D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1994.03.008 第16卷第3期 北京科技大学学报 Vol.16 No.3 1994年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing June 1994 小尺寸物体自然对流换热的数值模拟 朱光俊 李有章 北京科技大学热能系北京，100083 摘要本文将三维附面层方程抛物型化，对不同尺寸的等温小加热块自然对流换热进行了数值 模拟，并用来研究微电子集成电路芯片的冷却问题· 关键词换热/集成电路元件，数值模拟，边缘效应 中图分类号TK124;0242 Numerical Simulation of Natural Convection Heat Transfer from Small Size Objects Zhu Guangjun Li Youzhang Department of Thermal Engineering.USTB,Beijjing 100083 ABSTRACT In order to study the heat transfer problem of microelectronic integrated circuit chips,numerical simulation of natural convection from constant temperature small size objects is carried out.The parabolized three-dimensional laminar boundary-layer equations are used to descnbe the flow and heat transfer phenomena. KEY WORDS heat transfer/integrated circuit element,numerical simulation,edege effects 随着微电子工业的迅速发展，高热负荷集成电路元件的冷却问题，已成为国际传热学界 研究的重大课题之一·小尺寸物体自然对流的三维特性使实验与计算均有困难.刘志宏) 以激光散斑照相等技术实验研究了镶嵌在基板上的等温小尺寸物体的自然对流换热，认为 小尺寸物体的前缘和边缘效应，显著强化了换自然对流换热，在计算方面，尚未见到有关数 值模拟镶嵌在基板上的等温小尺寸物体自然对流换热的文献报导，在刘志宏的实验研究基础 上，本文应用三维附面层的理论，提出了一种数值模拟镶嵌在基板上的小尺寸物体自然对流 换热的方法， 1物理模型与数学模型 图1表示所用的物理模型，在空气包围下，高L、宽b的竖直加热条镶嵌在高H、宽B的 1993-03-30收精 第一作者女27岁讲师硕士现在重庆钢铁专科学校任数
第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 山能 小 尺 寸物体 自然 对流换热 的数值模拟 朱光俊 李有 章 北 京科技大学 热能 系 北京 ， 招 摘要 本文将三 维附面 层方程 抛物型 化 ， 对不 同尺 寸的等 温 小 加热块 自然 对 流 换 热 进 行 了 数 值 模拟 ， 并用来研究微 电子集成 电路 芯 片的冷却 问题 关健词 换热 集成 电路元件 ， 数值模拟 ， 边缘效应 中图分类号 址 翻 ” 飞划 柞 献 ， ， 记 恤 的 。 沈 。 氏刀 ， 岭 如 “ 石 姗 远 币已 。 