义力广义速度广义坐标 (力或力矩)(6或v)(或d) 17

17 ❖ 系统的动能和势能可在任何坐标系（极坐标系、圆柱坐 标系等）中表示 ，不是一定在直角坐标系中。 动力学方程为： 广义力 广义速度 广义坐标 （力或力矩）（ 或 ） （ 或 ） i i i d L L dt q q    = −     v  d 6.3 二杆机器人的拉格朗日方程 应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。 定义：L=K-P L—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。 6.3.1 刚体系统拉格朗日方程

6.32刚体系统拉格朗日方程 设二杆机器人臂杆长度分别为m,m2,质量 分别集中在端点为d1,d2,坐标系选取如图 以下分别计算方程中各项 、动能和势能 K h p=mg 对质点m1: d1 动能:k=2mh=2mn1(d日) n, 势能:P1=-m1g·d1COS() (x1,y1) 令(负号与坐标系建立有关) 对质点m2:先写出直角坐标表达式: x2=di sin(01+d sin(81+e2) (x2·y2) y2=-d1cos(1)-d2cos(1+2) 18

18 设二杆机器人臂杆长度分别为 ，质量 分别集中在端点为 d1,d2 ，坐标系选取如图。 m1,m2 以下分别计算方程中各项： 一、动能和势能 2 2 1 K = mv p = mgh 对质点 m1 ： 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 k m v m d m d = =  =   势能： 动能： 1 1 1 1 p m g d = −  cos( )  ❖（负号与坐标系建立有关） 对质点 m2 ： 先写出直角坐标表达式： cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2       = − − + = + + y d d x d d 6.3.2 刚体系统拉格朗日方程 1  1 

对x求导得速度分量 x2= di cos(1)1+a2co(1+2)(1+2) j2=di sin(010+d2 sin(81+02( 01+02) 2=2+y2=a12B2+a2(2+2002+62)+2ad2cos02)2+ta2) 动能: k2=2m241+2m2242(1+2002+02)+m2412(2)+2) 势能: P2=-m2gdi cos(e1)-mm2gd2 cos(01+e2) 二、 Lagrange函数 L=K-P=(k1-k2)-(P1+p2) (m1+m2)d2+m2d2(2+2002+2)+m2dd2coS(2)(G2+82) +(m1+m2)g:d1s(1)+m2gd2cos(1+62) L(612,1,02) 19

19 对 x 求导得速度分量： 1 2 ) 2 1 ) 2 1 2 cos( 2 )( 2 1 2 2 2 2 1 ( 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1sin( 1) 1 2 sin( 1 2)( 1 2) 2 1 cos( 1 ) 1 2 cos( 1 2 )( 1 2 )                                       = + = + + + + + = + + + = + + + v x y d d d d y d d x d d 动能： 1 2) 2 1 ) 2 1 2 cos( 2)( 2 1 2 2 2 2 1 ( 2 22 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 K2 = m d  + m d  +   + + m d d   +  P2 = −m2gd1cos(1) −m2gd2 cos(1 +2) 势能： 二、Lagrange函数 1 2 1 2 L K P k k p p = − = − − + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 ( ) ( 2 ) cos( )( ) 2 2 = + + + + + + m m d m d m d d          1 2 1 1 2 2 1 2 + +  + + ( ) ( ) cos( ) m m g d s m gd     ( , , , ) 1  2 1  2 = L  

、动力学方程 do、adoL、OL 先求第一个关节上的力矩( dt aq, aq dt a0, aL (m+m2)d202+m2d20+m2d202+2m2did2 cos(02)0+m2d1d2 cos(02 )02 d aL dt ae L(m+m2)df+m2d2+2m2d1d 2 cos(02)0+[m2d2+m2dyd2 cos(02)]2 2m2d1d2sin(2)012-m2d1d2sn(2)2 01 (m+m2)gdi sin(61-m2gd2 sin(81+e2) dOL、oL Z1=( dt a0 08 I(m+m, )di+m,d5+2m,d, d, cos(02)e,+lm,d,+m,d,d, cos(e2 ) Je -2m,d,d, sin(020102-m,d,d, sin(82 e+(m +m,)g d, sin(01)+m2g. d, sin(0+02

20 三、动力学方程 先求第一个关节上的力矩 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 ( )    2 cos( ) cos( )         m m d m d m d m d d m d d L = + + + + +   2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 [( ) 2 cos( )] [ cos( )]     m m d m d m d d m d m d d L dt d = + + + + +   2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 − 2m d d sin( )    − m d d sin( )  ( ) sin( ) sin( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1     = − + − +   m m gd m gd L 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 = + + + + + [( ) 2 cos( )] [ cos( )] m m d m d m d d m d m d d          −   = L L dt d ( ) 1 1  2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 − − + +  +  + 2 sin( ) sin( ) ( ) sin( ) sin( ) m d d m d d m m g d m g d         ——（1） 1 1 1 1 1 ( ( ) ( ) ) d L L d L L dt q q dt        = − = −     1 

同理,对a2和的2微分,可求得第二关节力矩 OL 2 22d501+m2d502 +mdid cos(02)01 d aL oa 1 +m5 582+ m2djd2 cos(02)01-m2djd sin(02) 0102 062 OL =-md1dl2si(2)(G+62)-m2gd2si(1+2 62 daL、OL dt a02 a02 =[m2a+m24d2co02)1+m22a2+m24d2si(2)2+m2gd2sin(1+02) (2) 以上是两杆机器人动力学模型。 21

21 同理，对   2 和  2 微分，可求得第二关节力矩 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2   cos( )      m d m d m d d L = + +   2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2   cos( ) sin( )         m d m d m d d m d d L dt d = + + −   sin( )( ) sin( ) 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2        = − + − +   m d d m gd L   2 2 2 ( )      −   = L L dt d  [ cos( )] sin( ) sin( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 = m2d2 + m d d    + m d   + m d d     + m gd  + 以上是两杆机器人动力学模型。 ——（2）