延安大学：《数字信号处理》课程教学讲稿（DigitalSignal Processing，DSP）第2章 时域离散信号和系统的频域分析

第二章时域离散信号和系统的频域分析 2.1引言 信号和系统的分析方法有时域分析法和频率分析法。对于时域连续信号, 系统用微分方程描述,为了在频域进行分析,一般要用 Laplace变换或 Fourier变换将时间与函数转换到频率域。对于时域离散信号,信号要用序列 表示,系统则用差分方程描述,频域分析则采用Z变换或 Fourier变换实现。 2.2序列的 Fourier变换的定义及性质 1、序列傅立叶变换的定义 定义 (e")=∑x 为序列x(m)的傅立叶变换,用FT表示。 2、傅立变换的条件 FT成立的充要条件是序列x(m)绝对可和,即 、傅立叶反变换 x(n) =2 x(elo)e/mdo 傅里叶反变换用IFT表示。 4、例题 例2.2.1设x(n)=R3(m),求x(n)的FT

第二章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言 信号和系统的分析方法有时域分析法和频率分析法。对于时域连续信号， 系统用微分方程描述，为了在频域进行分析，一般要用 Laplace 变换或 Fourier 变换将时间与函数转换到频率域。对于时域离散信号，信号要用序列 表示，系统则用差分方程描述，频域分析则采用 Z 变换或 Fourier 变换实现。 2.2 序列的 Fourier 变换的定义及性质 1、序列傅立叶变换的定义 定义 ( ) ( ) j j n n X e x n e    − =− =  (2.1) 为序列 x n( ) 的傅立叶变换，用 FT 表示。 2、傅立变换的条件 FT 成立的充要条件是序列 x n( ) 绝对可和，即 ( ) n x n  =−    (2.2) 3、傅立叶反变换 ( ) ( ) 1 2 j j n x n X e e d       − =  (2.3) 傅里叶反变换用 IFT 表示。 4、例题 例 2.2.1 设 x n R n ( ) = N ( ) ，求 x n( ) 的 FT

5、序列傅立叶变换的性质 (1)FT的周期性 由定义(2.2.1)式可知,序列x(n)的傅立叶变换为 x(e")=∑x(n)em 由于复指数函数具有周期性,所以有 (e)=∑x(n)eo+2xM,M为整数 即序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数,周期是2x。 由于序列的傅立叶变换具有周期性,且周期为2丌,所以在ω=0和ω=2πM 附近的频谱分布应是相同的,在ω=0,±2π,…点上表示x(n)信号的直流分 量,离开这些点越远,其频率越高,最高频率应是ω=(2M+1)π。 Note:由于FT是以2π为周期的周期函数,一般只分析-x~+丌之间或 0~2范围的FT就够了。 (2)线性性 设X1(e)=F[x1(m)],x2(e")=FT[x2(m)],则 FTLax, (n)+bx2(n)]=ar,(e)+bx,(e) 式中a,b为常数。 (3)时移与频移 设x(e")=F[x(m),那么 (228) FTLe wx(n)]=x(e/le-b) (229) (4)FT的对称性 ●共轭对称 设序列x(n)满足下式 (n)=x(-n)

5、序列傅立叶变换的性质 （1）FT 的周期性 由定义(2.2.1)式可知，序列 x(n)的傅立叶变换为 ( ) ( ) j j n n X e x n e    − =− =  由于复指数函数具有周期性，所以有 ( 2 ) ( ) ( ) , j j M n n X e x n e     − + =− =  M 为整数 (2.4) 即序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数， 周期是 2 。 由于序列的傅立叶变换具有周期性，且周期为 2 ，所以在ω=0 和ω= 2πM 附近的频谱分布应是相同的，在ω=0，±2π，…点上表示 x(n)信号的直流分 量，离开这些点越远，其频率越高，最高频率应是ω=(2M+1)π。 Note：由于 FT 是以 2π为周期的周期函数，一般只分析 − +   ~ 之间或 0 ~ 2 范围的 FT 就够了。 （2）线性性 设 1 1 2 2 ( ) [ ( )], ( ) [ ( )] j j X e FT x n X e FT x n   = = ，则 1 2 1 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) j j FT ax n bx n aX e bX e   + = + (2.5) 式中 a,b 为常数。 （3）时移与频移 设 ( ) ( ) j X e FT x n  =     , 那么 ( ) ( ) 0 0 j n j FT x n n e X e −     − =   （ 2.2.8） ( ) ( ) ( ) 0 0 j n j FT e x n X e   −   =   （2.2.9） （4）FT 的对称性 ⚫ 共轭对称 设序列 x n e ( ) 满足下式： ( ) ( ) * e e x n x n = − (2.2.10)

则称x(m)为共称序烈 ●共轭反对称 设序列x(m)满足下式 (2.2.13) 称x(m)为反对称序到。 ●共轭对称序列的性质 将x(n)用其实部与虚部表示 (n)=xe(n)+jre(n) 将上式两边n用-n代替,并取共轭,得到 x(-n)=x-(-m)-x2(-n) 对比上面两公式,可得 x(n)=x(-n) (2.2.11) xe (n)=xe (-n 即共轭对称序列的实部是偶函数,而虚部是奇函数。 共轭反对称序列的性质 将x(m)表示成实部与虚部如下式: xo(n)=xo (n)+jx (n) 可以得到 xo (n =-x(-n) (2.2.14 xo (n)=xo(-n (2.2.15 即共亮反对称序列的实部是奇函数,历虚部是偶函数。 般序列的表 般序列可用共称与共轭反对称序列之和表示,即

