轧机液压伺服系统多模型切换自适应反步控制

D0L:10.13374/.issn1001-053x.2012.11.019 第34卷第11期 北京科技大学学报 Vol.34 No.11 2012年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Now.2012 轧机液压伺服系统多模型切换自适应反步控制 邵彭真) 方一鸣12)网 王文宾) 焦宗夏 1)燕山大学工业计算机控制工程河北省重点实验室，秦皇岛066004 2)北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京100191 ☒通信作者，E-mail:fyming(@ysu.cdu.cn 摘要针对轧机液压伺服系统工作过程中弹性负载力和外负载力的跳变，基于公共Lyapunov函数方法和自适应反步控制 方法，提出了一种多模型切换自适应反步控制策略.该方法结合自适应反步控制的特点和公共Lyapunov函数的设计要求，通 过反步法设计了各子系统的状态反馈控制器和不确定上界参数的自适应估计器，取反步法的Lyapunov函数作为公共Lyapunov 函数，保证了系统在任意切换下的渐近稳定.自适应反步法和公共Lyapunov函数方法的结合，便于公共yapunov函数的求 取，又解决了同时存在参数跳变和参数慢时变的问题.仿真结果表明，该方法能够保证轧机液压伺服系统具有良好的动静态 性能，并对参数跳变和参数慢时变具有较强鲁棒性 关键词轧机：液压伺服系统：自适应控制：反步：切换：Lyapunov函数 分类号TP273 Adaptive backstepping control of multi-model switching for the hydraulic servo position system of a rolling mill SHA0Peng-hen',FANG Yi-ming☒，WANG Wen--bin》,JA0Zong-ia2) 1)Hebei Key Lab of Industrial Computer Control Engineering,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China 2)School of Automation Science and Electrical Engineering,Beihang University,Beijing 100191,China XCorresponding author,E-mail:fyming@ysu.edu.cn ABSTRACT To deal with the structure jumping problem resulting from elastic load force and external load force jumping in different working conditions,an adaptive backstepping control method of multi-model switching was presented based on the common Lyapunov function method and the adaptive backstepping method.This approach combines the features of adaptive backstepping control and the design requirements of a common Lyapunov function,and the adaptive controller for every sub-system and the parameter adaptive estimators for the uncertainty upper bound are designed by backstepping control,then taking the Lyapunov function designed by backstepping as a common Lyapunov function to ensure that the system is asymptotically stable under arbitrary switching.It is easy to select the common Lyapunov function by the combination of backstepping and the common Lyapunov function method,and the problem of parameter jumping and parameter slow time-varying existing at the same time is solved.Simulation results demonstrate that the designed controllers can ensure not only good dynamic and static performance for the hydraulic servo position system of a rolling mill, but also good robustness for the system parameter jumping and parameter slow time-varying. KEY WORDS rolling mills:hydraulic servo systems:adaptive control:backstepping:switching:Lyapunov functions 液压伺服系统具有响应速度快和承载能力强等 提出了一些非线性的自适应控制方法，如滑模自适 优点，在工业、国防和航天等领域有广泛应用.液压 应、自适应反步控制-和精确反馈自适应控 伺服系统的非线性和参数不确定性给系统精确跟踪 制回，这些控制方法在一定条件下取得了良好的控 带来一定困难，自适应控制能有效克服系统不确定 制效果. 性对系统性能的影响.很多学者在电液控制系统中 在轧机液压伺服系统工作过程中除了内部参数 收稿日期：20110803 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61074099)