欢沮 一 刀哈 ‘ 恤 卫 一 饭 叫 泊 万 目甩目 代 已比坦皿 ， 正 谊 ， 比 随着微 电子工 业 的迅 速发展 ， 高热负荷集成 电路元件 的冷却 问题 ， 已成 为国际传热学界 研究 的重大课题之 一 小 尺寸物体 自然 对流 的 三 维特 性 使 实验 与计 算均 有 困难 刘志 宏 【 ’ 以激光散斑照相 等技术 实验研究 了镶嵌在基板上 的等温小尺寸 物 体 的 自然 对流 换 热 ， 认 为 小尺寸物体的前缘和边缘效应 ， 显著强化 了换 自然 对流换热 在计算方 面 ， 尚未见到有 关数 值模拟镶嵌在基板 上 的等温小 尺寸物体 自然 对流换热 的文献报导 在刘志宏 的实验研究基础 上 ， 本文应用三 维 附面层 的理 论 ， 提 出了一种数值模拟镶嵌在基板上 的小尺寸物体 自然 对流 换热 的方法 物理模型与数学模型 图 表示 所 用 的物理模 型 ， 在 空气包围下 ， 高 、 宽 的竖直加热条镶嵌在高 、 宽 的 卯 一 一 收稿 第一 作者 女 岁 讲师 硕士 现在 重 庆钢铁专科学校任 教 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1994．03．008
.236 北京科技大学学报 1994年No.3 竖直大平板上，假设加热条是等温的，基板无穷大且绝热，xy面为物理模型对称面.由于 热源尺寸较小，在与环境温差不是很大时，设流动为定常，其流场与温度场可用三维层流附 面层的方程描写，直角坐标系下等温小尺寸物体自然对流的方程为： w=0 ++器 du 十 (1) ou +w _=gB(T-Tx)+v 02w +0z2 (2) 8w +w +等 ow d2w =V y (3) 0g1 aT 部+部 =a 2T +w: (4) 式(2)中B为热膨胀系数. b 边界条件(0≤x≤L,1区？）为： y=0:4=0.D=0.w=0.T=T yoc u=0,W=0,T=T (5) s=0:w=0,0u/a-=0,av/az=0.0T/s=0 以上方程为椭圆型方程.用物理模型的固有特点分析方 程可知，当板宽为无限大，即二维问题，方程中/：2 各项为零；当板宽为有限不为零，可认为它们在方程 加热条 中的作用，是描述板宽有限引起的三维效应，且其效 纤维 应的程度与板宽（即几何形状）相关·故本文将方程 绝热板 (1)~(4)抛物型化，在/y2项中引入与板宽有关的 待定系数c,以隐式考虑方程抛物型化消去的2/：各 项的效应， 抛物型化后的方程为： 0v+ +等+ w=0 (6) 图1物理模型 Fig.1 The physical model duouw u uex w u =gB(T-T:)+oc y (7) 8+w02 w+v⑦y aw =vc by 02w u ex (8) 0T +w =ac dy (9) 相应的边界条件为： y=0:u=0,v=0,w=0,T=T y→0：u=0,w=0,T=Tx (10) :=0的边界条件类似于二维情况，x=0的边值问题可化为初值问题处理
· · 北 京 科 技 大 学 学 报 芜岭 年 竖直大平 板 上 假设加 热条是等温 的 ， 基板 无穷大且 绝热 ， 面 为物理模 型 对称 面 由 于 热源 尺寸 较小 ， 在 与环境温差 不 是很大 时 ， 设 流动为定 常 ， 其流 场与温 度 场可 用 三 维层 流 附 面层 的方 程描 写 ， 直 角坐标 系下 等温 小尺寸 物体 自然 对流 的方 程 为 ，孟 、产产 勺︸ 子 ‘口、、了 、产、亨 一 口一口八 十 一忍 一月口八一之 ，矛、、 十 不 一而九 创 口口 一斗‘甲 ︺一自州两 一夕 日 一 尹、 ， ‘、了了 气 蜘一竺九九 一 、 令 · 鲁 一 等 · 等 一协， ︸三 口一八︵ 一了 洲一口月口八︵ 式、 ， 中 刀为热膨 胀 系数 、 ，二 ， ， ， ， 二 ， 迈 齐 余 干 头 头 乙 ， 别 飞 下 乙 二 刀 飞 叨 二 “ ， ， 