模型更新的两级自适应跟踪方法

D0:10.13374/j.1ssn1001053x.1996.s1.007 第18卷增刊 北京科技大学学报 Vol.18 1992 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.199% 模型更新的两级自适应跟踪方法 潘永泉 北京科技大学管理学院，北京100083 摘要讨论了经济管理领域中经常涉及的动态数学模型的更新问题，提出了一种模型更新的两级 自适应跟踪方法.当系统环境发生突然变化时，这种方法可以及时修改模型参数，并使模型具有 较高的精度。 关键词数学模型，参数估计，自适应跟踪 中图分类号F224.9 大量的经济管理问题由于系统复杂和影响因素众多而难以通过经济原理建立系统的数学 模型.在很多情况下建立系统模型，进而实现对某些经济变量的预测或调控，往往采用统计 的方法.作为动态经济系统，其模型常以微分方程离散化而得到相应的差分方程形式.这时建 立系统动态数学模型的关键在于确定差分方程中的各参数习以往采用的方法通常是利用统计 方法中的递推最小二乘法估计模型参数，但当系统外部环境或内部条件发生突然变化时，这 种方法很难及时修改模型参数，从而造成模型误差明显增加，本文提出的模型更新的两级自 适应跟踪方法，可以在系统环境突变时及时更新模型，能给出较递推最小二乘等方法更好的 参数估计结果. 1两级自适应跟踪方法 设某管理系统的动态过程可用以下n阶线性差分方程模型描述 J’x+a1yk-+…+a从k-m=bnU+b,U-1+…+bnU-m (1) 其中，U,分别表示k时期的日标经济变量和影响目标变量的经济控制变量，由于经济变量 可能有多种，因此y:与U:可以是向量.为分析问题方便，本文考虑变量为数量的情况，当变 量为向量时可同样分析处理. 以二阶差分方程为例，假设原始模型为 y.=ay-1+by1-2+cU-1+dU-2+Ex,k=3.4,,n-I (2) 其中y。、y,为给定的初始值，{a是零均值，方差为常数的白噪声. 设系统在环境突然变化下时的模型改变为 =a*八-1十b*-,+c*Uk-,十d*U:-,+e*,k=n,n+1.… (3) 通常，噪声源与原始状况下相同，因此噪声，*应具有与原模型噪声相同的分布. 在新状态下取4个采样，得到 1995-10-09收稿第一作者男38岁副救授博七

第 卷 增 刊 翅翔 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 以 功 从 模型更新 的两级 自适应跟踪方法 潘 永 泉 北 京科技大学 管理 学 院 ， 北 京 〕 洲〕 摘要 讨论 了经济管理 领域 中经 常涉及 的动态数学模型 的更新 问题 ， 提 出了一 种模型更新的两级 自适应跟踪方法 当系统环境发生 突然变化 时 ， 这种方法 可 以 及 时修 改 模 型 参 数 ， 并使模 型 具 有 较高 的精度 关键词 数学模型 ， 参数估计 ， 自适应跟 踪 中图分类 号 大量 的经济 管理 问题 由于 系 统复 杂和影 响 因素众 多而 难 以 通 过经济 原理建立 系统 的数 学 模 型 在 很 多情 况下建 立 系统模 型 ， 进而 实现 对某 些 经 济 变 量 的预 测 或调 控 ， 往 往 采 用 统 计 的方 法 作 为动态经 济系 统 ， 其模 型常 以 微分方程 离散化而得到相应 的差 分 方 程 形 式 这 时建 立 系统动态 数 学模 型 的关 键在于 确定 差分方程 中的各参数 ’ ， 以 往采用 的方法通常是利用统计 方 法 中的递 推最小 二乘法估计模型 参数 但 当系统外部环境或 内部条 件 发生 突 然 变 化 时 ， 这 种 方法 很难及 时修改模 型参数 ， 从而 造成模 型误差 明显增加 本文提 出 的 模 型 更 新 的 两 级 自 适 应跟 踪 方 法 ， 可 以 在 系统环境 突变时 及 时更新模 型 ， 能给 出较递 推最 小 二 乘 等 方 法 更好 的 参数估计结果 两级 自适应跟踪方法 设某 管理 系 统 的动态过程 可 用 以 下 阶线性 差分 方程 模 型描述 、 一 … 气 人 一 。 。 认 、 认 一 十 … 瓦 、 一 。 其 中 夕 ， 认分别 表示 时期 的 目标经济变量 和 影 响 目标 变量 的经 济控制 变量 ， 由于 经 济 变 量 可 能有 多种 ， 因此 与 、 可 以 是 向量 为分析 问题方便 ， 本文考虑变量 为数 量 的情 况 ， 当变 量 为 向量 时可 同样分 析处理 以 二 阶差 分方 程 为例 ， 假设 原始模 型 为 〕 ， 一 夕、 一 、 一 认 、 ， ， ， … ， 一 其 中 夕。 ， 为 给定 的初 始值 ， 、 是零 均值 ， 方 一 差 为常数 护 的 自噪声 设 系统在 环境 突然 变 化下 时的模 型改 变为 ，、 、 ， ， ， … 通 常 ， 噪 声 源 与原 始 状 况 下 相 同 ， 因此 噪 声 、 应 具 有 与 原 模 型 噪 声 相 同 的 分 布 在 新 状 态 下 取 个 采 样 ， 得 到 如 一 一 的 收稿 第 一 作 者 男 岁 副教 授 博士 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1996．s1．007