第 34 卷 第 11 期 2012 年 11 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 34 No． 11 Nov． 2012 轧机液压伺服系统多模型切换自适应反步控制 邵彭真1) 方一鸣1，2) 王文宾1) 焦宗夏2) 1) 燕山大学工业计算机控制工程河北省重点实验室，秦皇岛 066004 2) 北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京 100191 通信作者，E-mail: fyming@ ysu． edu． cn 摘 要 针对轧机液压伺服系统工作过程中弹性负载力和外负载力的跳变，基于公共 Lyapunov 函数方法和自适应反步控制 方法，提出了一种多模型切换自适应反步控制策略． 该方法结合自适应反步控制的特点和公共 Lyapunov 函数的设计要求，通 过反步法设计了各子系统的状态反馈控制器和不确定上界参数的自适应估计器，取反步法的 Lyapunov 函数作为公共Lyapunov 函数，保证了系统在任意切换下的渐近稳定． 自适应反步法和公共 Lyapunov 函数方法的结合，便于公共 Lyapunov 函数的求 取，又解决了同时存在参数跳变和参数慢时变的问题． 仿真结果表明，该方法能够保证轧机液压伺服系统具有良好的动静态 性能，并对参数跳变和参数慢时变具有较强鲁棒性． 关键词 轧机; 液压伺服系统; 自适应控制; 反步; 切换; Lyapunov 函数 分类号 TP273 Adaptive backstepping control of multi-model switching for the hydraulic servo position system of a rolling mill SHAO Peng-zhen1) ，FANG Yi-ming1，2) ，WANG Wen-bin1) ，JIAO Zong-xia2 ) 1) Hebei Key Lab of Industrial Computer Control Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China 2) School of Automation Science and Electrical Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China Corresponding author，E-mail: fyming@ ysu． edu． cn ABSTRACT To deal with the structure jumping problem resulting from elastic load force and external load force jumping in different working conditions，an adaptive backstepping control method of multi-model switching was presented based on the common Lyapunov function method and the adaptive backstepping method． This approach combines the features of adaptive backstepping control and the design requirements of a common Lyapunov function，and the adaptive controller for every sub-system and the parameter adaptive estimators for the uncertainty upper bound are designed by backstepping control，then taking the Lyapunov function designed by backstepping as a common Lyapunov function to ensure that the system is asymptotically stable under arbitrary switching． It is easy to select the common Lyapunov function by the combination of backstepping and the common Lyapunov function method，and the problem of parameter jumping and parameter slow time-varying existing at the same time is solved． Simulation results demonstrate that