兀 “ 二 ， 二 ， 兀 ， 日 日 二 ， 日 口 ， 日 舀 以上方程为椭圆型方程 用 物理 模型 的固有特点分析方 程 可 知 ， 当板 宽 为无 限大 ， 即二 维 问题 ， 方程 中于 几 ’ 各项 为零 当板 宽 为有 限不 为零 ， 可 认 为它们在方 程 中的作 用 ， 是描 述板 宽有 限 引起 的三 维效应 ， 且其效 应 的程度 与板 宽 即 几何 形 状 相 关 故本 文将方程 一 抛物 型化 ， 在 澎 即 ， 项 中引人 与板宽有 关 的 待定 系数 ， 以 隐式 考 虑方 程 抛物 型 化 消去 的 沙 灸 ’ 各 项 的效应 抛 物 型化后 的方 程 为 加 热条 纤维 绝热 板 、了 了、‘产、 ﹃入了 、尹、尹 鲁 一 、 一 二 ， 二 鲁一令 臀一等 图 物理模型 瑰 日抽 日夕 讨 一伽 一 月一妇 九 一州八 双一 口一八﹃口 些鱼丝人入 鱼互一即汀 相 应 的边 界 条件 为 夕二 一 的 一 ， ” 一 ， 、，一 ， 一 双 “ 二 ， ， 了 ， ， 的边 界 条件类 似于 二 维情 况 ， 的边值 问题可 化 为初值 问题处理
Vol.16 No.3 朱光俊等：小尺寸物体自然对流换热的数值模拟 237. 2 数学模型的数值求解 先对方程用以下新坐标进行坐标变换： X=x,Z=,n=(4/vL)/2y(L/x)4 (11) 式中， u.=√gBL(T-Tx)· 引人矢性流函数平=(@，0，平)，且 u=aΨ/cy,w=Φ/ay,V=-(aΨ/dx+Φ/a:) (12) 对方程(7)进行量纲分析可得 Ψ=(VL)2(x/L)4f(x,,n) (13) Φ=(uVL)2(x/L)4(:/x)g(x,,1) (14) 式中，f(化：，，9(x,:,巾为矢性流函数的无因次分量.定义无因次温度 (x,,)=(T-Tx)/(T-Tx) (15) 应用方程(11)~(15)对方程(7)~(9)进行变换得到： (16) (17) c0+mr+g器-][g尝-g是] (18) 式中，m,=3/4,m2=1/2.e=1/P,;边界条件为： n=0:f=0,g=0.f'=0,g=0,0=1 (19) n-0:f'=0,g'=0,8=0 本文用逐次降阶将n阶微分方程的求解转化为联解n个一阶方程组，用箱形格式算法2，) 将一阶方程组离散化，经线性化处理，用块消元法求解· 流速、温度、流函数、涡量、对流换热系数x,努谢尔数N:等的计算公式分别为： x方向速度分量u=w.(x/L)12” z方向速度分量w=4.(x/L)2(/x)g' 温度 T=T:+(T.-Tx)0 矢性流函数分量 平=(uvL)12(x/L)34f 矢性流函数分量Φ=(u.vL)2(x/L)34(e/x)g 涡量 =-4.(4./vL)2(x/L)4f" z方向局部值 e:w=-(T.-Tz4,/vL)12(x/)4 -点6'(0)d: q:0=Q:/b W/m2 :(=q:c/(T.-Tx) W/m2.℃ NMu:m=x:e·b/A x方向局部值 q=Qx/L W/m2
朱光俊等 小尺 寸物体 自然 对流换热的数值模拟 ， 、 了、了尹尸， ‘气︸、 ‘、，叮、、了 勺月确且 、 理‘、了了 弓飞且‘亡 数学模型 的数值求解 先 对方 程 用 以 下新 坐标进行 坐标 变换 ， ， 叮 ’ ’ 夕 ’ ‘ 式 中 ， 二 丫 口 兀 一 兀 引人矢性 流 函数 子一 。 ， ， 甲 ， 且 。 日甲 即 ， 日侧 丙 ， 一 口甲 人 刁。 九 对方 程 进行量 纲分 析 可得 甲 ’ ‘ ’ ‘ ， ， 叮 。 。 。 ’ ’ 性 ， ， 粉 式 中 ， ， ， 的 ， 口 ， ， 功为矢性 流 函数 的无 因次分量 定 义无 因次温 度 ， ， 的二 一 兀 天 一 兀 应 用 方程 一 对方 程 一 进行 变换得到 ， 了、 夕 ‘了、召、了 ︵二 只︺ 、 ，’ 一 ， 一 。 ，， ，’ 夕· 。 一 卜 ， 誓 一 了 。 。 ，，， · 。 。 ，，了一 ， 。 ， 一 。 ，， 一 。 ， 一 ， 粤 一 。 。 畏 李 、 民琴 一， ，’ 李 」 ‘ 艺 」 「 ， ， ， 方 “ “ 口 ” 十 川 ，叮 十 ’ “ 一 ‘ 万 一 口 布」十 ，’ 刹 一卜粤 一 ’ 。 ， 鲁」 鲁 一 ’ 式 中 ， 。 ， 。 ， 。 八 边界条件 为 鲁」 叮 ， 夕 ， ‘ ， ， ， 叮 沈 ’ ， 梦二 ， 本 文 用 逐 次 降 阶将 阶微分 方程 的求解 转化 为联 解 个 一 阶方程组 ， 用箱形 格式算法 ， ’ 将一 阶方 程 组 离散化 ， 经线性 化处理 ， 用块消元法求解 流速 、 温度 、 流 函 数 、 涡量 、 对流换热系数 ，， 努谢尔数 等 的计算公 式分别 为 方 向速度分量 。 。 ’ ， ‘ 方 向速度分量 ’ 了’ 习 ‘ 温度 兀 天 一 孔 口 公 ‘、了 产、 犷 曰口 片巨户 矢性 流 函数分量 矢性 流 函数分量 涡量 方 向局 部值 甲 ’ ’ ’ 中 。 。 五 ’ ， ’ ‘ 一 。 。 ’ 厂 ’ “ ， 一 又 一 几 。 ’ 刃’ 五 ’ ‘ 、 “ 、 叮 兀 一 几 二 “ · 又 耐 · ℃ 方 向局部 值 。 二 一 、 一 二 合 一 弊 · 、
.238 北京科技大学学报 1994年No.3 axt)=qx(/(T-T) Wm2℃ Nuxe=xxe·b/i 产0 w/m2℃ Nu=i·b/ 3计算结果及讨论 本文对不同尺寸等温竖直加热条，在与环境不同温差下自然对流换热作了数值模拟，根 据加热条的高宽比，将加热条分为竖窄条、横窄条及小块，由于竖窄条与横窄条为小块的特 殊情况，在此只介绍小块的数值模拟结果，详细情况可见文献[4)].小块的工况参数（见图 1)为：L×b=10mm×10mm,20mm×10mm,30mm×10mm,50mm×10mm,10mm×20mm, 10mm×30mm;温差△T=97℃，47℃；按实验资料取H=180mm,B=100mm.计算采用11mm ×18mm×11mm的均匀网格，在286计算机上计算一例所需最大机时为60minm. 3.1小尺寸物体自然对流换热的速度场与温度场 不同尺寸小块在：平面上主流方向速度（即速度分量）随x的增加而加大，月随温度 的升高而增加，各z平面上的速度分布相同·小块 的宽度对速度分量u与z方向速度分量w的影响， 1.0 3-L=20m :/b=0 2-L10mmb=20mn:/b=0.3 块的宽度愈小速度梯度愈大，与二维流动一样，小 0.85 块附面层内也存在速度的最大值，块的宽度越小，速 0.6 度最大值增大，由于速度分量w很小，相比于速度分 0.4 量4而言w可忽略，因此，合速度的变化规律与分 速度u的相一致. 02 0.0 图2示出宽度对温度分布的影响，块的宽度越 0.0 2.0 4.0 6.0 小，温度梯度越大.自然对流附面层外的流体是静止 的，即其速度为零，于是自速度分布得到不同宽度 图2宽度对温度分布的影响 Fig.2 The effect of width upon temperature 小块自附面层厚度y。即 distribution y。=1max(vL/4.)2(x/L)4 (20) 式中，”是按满足解收敛所可以取的渐近边界确定的，经多次重复计算，与二维流情况一 样，取nm=7.0 2.9 1.9 1.0 0.05 d 19.718.417.115.814.413.111.810.59.27.96.65.34.0 图3xy断面的流场图像 Fig.3 Flow pattern in xy plane,scale 1:0.001 Gr=7.411x 10
