(n)=x(n+m), R(n) 即:将x(n)以N为周期进行周期延拓得到(n)=x(n),再将(n)左移m位得到 (n+m),最后取x(n+m)的主值序列就得到有限长序列x(n)的循环移位序列 y(n)。即:循环移位的实质是将x(n)左移m位,而移出主区间(0≤n≤N-1的 房列值又依次从右侧进入主区周。 2、时域循环移位定理 设x(m)是长度为N的有限长序列,y(m)为x(n)的循环移位,即 y(n)=x((n+m),RN (n) ( k)=DFTLy(n)]=W x(k) 其中X(k)=DF7[x(n)0≤ksN-1 3、频域循环移位定理证明 若 X(k)=DFT[x(n).OsksN (k)=X(k+1)R(k) y(n)=IDFTLY(k)=Wx(n) (2.4) 32.3循环卷积性质 1、循环卷积 有限长序列x(m)和x(n),长度分别为N和M2,N=max[N,N2]。x(n)和 x2()的N点DFT分别为
N N y n x n m R n (2.2) 即：将 x n 以 N 为周期进行周期延拓得到 N x n x n ，再将 x n 左移 m 位得到 x n m ，最后取 x n m 的主值序列就得到有限长序列 x n 的循环移位序列 y n 。即：循环移位的实质是将 x n 左移 m 位，而移出主治区间 0 1 n N 的 序列值又依次从右侧进入主治区间。 2、时域循环移位定理 设 x n 是长度为 N 的有限长序列， y n 为 x n 的循环移位，即 N N y n x n m R n 则 kn Y k DFT y n W X k N (2.3) 其中 X k DFT x n k N ,0 1 。 3、频域循环移位定理证明 若 X k DFT x n k N ,0 1 N N Y k X k l R k 则 nl N y n IDFT Y k W x n (2.4) 3.2.3 循环卷积性质 1、循环卷积 有限长序列 x n 1 和 x n 2 ，长度分别为 N1 和 N2 ， N N N max , 1 2 。 x n 1 和 x n 2 的 N 点 DFT 分别为：
X,(k)=DFT[x(n) X2(k)=DFT[=(n) 如果 X(k)=X1(k)K2(k) 则 x(n)=IDFTLX(k)=2*(m)*2(n-m)) RN(n) 或 x(n)=IDFTLX()=2x2(m)x(n-m)),RN(n) 一般称(2.5)式为所表示的运算为x(n)和x2(m)的循环卷积。 2、循环卷积的公式证明 对(2.5)式两边进行DFT,则有 X(k)=DFTLx(n)] =∑x(m)∑x(m-m)W如 令n-m=n,则有 y (k)=∑x(m)∑x1(n) ∑x(m)x(m 因为上式中x2(m)环是以N为周期的,所以对其在任一个周期商丘和的结果不 变。因此
X k DFT x n 1 1 X k DFT x n 2 2 如果 X k X k X k 1 2 则 1 1 2 0 N N N m x n IDFT X k x m x n m R n (2.5) 或 1 2 1 0 N N N m x n IDFT X k x m x n m R n 一般称(2.5)式为所表示的运算为 x n 1 和 x n 2 的循环卷积。 2、循环卷积的公式证明 对(2.5)式两边进行 DFT，则有 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 0 0 N N kn N N N n m N N kn N N m n X k DFT x n x m x n m R n W x m x n m W 令 n m n ，则有 1 1 1 2 0 1 1 1 2 0 N N m k n m N m n m N N N m kn kn N N m n m N X k x m x n W x m W x n W 因为上式中 2 kn N N x n W 是以 N 为周期的，所以对其在任一个周期商丘和的结果不 变。因此
X(k)=∑x1(m)W∑x2(mW=x1(k)X2(k),0≤k≤N 3、循环卷积的实现 step1:先将x(m)周期化,形成x(m),再反转形成x2(-m),并取主 值序列x2(-m)R(m) step2:对x1(m)的循环反转序列循环移位n,形成x(n-m)R(m),当 n=0,1,…,N1时,分别将x(m)与x(n-m)、R(m)相乘,并对m在0-(N-1) 区间商求和,便得。 4、循环卷积的表示 x(n)=2x,(m)x2(n-m)),R(n)=x(n)@x2(n) 5、循环卷积定理 有限长序列x(m)和x(m)的长度分别为N和N,N=max[N,N],x(m)和 x2(n)的N点循环卷积为 x(n)=x, (n)8x2(n)=2*(m)*(n-m)),RN(n) 则x(m)的N点DFT为 X(k)=DFT[x(n)I=X,(k)X2(k) (2.7) 其中, X,()=DFT[,(n) X2(k)=DFTLx2(n) 6、时域循环卷积定理 若