the designed controllers can ensure not only good dynamic and static performance for the hydraulic servo position system of a rolling mill， but also good robustness for the system parameter jumping and parameter slow time-varying． KEY WORDS rolling mills; hydraulic servo systems; adaptive control; backstepping; switching; Lyapunov functions 收稿日期: 2011--08--03 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 61074099) 液压伺服系统具有响应速度快和承载能力强等 优点，在工业、国防和航天等领域有广泛应用． 液压 伺服系统的非线性和参数不确定性给系统精确跟踪 带来一定困难，自适应控制能有效克服系统不确定 性对系统性能的影响． 很多学者在电液控制系统中 提出了一些非线性的自适应控制方法，如滑模自适 应［1］、自适应反步控制［2--3］ 和精确反馈自适应控 制［4］，这些控制方法在一定条件下取得了良好的控 制效果． 在轧机液压伺服系统工作过程中除了内部参数 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2012.11.019

第11期 邵彭真等：轧机液压伺服系统多模型切换自适应反步控制 ·1347· 和外部负载力的不确定性外，系统参数在某一时刻 液压缸 位置 同服 还会具有较大的跳变，如液压伺服系统的弹性刚度 控制 放大 系数在油缸活塞接触到刚性负载前后存在从零到一 器 个很大值的跳变，从而引起系统的结构跳变，对系统 测厚仪 性能有很大的影响.对于此类问题，常规的自适应 控制策略效果不理想.针对参数的跳变，本文采用 位置传感器 多模型切换控制策略对液压伺服位置系统进行设 计.近年来，多模型切换控制已经取得了很多研究 ☑ 成果：文献5]提出一种状态反馈控制律并设计了 图1液压伺服驱动的冷带轧机控制系统示意图 切换规则：文献[6]针对一类不确定非线性切换系 Fig.1 Schematic diagram of the control system of a cold strip rolling 统的H控制问题，提出构造单鲁棒H,滑模面的方 mill driven by hydraulic servo 法；文献]运用多Lyapunov方法分析了切换系统 的稳定性：文献8]针对一类多输入多输出非线性 P、-Psg(x,) Q=Ca (1) 系统应用反演递推法设计了各个子系统的控制律， 并设计了适当切换律保证系统稳定.但是，依靠判 r+C.PL QL=A+4B. (2) 断Lyapunov函数大小决定切换的切换律并不适用 ApPL M xp +Bpip kxp FL (3) 于实际系统.文献9]将滑模变结构控制与多模型 式中，C为阀口流量系数，w为伺服阀开口梯度，x, 切换相结合，对轧机液压位置切换系统进行了控制 为伺服阀芯位移，P。为液压泵出口压力，Q为负载 器的设计：文献0]提出了一种基于多模型模糊切 流量，P为负载压力，P为液压油密度，A。为液压缸 换的轧机液压伺服系统位置控制方案 活塞有效面积，x。为活塞位移，C,为液压缸外泄漏 反步法是通过递推的方法，设计一类纯反馈型 系数，V为液压缸油腔总体积，B。为体积弹性模量， 非线性系统的状态反馈控制律，是一种将Lyapunov M为活塞和负载的总质量，B。为活塞的黏性阻尼系 函数的选取与控制器的设计相结合的设计方法.公 数，k为弹性刚度系数，F为作用在活塞上的外负 共Lyapunov函数法是对切换系统的各个子系统构 载力 造一个相同的Lyapunov函数来保证切换的稳定性， 实际中一般把伺服放大器和伺服阀的输入输出 其缺点在于适合各个子系统的公共Lyapunov函数 特性都等效成比例环节，因此有 不易构造.本文结合反步控制和多模型切换控制两 i 者的特点，在一定条件下，选取反步法设计的 K, (4) Lyapunov函数作为所有子系统的公共Lyapunov函 数，其中多模型切换控制用于解决系统参数跳变问 (5) 题，自适应反步控制用于解决子系统运行时所具有 式中，K。为伺服放大器放大系数，K为伺服阀增益， 的参数慢时变，最后运用Lyapunov理论证明了系统 i为伺服放大器输出电流，u为系统控制输入 在任意切换次序下的渐近稳定性.同时文中设计了 分别取活塞的位移、速度和加速度作为状态，则 一个辅助控制量对各个子系统动态性能加以改善， 液压伺服位置系统的数学模型可以转换为状态方程 降低了公共Lyapunov函数设计的控制器的保守性. 「x1=X2 通过对轧机液压伺服位置系统进行仿真，验证了所 元2=X3’ 提方法的有效性. (6) x3=ax+azx2 +asx3+aag(x,)u+d, 1轧机液压伺服系统数学模型及问题描述 LY=X1- 液压伺服驱动的冷带轧机位置控制系统主要由 式中，a1=-gCk (+C.B) Mv.d=-Mv 控制器、伺服放大器、电液伺服阀、液压缸、轧机辊系 和传感器等组成，其结构图如图1所示 03=- B:4B.C a=A B.CKkg (x.)= 图中液压伺服位置系统的数学模型主要由伺服 M,',p 阀流量方程、液压缸流量方程和液压缸力平衡方程 √Ps-Psgm(x,),d=- 组成，分别如下式所示： 是-银为线位置