北 京 科 技 大 学 学 报 少抖 年 “ 二 习 二 兀 一 几 ， “ 、 ‘ · 又 ℃ 厂 “ ， 、 」 了 。 厌 · 气义 ， ‘ 了 · 又 ’ ℃ 计算结果及讨论 本文 对不 同尺 寸 等温 竖直 加 热条 ， 在 与环境不 同温差下 自然 对流换热作 了数值模 拟 根 据加 热条 的高 宽 比 ， 将加 热条分 为竖 窄条 、 横窄条及小 块 由于 竖窄条 与横 窄条 为小 块 的特 殊情 况 ， 在 此 只介 绍小 块 的数值模 拟 结果 ， 详 细 情 况 可 见 文 献 【 小 块 的工 况 参 数 见 图 为 刀匡 注 ， ， ， ， 们匡 ， 温 差 △ ℃ ， ℃ 按 实验 资料 ‘ 〕取 工 计算采用 的均 匀 网格 ， 在 计算机上计算一例所需最大机 时为 小尺 寸物体 自然对流换热 的速度场 与温度场 不 同尺 寸小块在 平 面上 主流方 向速 度 即速 度 分 量 的 随 的 增 加 而 加 大 ， 日 随 温 度 的升高而增加 ， 各 平 面上 的速度分布相 同 小块 的宽 度 对速 度 分 量 与 方 向速 度分量 的影 响 ， 块 的宽度愈小速 度梯度愈大 ， 与二 维流动一样 ， 小 块 附面层 内也存在速度 的最大值 ， 块 的宽度越小 ， 速 度最大 值增 大 由于 速度 分量 很小 ， 相 比于 速度分 量 而 言 可 忽 略 ， 因此 ， 合速度 的变化规律与分 速度 的相 一致 图 示 出宽度对温 度分布的影 响 块 的宽度越 小 ， 温度梯度越大 自然对流 附面层外的流体是静止 的 即芥呼譬生多 贡是 自速度分布得 到不 同宽度 小块 自附面层 厚度 。 即 畏 夕 。 叮 ’ ’ ’ ‘ 式 中 ， 叮 是 按满足解 收敛 所 可 以取 白翎斩近边界确定 的 ， 样 ， 取 叮 火 卜、 ︶卜︵绪必、 宽度对温度分布的影响 衍 姗 山 经多次重复计算 ， 与二 维流 情 况 一 赣暴圈 断面 的瘾流场 图像 夕巍 瑰 · 夕 ， · ‘
Vol.16 No.3 朱光俊等：小尺寸物体自然对流换热的数值模拟 239, 图3与图4分别表示长L=20mm、b=10mm的小块，从xy断面上的流场和涡线图像，可 以清楚看出，小块物体自然对流附面层内出现环流区，此区的边界是涡量的极点·这些区域 2.9 1.9 1.0 0.0 19.718.417.115.814.413.111.810.59.27.96.65.34.0 图4xy断面的涡线图像 Fig.4 Vortex line pattern in xy plane,scale 1:1000 Gr=7.411x 10 内速度梯度较大，零值涡线将流场沿z方向分为两个区域，显示出分速度u沿y增大达 到其极值，然后减小这一变化过程，环流对边缘冷空气有抽吸作用，从边缘抽吸进来的 冷空气“侵人”到热附面层内，块越窄“侵人”的区域愈大，这种边缘抽吸作用就是所 谓的边缘效应，宽度愈小的块其边缘效应愈显著，无限大平板没有边缘效应，正是由于小 块物体的这种边缘效应，使传热得到了显著强化， 3.2小尺寸物体自然对流换热的换热特性 由于对流换热的热量传递主要取决于附面层的厚度，小尺寸物体的宽度愈小，其边 缘效应愈显著；附面层厚度愈薄，其对流换热系数增大，同样宽度的小块，附面层厚 度变化规律相同，其对流换热系数的变化规律也相同，大平板的附面层厚度最大， 而对流换热系数最小，通过计算发现块宽大于140mm时就可作为无限大平板处理，计 算表明，沿高度方向的换热系数：几乎不变·于是可总结出小尺寸物体自然对流换热的 两大特性是：换热强化而变化规律较简单·不同尺寸、不同温差下的小块，将其平均对 流换热系数按Nu。