Vol.18 潘永泉：模型更新的两级白适应跟踪方法 27· Y。=A0*+e* (4) 其中，0*=(a*,b*,c*,d*); Y。=(0N,N+N+w+; yN-I YN-2 UN-1 UN-27 YN A,= N-1 UN UN-1 Eo=(N EN+I EN+2 EN+3). N+I JN UN Ux Lw+:八1 UK+2 UN+1 取原模型参数0。=(a,b.c,d)作为新模型参数的初始估计值.由方程Y。=A,。可以得到 参数0的“实测值“0。取M作为增益矩阵，0≤M≤1.M是非负对称矩阵（可取M≤KI 0≤K≤1，I为4阶单位矩阵).参数0的改进值为0，=0。+M0。-0=M0。+(1-M)9 当下一个采样得到后，有： Y,=A,0*+G (5) 其中， Y=x+小4+，yN+): yN-I Ux Ux-1 YN-1 YN Ux UN A= ； ci=(eN+Ew+,-nw+· yN+2 SN-I UN+:UN+I LyYN+:UN+3 Ux+2 由方程Y,=A,0,可以得到参数0，的“实测值”0，.参数0，的改进值为 02=0,+M0,-0,)=M0,+1-M0,=M0,+(I-MM0。+(1-M)0 依次进行，当第N+m+3个采样得到后，有 Y=A 0'+em (6) 其中，Yy=(+m,N+m+小Ntm+N+m+: 「N+mN+m-:UN+m-U、+m-: 4,= Yxtm Nm-I UNtm Uvtm-1 +amU、mlUm C=低+，WmnE+m不tn+. 从m:m UNm+:Uxm 由方程Ym=A.0m,可得到参数0的“实测值“0.·0m-的改进值为 0n=0n-1+M0n-1-0n1)=M0m-+U-MM0。-++-M-M0+-Mr0。 由于0，的数学期望 E0.=EAY,=EA'[A,0'+e7]=E0°+EAE=0',k=0,1.,m (7) 因此 E0m=M0'+(I-M)M0'+…+(1-Myr-'M0'+(I-MY0。= {M+(I-M)1+·+(I-Mr-M+-M0'+I-M0。-0)= {M[-(U-M)】-(-Myr]+(I-MY0°+(I-Mr(0。-6)= 0°+(-1y(0。-0) (8) 因为0≤I-M≤L,取M=kI(0<k<1).则(-M)m→0(m∞)所以 E0m→0'(m→∞) (9)

〔〕 潘 永 泉 模 型 更 新 的 两 级 自适 应 跟 踪 方 法 其 中 ， ， ， ， 二 “ 。 夕 十 【 ， ，、 ， 夕、 丫 一「 一 【 夕 一 加 一 ，入 少 ’ ‘ 个 】 一 一 一 附 一 呱 ￡ 一， ￡ ， 。 又 广 ﹃ 取 原模型参数 。 ， ， ， 丫作为新模型参数的初始估 计 值 由方 程 。 。 可 以 得 到 参数 口。的 “ 实 测 值 “ 。 取 作 为 增 益 矩 阵 ， 毛 簇 是 非 负 对 称 矩 阵 可 取 毛 ， 延 簇 ， 为 阶单位矩阵 参数 。 的改进值为 ， 。 域 。 一 一 口。 当下 一 个采样得 到 后 ， 有 一 十 成 其 中 ， 一 妙 、 ， 介 二 ， 介 ， 为 丫 、 一 、 、 一 、 、 入 十 一 、 、 、 、 、 可 以 得 到 参数 口 ，」。 丸 ， ￡ ， 。丸 ， 。又 十 护 十 介儿为 一 由方程 ， 的 ” 实测 值 ” ， 参数 ， 的改 进值 为 口 、 一 口、 ， 一 一 对 。 一 乙 。 依次进 行 ， 当第 。 个采样得到后 ， 有 ， 。 ‘ 其 中 ， 一 妙 、 。 ， 〕 、 ， ， 〕 ，、 十 ， 、 ， 、 。 广 夕刀 十 。 ， ， 一 十 阴 夕入 十 。 ， 〕 ， 。 一 ，加 十 。 一 瓜 十 。 ’万 阴 十 。 一 。 厉 十 用 、 浑 一 十 。 十 ， 戊 、 ， 卫 一 腻 十 。 』， ￡万 ， 一， ￡ 一，』 ， 成 十 。 叭 厂 刁 一 …… ，︸ 由方 程 ，， ， ， 月 。 ， 对 可 得 到 参数 ， 的 “ 实测 值 “ ， 一 。 口 。 ，一 一 ， ， 的改进值 为 … 一 广 一 ’ 。 一 广 。 由于 、 的数学期望 二 厂 ’ 、 一 万 ’ ’ 」 口 ‘ 万 ‘ 一 口 ’ ， 一 因此 ，。 对 ‘ 一 ’ 一 一 丫 ’ 一 ‘ ‘ 一 ’ 一 协了十 … 一 一 ’ 一 广 ‘ 一 人了丫 口。 一 口 ‘ 卜 一 一 对 ’ 一 一 了 ” 一 ’ ’ 一 广 旧 。 一 口 ’ ‘ 一 护” 。 一 ’ 因 为 簇 一 毛，取 一 人 ， 则 一 ’ ， 所 以 。 口 ‘ 。 一 ‘