第 11 期 邵彭真等: 轧机液压伺服系统多模型切换自适应反步控制 和外部负载力的不确定性外，系统参数在某一时刻 还会具有较大的跳变，如液压伺服系统的弹性刚度 系数在油缸活塞接触到刚性负载前后存在从零到一 个很大值的跳变，从而引起系统的结构跳变，对系统 性能有很大的影响． 对于此类问题，常规的自适应 控制策略效果不理想． 针对参数的跳变，本文采用 多模型切换控制策略对液压伺服位置系统进行设 计． 近年来，多模型切换控制已经取得了很多研究 成果: 文献［5］提出一种状态反馈控制律并设计了 切换规则; 文献［6］针对一类不确定非线性切换系 统的 H∞ 控制问题，提出构造单鲁棒 H∞ 滑模面的方 法; 文献［7］运用多 Lyapunov 方法分析了切换系统 的稳定性; 文献［8］针对一类多输入多输出非线性 系统应用反演递推法设计了各个子系统的控制律， 并设计了适当切换律保证系统稳定． 但是，依靠判 断 Lyapunov 函数大小决定切换的切换律并不适用 于实际系统． 文献［9］将滑模变结构控制与多模型 切换相结合，对轧机液压位置切换系统进行了控制 器的设计; 文献［10］提出了一种基于多模型模糊切 换的轧机液压伺服系统位置控制方案． 反步法是通过递推的方法，设计一类纯反馈型 非线性系统的状态反馈控制律，是一种将 Lyapunov 函数的选取与控制器的设计相结合的设计方法． 公 共 Lyapunov 函数法是对切换系统的各个子系统构 造一个相同的 Lyapunov 函数来保证切换的稳定性， 其缺点在于适合各个子系统的公共 Lyapunov 函数 不易构造． 本文结合反步控制和多模型切换控制两 者的 特 点，在 一 定 条 件 下，选取反步法设计的 Lyapunov函数作为所有子系统的公共 Lyapunov 函 数，其中多模型切换控制用于解决系统参数跳变问 题，自适应反步控制用于解决子系统运行时所具有 的参数慢时变，最后运用 Lyapunov 理论证明了系统 在任意切换次序下的渐近稳定性． 同时文中设计了 一个辅助控制量对各个子系统动态性能加以改善， 降低了公共 Lyapunov 函数设计的控制器的保守性． 通过对轧机液压伺服位置系统进行仿真，验证了所 提方法的有效性． 1 轧机液压伺服系统数学模型及问题描述 液压伺服驱动的冷带轧机位置控制系统主要由 控制器、伺服放大器、电液伺服阀、液压缸、轧机辊系 和传感器等组成，其结构图如图 1 所示． 图中液压伺服位置系统的数学模型主要由伺服 阀流量方程、液压缸流量方程和液压缸力平衡方程 组成，分别如下式所示: 图 1 液压伺服驱动的冷带轧机控制系统示意图 Fig． 1 Schematic diagram of the control system of a cold strip rolling mill driven by hydraulic servo QL = Cdωxv PS － PL sgn( xv ) 槡 ρ ， ( 1) QL = Ap x · p + V 4βe P · L + CtPL， ( 2) ApPL = M x ·· p + Bp x · p + kxp + FL ． ( 3) 式中，Cd 为阀口流量系数，ω 为伺服阀开口梯度，xv 为伺服阀芯位移，PS 为液压泵出口压力，QL 为负载 流量，PL 为负载压力，ρ 为液压油密度，Ap 为液压缸 活塞有效面积，xp 为活塞位移，Ct 为液压缸外泄漏 系数，V 为液压缸油腔总体积，βe 为体积弹性模量， M 为活塞和负载的总质量，Bp 为活塞的黏性阻尼系 数，k 为弹性刚度系数，FL 为作用在活塞上的外负 载力． 实际中一般把伺服放大器和伺服阀的输入输出 特性都等效成比例环节，因此有 Kp = i u ， ( 4) Ksv = xv i ． ( 5) 式中，Kp 为伺服放大器放大系数，Ksv为伺服阀增益， i 为伺服放大器输出电流，u 为系统控制输入． 分别取活塞的位移、速度和加速度作为状态，则 液压伺服位置系统的数学模型可以转换为状态方程 x · 1 = x2， x · 2 = x3， x · 3 = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 g( xv ) u + d， y = x1        ． ( 6) 式中，a1 = － 4βeCtk MtVt ，a2 = － k Mt － 4βe MtVt ( A2 p + CtBp ) ， a3 = － Bp Mt － 4βeCt Vt ，a4 = 4Ap βeCdω MtVt 槡ρ KpKsv，g ( xv ) = PS － PL sgn( x 槡 v ) ，d = － F · L Mt － 4βeCt MtVt FL，y 为系统位置 ·1347·

·1348· 北京科技大学学报 第34卷 输出.由于原式中的物理参数受外界环境影响，大 第一步，定义位置跟踪误差 多具有不确定性，所以式(6)中a1、a2、a和a4均有 el=x1-xd, (10) 参数摄动 则 根据工作状态的变化，并将式(6)中参数摄动 e1=元1-xa=x2-龙r (11) 项综合考虑，将系统状态方程改写成如下多模型切 定义Lyapunov函数为 换系统： (12) =x2 x2=x3? (7) 对上式求导得 x3=aax +anx2 aaxs +aag (x)u+f. VI =erer=e(x2-i). (13 3 选取虚拟控制量 fi=d,+∑△ag+Aaag(x,)u. (8) x2d=xd-kie, (14) 式中：i=1,2,,m,m表示多模型的个数；a1、a2、 k,是待设计的正常数 aa和aa为子系统参数的标称值；△a1、△a2、△aa和 定义误差 △aa为参数摄动，它们是受外部工作环境的变化而 e2 =x2-x2d =x2-xd+hie1, (15) 慢时变的，并不是由参数的跳变而引起的；d:为第i 将上式代入式(13)得 个子系统的外部扰动. Vi =ere2 -kiei. (16) 式(7)、(8)满足以下合理假设m: 第二步，对e2求导得 (1)不确定系数△aa、△a2、△aa和△aa关于x e2=x2-元2a=x3-元2 (17) 是连续可微的，关于时间1是分段连续的： 定义Lyapunov函数 (2）)存在正数9：和92使得 = 6=+ (18) 对(18)式求导，并将(17)式代入得 ≤q1+q2‖x‖ 2=-ke+e2(e1+x3-元2a). (19) (9) 选取虚拟控制量x3u=元2a-e1-k2e2,k2是待设 然而，满足上式的9，和92的最小值一般不易 计的正常数. 