1 1 1 2 1 2 0 0 , 0 1 N N kn kn N N m n X k x m W x n W X k X k k N 3、循环卷积的实现 Step 1: 先将 x m 2 周期化，形成 2 N x m ，再反转形成 2 N x m ，并取主 值序列 2 N N x m R m 。 Step 2: 对 x m 2 的循环反转序列循环移位 n，形成 2 N N x n m R m ，当 n=0,1,„,N-1 时，分别将 x m1 与 2 N N x n m R m 相乘，并对 m 在 0 1 N 区间商求和，便得。 4、循环卷积的表示 1 1 2 1 2 0 N N N m x n x m x n m R n x n x n 5、循环卷积定理 有限长序列 x n 1 和 x n 2 的长度分别为 N1和 N2， N N N max , 1 2 ， x n 1 和 x n 2 的 N 点循环卷积为 1 1 2 1 2 0 N N N m x n x n x n x m x n m R n (2.6) 则 x n 的 N 点 DFT 为 1 2 N X k DFT x n X k X k (2.7) 其中， 1 1 2 2 N N X k DFT x n X k DFT x n 6、时域循环卷积定理 若
x(n)=x1(n)x2(m) 则 x(k)=DFTLx(n)=yX, (k)ox2 (k) (2.8) ∑X1(0)x2(k-1)、R(k) 或 x(k)=DFT[x(n)=xX2(k)ox,(k) ∑x:()x(k-D)R( 其中 X,()=DFTLx,(n)] x2()=DFT[x2(n)I 0≤k≤N-1 3.24复共轭序列的DFT 设x(n)是x(n)的复共轭序列,长度为N X(k)=DFTx(n) 则 DFTIx'(n)=X(N-k 0≤k≤N-1 且 X(N)=X(0 3.25DFT的共轭对称性 1、有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 分别用x(n)和x(n)分别表示有限长共对称序列和热反对称序烈,则有 如下定义式
x n x n x n 1 2 则 1 2 1 1 2 0 1 1 N N N l X k DFT x n X k X k N X l X k l R k N (2.8) 或 2 1 1 2 1 0 1 1 N N N l X k DFT x n X k X k N X l X k l R k N 其中 1 1 2 2 , 0 1 X k DFT x n k N X k DFT x n 3.2.4 复共轭序列的 DFT 设 * x n 是 x n 的复共轭序列，长度为 N， X k DFT x n 则 * * DFT x n X N k , 0 k N-1 且 X N X 0 3.2.5 DFT 的共轭对称性 1、有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 分别用 x n ep 和 x n op 分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则有 如下定义式：
xn/(n)=xn(N-n),0≤n≤N (2.9) n)=xm(N-n),0≤n≤N 当N为偶数时,将上式中的n换成N/2-n,可得 0<n N n n 可以证明: 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样,任何有限长序 列x(n)也都可以表示成其共轭对称序列和共轭反对称序列之和,即 (n)=x2(m)+xn(m,0≤n≤N-1 将上式中的n换成N-n,并取复共轭,再将(2.9和(2.10)式代入,得到 x(N 将(2.11)是减去(2.12),可得: (n)=[x(m)+x(-n)] 2、DFT的共轭对称性 (1)若x(n)=x,(m)+fx(n) 其中 x(n)=Re[x(n)]=[x(m)+x(n)] x()=m[x(n)]=[x(n)-x(n) 两边同时取DFT,可得
* ep ep x n x N n ， ０ n N-1 (2.9) * , 0 1 op op x n x N n n N (2.10) 当 N 为偶数时，将上式中的 n 换成 N/2-n，可得： * , 0 1 2 2 2 ep ep N N N x n x n n * , 0 1 2 2 2 op op N N N x n x n n 可以证明： 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何有限长序 列 x n 也都可以表示成其共轭对称序列和共轭反对称序列之和，即 , 0 1 ep op x n x n x n n N (2.11) 将上式中的 n 换成 N-n，并取复共轭，再将(2.9)和(2.10)式代入，得到： * * * ep op ep op x N n x N n x N n x n x n (2.12) 将(2.11)是减去(2.12)，可得： 1 * 2 ep x n x n x N n (2.13) 1 * 2 op x n x n x N n (2.14) 2、DFT 的共轭对称性 （1）若 x n x n jx n r i 其中 1 * Re 2 r x n x n x n x n 1 * Im 2 i jx n j x n x n x n 两边同时取 DFT，可得