则称 x n e ( ) 为共轭对称序列。 ⚫ 共轭反对称 设序列 x n o ( ) 满足下式： ( ) ( ) * o o x n x n = − − (2.2.13) 称 x n o ( ) 为共轭反对称序列。 ⚫ 共轭对称序列的性质 将 x n e ( ) 用其实部与虚部表示 x n x n jx n e er ei ( ) = + ( ) ( ) 将上式两边 n 用-n 代替，并取共轭，得到 ( ) ( ) ( ) * e er ei x n x n jx n − = − − − 对比上面两公式，可得 x n x n er er ( ) = −( ) (2.2.11) x n x n ei ei ( ) = − −( ) (2.2.12) 即共轭对称序列的实部是偶函数，而虚部是奇函数。 ⚫ 共轭反对称序列的性质 将 x n 0 ( ) 表示成实部与虚部如下式： x n x n jx n o or oi ( ) = + ( ) ( ) 可以得到 x n x n or or ( ) = − −( ) (2.2.14) x n x n oi oi ( ) = −( ) (2.2.15) 即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。 ⚫ 一般序列的表示 一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， 即

x(m)=x(m)+x2(m) (2.2.16) 式中x(m),x2(n)分别为 1 x(n)=x()+x( (-n)] (2.2.18) x(n)=[x(n)-x(-n)] (2.2.19) 频域函数的共轭对称部分和共轭反对称部分 如果频域函数满足 x(eo)=x:(eio) (2.2.21) X xle (2.2.22) 则x(e")与x()分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分 一般序列频域函数的表示 般序列的频域函数同样可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示 x(e)=x(e")+x(e") (2.2.20) 其中 x(")=[x(e")+x(e) 序列频域函数的共轭对称性 将序列x(m)表示为实部x(m)与虚部x(n),即 (n)=x(n)+x(m) 两边同时进行FT,可得 X(eio)=FT[,(n)]=2x, (n)e je X,(ele)=FT[x(n)]=2x(n)e /ien

x n x n x n ( ) = + e o ( ) ( ) (2.2.16) 式中 x n e ( ) , x n o ( ) 分别为 ( ) ( ) ( ) 1 * 2 e x n x n x n = + −     （2.2.18） ( ) ( ) ( ) 1 * 2 o x n x n x n = − −     （2.2.19） ⚫ 频域函数的共轭对称部分和共轭反对称部分 如果频域函数满足 ( ) ( ) j j * X e X e e e   − = （2.2.21） ( ) ( ) j j * X e X e o o   − = − （2.2.22） 则 ( ) j X e e  与 ( ) j X e o  分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分。 ⚫ 一般序列频域函数的表示 一般序列的频域函数同样可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示 ( ) ( ) ( ) j j j X e X e X e e o    = + （2.2.20） 其中 ( ) ( ) ( ) 1 * 2 j j j X e X e X e e    − = +     （2.2.23） ( ) ( ) ( ) 1 * 2 j j j X e X e X e o    − = −     （2.2.24） ⚫ 序列频域函数的共轭对称性 ➢ 将序列 x n( ) 表示为实部 x n r ( ) 与虚部 x n i ( ) ，即 x n x n jx n ( ) = + r i ( ) ( ) 两边同时进行 FT，可得 ( ) ( ) ( ) j j n r r r n X e FT x n x n e    − =− = =      ( ) ( ) ( ) j j n i i i n X e FT x n x n e    − =− = =     

因为 X(el)=x(ejo) x(e/)=-X;(e 分别是共轭对称部分和共轭反对称部分。所以有 一个序列,如果将其分成实部与虚部分别表示,则实部对应的P具有共 对称性,虚部和j一起刚应的FT具有共反对称性。 将序列分成共轭对称部分x(n)和共轭反对称部分x),即 x(n)=x(n)+x(n) (2.2.25) 因为 x(n)=5[x(m)-x(-n) 分别进行FT,可得 F7x(x(2)+x(e)=Rex()=x(2) F7[x()=2[x(e)-x(e")]=/hm[x(e")=px(e") 因此(2.2.25)式的FT有 x(e")=xa(e")+x(e") (2.2.26) 即:序列的共轭对称部分x(n)对应蓉F的实部XR(e"),序列的共扼反对 称部分x(m)对应着F的虚部X(e") 实因果序列()的对称性 因为h(n)是实序列,其FT只有共轭对称部分H(e),其共轭反对称部分 为零。即 HeJ=h

因为 ( ) ( ) j j * X e X e r r   − = ( ) ( ) j j * X e X e i i   − = − 分别是共轭对称部分和共轭反对称部分。所以有： 一个序列，如果将其分成实部与虚部分别表示，则实部对应的 FT 具有共轭 对称性，虚部和 j 一起对应的 FT 具有共轭反对称性。 ➢ 将序列分成共轭对称部分 x n e ( ) 和共轭反对称部分 x n o ( ) ，即 x n x n x n ( ) = + e o ( ) ( ) （2.2.25） 因为 ( ) ( ) ( ) 1 * 2 e x n x n x n = + −     ( ) ( ) ( ) 1 * 2 o x n x n x n = − −     分别进行 FT，可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * Re 2 j j j j FT x n X e X e X e X e e R       = + = =           ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * Im 2 j j j j FT x n X e X e j X e jX e o I       = − = =           因此（2.2.25）式的 FT 有 ( ) ( ) ( ) j j j X e X e jX e R I    = + （2.2.26） 即：序列的共轭对称部分 x n e ( ) 对应着 FT 的实部 ( ) j X e R  ，而序列的共轭反对 称部分 x n o ( ) 对应着 FT 的虚部 ( ) j X e I  。 ⚫ 实因果序列 h n( ) 的对称性 因为 h n( ) 是实序列，其 FT 只有共轭对称部分 ( ) j H e e  ，其共轭反对称部分 为零。即 ( ) ( ) j j H e H e e   =