获得，采用自适应算法获得估计参数1和92，来逼 定义误差 近最小值可以降低系统保守性 e3=x3-x3, 定义自适应估计误差： 并将式2代入式(19)得 1=91-41,2=92-92 V2=-kei-kae +ezes. (20) 本文的设计目标是针对各个子系统利用反步设 计方法设计子控制器使子系统稳定，同时将得到的 第三步，对误差e求导得 Lyapunov函数作为系统的共同Lyapunov函数，由此 e=a +ang(x)u+f 证明整个切换系统在任意切换下的渐近稳定性 (21) 2 多模型切换控制器设计 最后选取各个状态跟踪和自适应估计误差平方 用公共Lyapunov函数方法证明切换系统的稳 和作为Lyapunov函数 定性，前提条件是各个子系统具有相同的Lyapunov =++++0,(2) 函数。反步控制的精髓在于从低阶系统逐步递推构 对上式求导得 造Lyapunov函数，最后推导出控制器.所以利用反 步控制的原理为所有子系统设计构造相同的 V3 =-kei -kzez Lyapunov函数，就能保证切换系统的稳定性. a+ang(x)u+f 本节先采用递推法进行系统模型(7)的自适应 反步控制器设计，并通过Lyapunov稳定性分析的方 e2e3-B9191-B29292- (23) 法，导出自适应律 根据式(23)设计控制器为

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 输出． 由于原式中的物理参数受外界环境影响，大 多具有不确定性，所以式( 6) 中 a1、a2、a3 和 a4 均有 参数摄动． 根据工作状态的变化，并将式( 6) 中参数摄动 项综合考虑，将系统状态方程改写成如下多模型切 换系统: x · 1 = x2， x · 2 = x3， x · 3 = ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + ai4 g( xv ) u + fi { ． ( 7) fi = di + ∑ 3 j = 1 Δaij xj + Δai4 g( xv ) u． ( 8) 式中: i = 1，2，…，m，m 表示多模型的个数; ai1、ai2、 ai3和 ai4 为子系统参数的标称值; Δai1、Δai2、Δai3 和 Δai4为参数摄动，它们是受外部工作环境的变化而 慢时变的，并不是由参数的跳变而引起的; di 为第 i 个子系统的外部扰动． 式( 7) 、( 8) 满足以下合理假设［11］: ( 1) 不确定系数 Δai1、Δai2、Δai3 和 Δai4 关于 x 是连续可微的，关于时间 t 是分段连续的; ( 2) 存在正数 q1 和 q2 使得 | fi | = di + ∑ 3 j = 1 Δaij xj + Δai4 g( xv ) u ≤q1 + q2‖x‖． ( 9) 然而，满足上式的 q1 和 q2 的最小值一般不易 获得，采用自适应算法获得估计参数 q^ 1 和 q^ 2，来逼 近最小值可以降低系统保守性． 定义自适应估计误差: q槇1 = q1 － q^ 1，q槇2 = q2 － q^ 2 ． 本文的设计目标是针对各个子系统利用反步设 计方法设计子控制器使子系统稳定，同时将得到的 Lyapunov 函数作为系统的共同 Lyapunov 函数，由此 证明整个切换系统在任意切换下的渐近稳定性． 2 多模型切换控制器设计 用公共 Lyapunov 函数方法证明切换系统的稳 定性，前提条件是各个子系统具有相同的 Lyapunov 函数． 反步控制的精髓在于从低阶系统逐步递推构 造 Lyapunov 函数，最后推导出控制器． 所以利用反 步控制的原理为所有子系统设计构造相同的 Lyapunov函数，就能保证切换系统的稳定性． 本节先采用递推法进行系统模型( 7) 的自适应 反步控制器设计，并通过 Lyapunov 稳定性分析的方 法，导出自适应律． 第一步，定义位置跟踪误差 e1 = x1 － xd， ( 10) 则 e · 1 = x · 1 － x · d = x2 － x · d ． ( 11) 定义 Lyapunov 函数为 V1 = 1 2 e 2 1 ． ( 12) 对上式求导得 V · 1 = e1 e · 1 = e1 ( x2 － x · d ) ． ( 13) 选取虚拟控制量 x2d = x · d － k1 e1， ( 14) k1 是待设计的正常数． 定义误差 e2 = x2 － x2d = x2 － x · d + k1 e1， ( 15) 将上式代入式( 13) 得 V · 1 = e1 e2 － k1 e 2 1 ． ( 16) 第二步，对 e2 求导得 e · 2 = x · 2 － x · 2d = x3 － x · 2d ． ( 17) 定义 Lyapunov 函数 V2 = 1 2 e 2 1 + 1 2 e 2 2 ． ( 18) 对( 18) 式求导，并将( 17) 式代入得 V · 2 = － k1 e 2 1 + e2 ( e1 + x3 － x · 2d ) ． ( 19) 选取虚拟控制量 x3d = x · 2d － e1 － k2 e2，k2 是待设 计的正常数． 