·28· 北京科技大学学报 1996年 以上证明了当m→∞，0m是0”的渐近无偏估计. 方差阵D(0m)=D(M0m-)+D[I-MM0m-+·+D[(I-Mm-'M0d+ Cov(I-My MO-MyMO (10) 取M=0.9L,第2项和以后各项可忽略，则 D(0n)≈ME0m-1-θ)(0m-1-0M=ME(Am,Ym-1-8A0Ym-1-门M (11) 由 AY-1=Am-1Am-B+cn-=0+Am-em-1代人(1I)式，有 D(0)MAm E(6-1Am)MT (12) 又因 00 01 0 2.0 0 EG-6)= M=KI 0 020 00σ 故D(0.)(Am-Am-)1Ko2,P=K(4-Am-). 以上为模型更新的两级自适应跟踪方法的第一级计算步骤.经过一级跟踪，得到系统在新 的状态下的模型参数θ的初步估计值0·二级跟踪用通常递推最小二乘法继续对0进行估计， 令。=m,P,=K(A-Am-)',经过若干步递推计算即可得到0*的较精确的估计结果. 2仿真计算 为了检验本文提出的方法，给出数值仿真算例如下： 假设系统在原状况下模型为 =0.4y-1-0.305y-+2.1U-1-1.802U-+cg 环境突然变化后，新状况下模型为 y=0.8y-1+0.385yk-1-3.2U4-1+0.36U-+ex 即0。=(a,b,c,d)=(0.4,-0.305.2.l,-1.802)、0'=(a,b.c.dy=(0.8,0.385,-3.2.0.36) 其中{cA}~N0,o)为正态白噪声（σ=0.01）. 计算中取{U,}~0.I),m=3,经一级跟踪计算后，得新模型参数0的初步估计0，=(0.785， 0.336,-3.1,0.369)可以看出，一级跟踪计算结果已较接近模型真实参数0`.再由二级跟踪计 算，经17步递推计算后，得0的估计值 0'=(a,b^,c,d)T=(0.809.0.373,-3.19,0.389) 这个结果很接近实际参数值，并且开始趋于稳定， 本文应用两级自适应跟踪方法同样验证了三阶以上的差分方程模型的更新问题，证明这 种方法同样是有效的，参数估计的精度高于通常的参数估计算法.两级跟踪当中做一级跟踪 计算时，m取m=2或m=3一般即可得到较精确的结果，因此，整个两级跟踪的递推次数也 较少