相关于L/(bGr。)的关系整理，拟合得到的无量纲准则关系式为： N46=3.14(L/bGr,)-0149 (21) 式中，Nu,=x。b/1为以宽度为特征量的平均努谢尔数 图5表示计算的平均努谢尔数与实验值的比较，当L/(bGr)>10-；误差为±5%，当L/bGr) 38 …实值 20 二计算值 DT=97℃ U33 18 15 28 13 10 8M-3.13LbGr,)*-0.144835 20 0.01.02.03.04.05.06.0 10-6 105 104 103 L/b L/(bGr,) 图5平均努谢尔数 图6高一宽比对平均对流换热系数的影响 Fig.6 The effect of height-width ration upon Fig.5 The mean nusselt number Nu comvective heat transfer coefficient (下转254页)
朱光俊等 小尺寸物体 自然 对流换热 的数值模拟 图 与 图 分 别 表示 长 二 、 二 的小块 ， 从 断面上 的流 场 和 涡 线 图像 ， 可 以清楚看 出 ， 小块物体 自然 对流 附面层 内出现环流 区 ， 此 区 的边界 是 涡量 的极 点 这些 区域 图 断面的涡线 图像 瑰 此 琳 夕 一 ， 朋〕 ‘ 内速 度 梯 度 较 大 ， 零 值 涡 线 将 流 场 沿 方 向分 为 两个 区 域 ， 显 示 出 分 速 度 沿 增 大 达 到 其极 值 ， 然 后 减 小 这 一 变 化 过 程 环 流 对边 缘 冷 空 气有 抽 吸作 用 ， 从 边 缘 抽 吸 进 来 的 冷 空 气 “ 侵人 ” 到 热 附 面 层 内 ， 块越 窄 “ 侵人 ” 的 区 域愈 大 这 种 边 缘 抽 吸作 用 就 是 所 谓 的边 缘 效 应 ， 宽 度 愈 小 的块 其 边 缘效应愈显著 ， 无 限大平板没有 边 缘效应 ， 正 是 由于 小 块物 体 的这 种边 缘 效应 ， 使传热得 到 了显著强 化 小 尺寸物体 自然对流 换热 的换热特性 由于 对流换 热的热量 传递 主 要 取 决于 附面 层 的厚 度 ， 小 尺 寸物体 的 宽度 愈 小 ， 其 边 缘效 应 愈显 著 附 面 层 厚 度 愈 薄 ， 其 对流 换 热 系 数增 大 同样 宽 度 的 小 块 ， 附 面层厚 度变化规律相 同 ， 其 对流 换 热 系 数 的 变 化 规 律 也 相 同 大 平 板 的 附 面 层 厚 度 最 大 ， 而 对流 换 热 系数 最 小 通 过 计 算 发 现 块 宽大 于 刀以 时 就 可 作 为 无 限 大 平 板 处 理 计 算表 明 ， 沿 高度 方 向的换 热 系 数 几 乎不 变 于 是 可总 结 出小 尺 寸 物 体 自然 对流 换热 的 两 大 特 性 是 换 热强 化 而 变化规 律较 简单 不 同尺 寸 、 不 同温 差 下 的小 块 ， 将 其 平 均 对 流 换 热 系 数按 相 关 于 的 关 系 整 理 ， 拟 合得 到 的 无 量 纲 准 则 关 系 式为 一 。 ，“ ， 式中 ， 几为 以 宽度 为特征量 的平均努谢尔数 图 表示计算 的平均 努谢尔数 与实验值 的 比较 ， 当 一 几误 差 为士 ， 当 心 遥、闷 一 ℃ 了 … 矢 、 · · 二 实绘 值 二二二 计 算 傀 － ’ 、 队 ， 」 卜 ， ‘ 、 一 ， ，。 。 二」 。 闷众粼 日 。渗︶、才 ，、 圈 平均努谢尔数 瑰 · 触 趁， 目 口 叮 圈 高 一 宽 比对平均对流换热 系数的影响 珑 触 压以 洲沙 一 记山 位扣 卿 ， 叫耸由 卜翔 加倒时 口团记 下转 科 页