定义误差 e3 = x3 － x3d， 并将式 x · 2d代入式( 19) 得 V · 2 = － k1 e 2 1 － k2 e 2 2 + e2 e3 ． ( 20) 第三步，对误差 e3 求导得 e · 3 = x · 3 － x · 3d = ∑ 3 j = 1 aij xj + ai4 g( xv ) u + fi － x · 3d ． ( 21) 最后选取各个状态跟踪和自适应估计误差平方 和作为 Lyapunov 函数 V3 = 1 2 e 2 1 + 1 2 e 2 2 + 1 2 e 2 3 + 1 2 β1 q槇2 1 + 1 2 β2 q槇2 2，( 22) 对上式求导得 V · 3 = － k1 e 2 1 － k2 e 2 2 + e3 [ ∑ 3 j = 1 aij xj + ai4 g( xv ) u + fi － x · 3d ] + e2 e3 － β1 q槇1 q^ · 1 － β2 q槇2 q^ · 2 ． ( 23) 根据式( 23) 设计控制器为 ·1348·

第11期 邵彭真等：轧机液压伺服系统多模型切换自适应反步控制 ·1349· a4gxu。+ugm(e）+ua],(24）) J1J2和Ja使2：满足正定条件的同时，调节Q:的 u:=- 特征值，使不同子系统具有最佳动态性能，以此来改 ua=e3-t3别+ ∑a (25) 善整个系统工作时的跟踪效果，降低共同Lyapunov 函数方法设计的保守性. uap=91+92‖x‖， (26) 由以上证明可知，各未知参数的自适应误差最 ua Jae J2e2 Jae3. (27) 终将趋向于零，系统的最终状态能够完全跟踪系统 设计的参数自适应律为： 的设定值 会 (28) 3仿真研究及结果 综上所述，通过上述对系统(7)控制器的设计 步骤，可以归纳得到如下结论 为验证方法的有效性，对轧机液压伺服单侧缸 定理1针对系统(7)，对各个子系统取相同的 位置系统采用两个子系统模型进行切换控制仿真， 子系统模型1代表轧辊未接触钢带时的空载状态， 期望轨迹x:和设计参数k,和k2,那么整个切换系 统将具有共同的Lyapunov函数，即为式(23)，设计 子系统模型2代表轧辊接触钢带后带有弹性负载时 控制器(24)~(27)和自适应律(28)，同时选取J1、 的状态. J2和Ja保证矩阵Q:正定即可保证系统闭环渐近 由于系统是在任意切换下稳定的，子系统切换 稳定 律可以任意给定，结合轧机液压系统实际工作情况 证明：将式(25)和(26)代入式(23)中，得到 设计切换律如下： (1)在弹性负载刚度系数和外负载力发生跳变 73=-k1e-k2e+e3(f-(q1+ 之前，负载压力P较小，此时选择控制器山1： izllxll)sgn (e;))-esua-B (2)在弹性负载刚度系数和外负载力发生跳变 B2g2 925-kiei -kzez lesl lf:l-les I (gi 时，负载压力P,也会发生数量级的跳变，此时切换 到控制器2 42‖xI）-e3uh-B91-B2242.(29) 由f1≤9：+92‖x‖，将式(27)和(28)代入上式 因此可以将P作为切换依据.轧机开始工作 后，当P较小时使用控制器山1；当检测到P,有大 可得 变化率时，切换到控制器2· 73≤-ke-k2e+le3l(q1+q2‖x‖- 仿真所用液压伺服单侧缸位置系统标称参数如 1-42|xI）-e3u-B91-B2242= 表1所示. -k,e-k2e+le31(1+2‖xI）-e3ub- 子系统1工作时，对应于空载状态，此时弹性负 载系数k和外负载力F均为零；子系统2工作时， Big q1 -B2q2 92 =-kiei-kze:-esua =-e"Q:e. 对应于带弹性负载时的状态，此时弹性负载系数k (30) 和外负载力F对应于上表中的标称值k。和F:·将 式中， 表1所示参数代入各子系统参数表达式中得到： e=[e1,e2,e3]T, a1=0,a12=-7.8151×10,a13=-1.5×103, k10 a14=4.0683,d1=0:a21=-3.0962×102, a22=-8.6484×10,a23=-1.5×103, Q=0k2 (31) a24=4.0683,d2=-0.2477. J 1 系统的期望输出为xa,元，x4]T=[0.001,0, 22 Ja 0]T,初始状态为1ox0x0]T-[0,0,0]T.系统不 如果设计参数J1J2和J:保证矩阵2：正定，则 确定性参数取为△a,=a×0.05sin(2πt).根据 3≤0，当且仅当即Ie‖=0，V3=0,由共同 式(31)，要保证Q的正定性，k,和k2均应为正数， Lyapunov:理论可知，对于任何激活的子系统当 同时Q,决定了Lyapunov函数V,的衰减速率，Q:的 川e‖≠0时V,都是衰减的，所以闭环系统在平衡点 特征值越大，则eQ:e越大，V3衰减越快.因此在保 (e1,e2e）=(0,0,0)是渐近稳定的.证毕. 证Q:正定的前提下，为获得较好的系统性能，选取 对于Q的设计，针对不同子系统，可以选择 k,=100和k2=80,且分别为子系统1和子系统2