北 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 以上 证 明了 当 。 ， ， 是 犷 的渐 近 无偏估计 方差 阵 ， ， 一 、 一 川 ， 一 … 一 一 ’ 口 了、 、户 了门心且 ‘ 、、 艺 了一 材 ‘ 。 一 一 ， 一 衅 。 一 ，一 〕 取 大第 项 和 以 后 各项 可 忽 略 ， 则 口 ， 少、 材 。 ，一 口 ’ 。 一 ’ 丫耐 月 暴 ，珠 一 、 一 口汉 彩 ，殊 一犷力树 由 式上 ， 一 式二日 。 口 ’ 。 二 一 口 ’ 月石上式 ， 代人 式 ， 有 二 彩 【 戈 一 ， 粼 暴 丫 又 因 ︸， ，︸ 戈 一 ，戈工 ， 二 故 ， 二 二 ， 一 ’ ， 二一 ， 一 〕 一 ‘ 以 上 为模 型 更 新 的两 级 自适应跟 踪方 法 的第一 级计算步骤 经过一级跟 踪 ， 得 到 系统在新 的状态下 的模型参数 ’ 的初步估计值 ， 二级跟踪用通常递推最小二乘法继续 对 ’进 行估计 令 。 二 口 。 ， 二 一 ， 一 ， 一 ’， 经过若 干 步 递 推 计 算 即 可 得 到 口 的 较 精 确 的估计 结果 仿真计算 为 了检验 本 文提 出 的方 法 ， 给 出数值 仿真算例如下 假 设 系 统在 原状 况 下模 型 为 匆 一 一 、 一 、 一 ，一 、 一 。 、 环境 突然 变化后 ， 新 状况下模 型 为 ， 、 一 ， 匆 一 一 认 一 、 一 、 即 。 ， ， ， ， 一 ， ， 一 ， ’ ’ ， ’ ， ’ ， ’ 少 ， ， 一 ， 其 中 。 卜 ， 为正 态 白噪声 。 计算 中取 、 一 ， ， ， 经一级跟踪计算后 ， 得新模型参数 ‘ 的初步估计 。 ， ， 一 ， 尹可 以看 出 ， 一 级跟 踪计算结果 已 较接近模型真实参数 ‘ 再 由二 级 跟 踪 计 算 ， 经 步 递 推计算 后 ， 得 ’ 的估计 值 ’ ’ ， ’ ， ‘ ， ‘ 梦 ， ， 一 ， 广 这个结果 很接 近 实 际 参数值 ， 并且 开始 趋于 稳定 本文应 用 两级 自适 应跟 踪方 法 同样验证 了三 阶以上 的差 分方 程 模 型 的 更 新 问题 ， 证 明 这 种方 法 同样 是有效 的 ， 参数估计 的精度 高于 通 常 的 参数 估计 算 法 两 级 跟 踪 当 中做 一 级 跟 踪 计算 时 ， 取 或 。 一般 即可 得到较精确 的结 果 ， 因此 ， 整 个 两 级 跟 踪 的 递 推 次 数 也 较 少

Vol.18 潘永泉：模型更新的两级自适应跟踪方法 ·29· 3结论 本文提出的模型更新的两级自适应跟踪的计算方法，可以解决系统运行环境突然改变时 的模型参数修改问题.仿真计算结果表明，这种方法参数估计的精度明显高于通常的递推最 小二乘法等系统辨识方法，由于经济管理问题中经常遇到经济政策、市场价格等突然变化 的情况，因此，这种方法可应用于经济管理中环境变化后新模型的快速建立，并能在经济变 量预测中及时反映变量变化过程，从而解决通常预测方法在经济市场环境急剧变化下预测精 度不高的问题. 参考文献 1 Liung L.Soderstrom T.Theory and Practice of Recursive Identification.Cambridge.Massachusetts:The MIT press.1983 2 Liung L.System Identification:Theory for the User.Englewood Cliffs.NJ Prentice-Hall.1987 Two-step Adaptive Follow-up Method for Model Renewal Pan Yongquan School of Management USTB.Beijing 100083.PRC ABSTRACT Renewal of system dynamic model which is usually conisidered in econo- my and management field is discussed.A two-step adaptive follow-up method for model renewal is presented.The method can modify model parameters in time and is of high accuracy while system environment changes rapidly. KEYWORDS mathematical model.parameter estimation.adaptive follow-up

潘 永 泉 模 型 更 新 的 两 级 自适 应 跟 踪 方 法 结 论 本 文提 出的模 型 更新 的两级 自适 应跟 踪 的计算方法 ， 可 以 解 决 系 统 运 行 环 境 突然 改 变 时 的模 型 参数修 改 问题 仿 真计算 结果表 明 ， 这种 方 法 参 数 估 计 的 精 度 明显 高 于 通 常 的 递 推 最 小二乘法等系 统辨识方 法 由于 经济 管理 问题 中经 常遇 到 经 济 政 策 、 市 场 价 格 等 突 然 变 化 的情 况 ， 因此 ， 这 种方 法 可 应 用 于 经济 管理 中环境 变化后新模 型 的快 速 建 立 ， 并 能 在 经 济 变 量 预测 中及 时反 映变量 变化过 程 ， 从而 解 决通 常预测 方法在经济市 场环 境 急 剧 变 化 下 预 测 精 度 不 高 的 问题 参考文献 ， 厂 侧〕 明 一 以加 川 ， 乏璐 巧毛 已粥 ， 匕山 ” 币 。 〕卿 训沉 ， 阮 众 一 ， 一 一 口 脱 ” 叫之褚 ， 一 盯 器 而 岱 助 讼 一 一 溯份 、 、 汾 】粥 份 ， 一