第 11 期 邵彭真等: 轧机液压伺服系统多模型切换自适应反步控制 ui = － 1 ai4 g( xv ) ［uia + uadp sgn( e3 ) + uib］，( 24) uia = e2 － x · 3d + ∑ 3 j = 1 aij xj ， ( 25) uadp = q^ 1 + q^ 2‖x‖， ( 26) uib = Ji1 e1 + Ji2 e2 + Ji3 e3 ． ( 27) 设计的参数自适应律为: q^ · 1 = |e3 | β1 ，q^ · 2 = |e3 |‖x‖ β2 ． ( 28) 综上所述，通过上述对系统( 7) 控制器的设计 步骤，可以归纳得到如下结论． 定理 1 针对系统( 7) ，对各个子系统取相同的 期望轨迹 xd 和设计参数 k1 和 k2，那么整个切换系 统将具有共同的 Lyapunov 函数，即为式( 23) ，设计 控制器( 24) ～ ( 27) 和自适应律( 28) ，同时选取 Ji1、 Ji2和 Ji3 保证矩阵 Qi 正定即可保证系统闭环渐近 稳定． 证明: 将式( 25) 和( 26) 代入式( 23) 中，得到 V · 3 = － k1 e 2 1 － k2 e 2 2 + e3 ( fi － ( q^ 1 + q^ 2‖x‖) sgn( e3 ) ) － e3 uib － β1 q槇1 q^ · 1 － β2 q槇2 q^ · 2≤ － k1 e 2 1 － k2 e 2 2 + |e3 | | fi | － |e3 | ( q^ 1 + q^ 2‖x‖) － e3 uib － β1 q槇1 q^ · 1 － β2 q槇2 q^ · 2 ． ( 29) 由| fi | ≤q1 + q2 ‖x‖，将式( 27) 和( 28) 代入上式 可得 V · 3≤ － k1 e 2 1 － k2 e 2 2 + |e3 | ( q1 + q2‖x‖ － q^ 1 － q^ 2‖x‖) － e3 uib － β1 q槇1 q^ · 1 － β2 q槇2 q^ · 2 = "k1 e 2 1 － k2 e 2 2 + |e3 | ( q槇1 + q槇2‖x‖) － e3 uib － β1 q槇1 q^ · 1 － β2 q槇2 q^ · 2 = － k1 e 2 1 － k2 e 2 2 － e3 uib = － eT Qie． ( 30) 式中， e =［e1，e2，e3］T ， Qi = k1 0 Ji1 2 0 k2 Ji2 2 Ji1 2 Ji2 2 Ji                 3 ． ( 31) 如果设计参数 Ji1、Ji2和 Ji3保证矩阵 Qi 正定，则 V · 3≤ 0，当 且 仅 当 即 ‖ e ‖ = 0，V · 3 = 0，由 共 同 Lyapunov理 论 可 知，对于任何激活的子系统当 ‖e‖≠0时 V · 3 都是衰减的，所以闭环系统在平衡点 ( e1，e2，e3 ) = ( 0，0，0) 是渐近稳定的． 证毕． 对于 Qi 的设计，针对不同子系统 i，可以选择 Ji1、Ji2和 Ji3使 Qi 满足正定条件的同时，调节 Qi 的 特征值，使不同子系统具有最佳动态性能，以此来改 善整个系统工作时的跟踪效果，降低共同 Lyapunov 函数方法设计的保守性． 由以上证明可知，各未知参数的自适应误差最 终将趋向于零，系统的最终状态能够完全跟踪系统 的设定值． 3 仿真研究及结果 为验证方法的有效性，对轧机液压伺服单侧缸 位置系统采用两个子系统模型进行切换控制仿真， 子系统模型 1 代表轧辊未接触钢带时的空载状态， 子系统模型 2 代表轧辊接触钢带后带有弹性负载时 的状态． 由于系统是在任意切换下稳定的，子系统切换 律可以任意给定，结合轧机液压系统实际工作情况 设计切换律如下: ( 1) 在弹性负载刚度系数和外负载力发生跳变 之前，负载压力 PL 较小，此时选择控制器 u1 ; ( 2) 在弹性负载刚度系数和外负载力发生跳变 时，负载压力 PL 也会发生数量级的跳变，此时切换 到控制器 u2 ． 因此可以将 PL 作为切换依据． 轧机开始工作 后，当 PL 较小时使用控制器 u1 ; 当检测到 PL 有大 变化率时，切换到控制器 u2 ． 仿真所用液压伺服单侧缸位置系统标称参数如 表 1 所示． 子系统 1 工作时，对应于空载状态，此时弹性负 载系数 k 和外负载力 FL 均为零; 子系统 2 工作时， 对应于带弹性负载时的状态，此时弹性负载系数 k 和外负载力 FL 对应于上表中的标称值 k0 和 FL ． 将 表 1 所示参数代入各子系统参数表达式中得到: a11 = 0，a12 = － 7. 815 1 × 106 ，a13 = － 1. 5 × 103 ， a14 = 4. 068 3，d1 = 0; a21 = － 3. 096 2 × 102 ， a22 = － 8. 648 4 × 106 ，a23 = － 1. 5 × 103 ， a24 = 4. 068 3，d2 = － 0. 247 7． 系统的期望输出为［xd，x · d，x ·· d］T = ［0. 001，0， 0］T ，初始状态为［x10，x20，x30］T =［0，0，0］T ． 系统不 确定性参数取为 Δaij = aij × 0. 05sin ( 2πt) ． 根 据 式( 31) ，要保证 Qi 的正定性，k1 和 k2 均应为正数， 同时 Qi 决定了 Lyapunov 函数 V3 的衰减速率，Qi 的 特征值越大，则 eT Qie 越大，V3 衰减越快． 因此在保 证 Qi 正定的前提下，为获得较好的系统性能，选取 k1 = 100 和 k2 = 80，且分别为子系统 1 和子系统 2 ·1349·

·1350· 北京科技大学学报 第34卷 表1电液伺服系统主要参数标称值 Table 1 Main nominal parameters of the electro-hydraulic servo system 伺服放大器增益，K,/ 伺服阀增益，K/ 弹性负载刚度，ko/ 黏性阻尼系数，B。/ 外负载力， 油液密度，p/活塞面积， (AV-) (mA1) (GN.m-1) (MN-s'm-1) FL/(MN) (kg'm-3) 4n/m2 0.0125 0.01 1.25 2.25 1 850 0.1256 伺服阀面积 体积弹性模量， 油腔体积， 外泄漏系数，C,/ 油源压力， 总质量， 流量系数，Ca 梯度，w/m B./MPa V/(10-3m3) (10-6m5-N-ls) P,/MPa M/kg 0.025 700 3.768 5.0 24 1500 0.61 选取 J11=20,J12=20,J13=50; 5 J21=500,J2=240,J23=1500. 常规反步控制 多模型切换反步控制 将以上参数代入式(26)~(29)中即可得到子 系统控制器山1和42· 2 针对轧机液压伺服系统分别采用常规自适应反 步控制和本文设计的多模型切换控制器做了仿真研 0 究，结果如图2和图3所示.图中虚线为采用常规 0 0.2 0.4 0.6 0.81.0 自适应反步控制仿真曲线，实线为采用本文控制方 法得到的仿真曲线。通过对比可以看出：利用常规 图3控制器输出仿真曲线 自适应反步控制虽然可以保证系统稳定，但是由于 Fig.3 Simulation curves of the output of controllers 参数自适应律不能快速跟踪参数跳变，导致调整时 间较长，并且控制输入幅值较大；采用多模型切换自 2.5 适应反步控制，系统参数跳变对系统性能影响较小， 2.0 控制器保证了快速位置跟踪，并且控制输入在允许 范围内.图4是自适应参数4，和42的仿真曲线，它 1.5 们最后都稳定在一个固定值.从图5可以看出负载 1.0 压力在切换时刻会有较大跳变，证明以此作为切换 信号是可行的 0.5 1.2 0.2 0.4 0.6 0.8 10 lis 1.0 图4自适应参数估计仿真曲线 0.8 Fig.4 Simulation curves of adaptive parameter estimate values 0.6 常规反步控制 0.4 一多模型切换反步控制 0 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 tis 6 图2活塞位移仿真曲线 Fig.2 Simulation curves of piston position 4 仿真结果可以看出本文设计的多模型切换控制 器可以使系统在有限时间内到达给定位置，动态性 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 能较好，稳态精度较高，对轧机液压伺服系统工作过 程中模型参数的跳变和子系统工作时参数的慢时变 图5负载压力仿真曲线 均具有鲁棒性 Fig.5 Simulation curve of load pressure

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 表 1 电液伺服系统主要参数标称值 Table 1 Main nominal parameters of the electro-hydraulic servo system 伺服放大器增益，Kp / ( A·V － 1 ) 伺服阀增益，Ksv / ( m·A － 1 ) 弹性负载刚度，k0 / ( GN·m － 1 ) 黏性阻尼系数，Bp / ( MN·s·m － 1 ) 外负载力， FL0 /( MN) 油液密度，ρ / ( kg·m － 3 ) 活塞面积， Ap /m2 0. 012 5 0. 01 1. 25 2. 25 1 850 0. 125 6 伺服阀面积 梯度，w /m 体积弹性模量， βe /MPa 油腔体积， V /( 10 － 3 m3 ) 外泄漏系数，Ct / ( 10 － 16 m5 ·N － 1 ·s － 1 ) 油源压力， Ps /MPa 总质量， M/kg 流量系数，Cd 0. 025 700 3. 768 5. 0 24 1 500 0. 61 选取 J11 = 20，J12 = 20，J13 = 50; J21 = 500，J22 = 240，J23 = 1 500． 将以上参数代入式( 26) ～ ( 29) 中即可得到子 系统控制器 u1 和 u2 ． 针对轧机液压伺服系统分别采用常规自适应反 步控制和本文设计的多模型切换控制器做了仿真研 究，结果如图 2 和图 3 所示． 图中虚线为采用常规 自适应反步控制仿真曲线，实线为采用本文控制方 法得到的仿真曲线． 通过对比可以看出: 利用常规 自适应反步控制虽然可以保证系统稳定，但是由于 参数自适应律不能快速跟踪参数跳变，导致调整时 间较长，并且控制输入幅值较大; 采用多模型切换自 适应反步控制，系统参数跳变对系统性能影响较小， 控制器保证了快速位置跟踪，并且控制输入在允许 范围内． 图 4 是自适应参数 q^ 1 和 q^ 2 的仿真曲线，它 们最后都稳定在一个固定值． 从图 5 可以看出负载 压力在切换时刻会有较大跳变，证明以此作为切换 信号是可行的． 图 2 活塞位移仿真曲线 Fig． 2 Simulation curves of piston position 仿真结果可以看出本文设计的多模型切换控制 器可以使系统在有限时间内到达给定位置，动态性 能较好，稳态精度较高，对轧机液压伺服系统工作过 程中模型参数的跳变和子系统工作时参数的慢时变 均具有鲁棒性． 图 3 控制器输出仿真曲线 Fig． 3 Simulation curves of the output of controllers 图 4 自适应参数估计仿真曲线 Fig． 4 Simulation curves of adaptive parameter estimate values 图 5 负载压力仿真曲线 Fig． 5 Simulation curve of load pressure ·1350·