延安大学：《数字信号处理》课程教学讲稿（DigitalSignal Processing，DSP）第3章 离散傅里叶变换

第三章离散傅里叶变换 Discrete fourier Transform 在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作时,要求信号在时域和 频域都应是离散的,且都应是有限长的。 3.1离散傅里叶变换(DT)的定义 DFT实质上是有限长序列 Fourier变换的有限点离散采样,从而使利用计算机 进行信号分析成为可能。 3.11DFT的定义 1、DFT和IDFT 设x(m)是一个长度为M的有限长序列,则定义x(n)的M点离款傅里叶变换为 X(k)=DFT[x()]=∑x(m)形,k=0,1…N X(k)的离散傅里叶逆变换(IDFT, Inverse discrete fourier transform)为 x(n)=DFT[X(k)]=∑X(k),n=0,1…,N-1 其中,W=eN,N称为DT变换区间的长度,N≥M 2、唯一性证明 3、例题 3.1.2DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N,其Z变换和DT分别为: X(=)=Z[x(m)]=∑x(n)

第三章 离散傅里叶变换 Discrete Fourier Transform 在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作时，要求信号在时域和 频域都应是离散的，且都应是有限长的。 3.1 离散傅里叶变换（DFT）的定义 DFT 实质上是有限长序列 Fourier 变换的有限点离散采样，从而使利用计算机 进行信号分析成为可能。 3.1.1 DFT 的定义 1、DFT 和 IDFT 设 x n  是一个长度为 M 的有限长序列，则定义 x n  的 N 点离散傅里叶变换为       1 0 , 0,1, , 1 N kn N n X k DFT x n x n W k N             (1.1) X k  的离散傅里叶逆变换（IDFT，Inverse Discrete Fourier Transform）为       1 0 1 , 0,1, , 1 N kn N k x n IDFT X k X k W n N N              (1.2) 其中， 2 j N W e N    ，N 称为 DFT 变换区间的长度， N M 。 2、唯一性证明 3、例题 3.1.2 DFT 和 Z 变换的关系 设序列 x n  的长度为 N，其 Z 变换和 DFT 分别为：       1 0 N n n X z ZT x n x n z          

X(k)=DF[x(m)]=∑x(m)如,0≤k≤N 比较可得 x(k)=X(二) 0≤k≤N-1 (1.3) 点 x (k)=x(el 0≤k≤N-1 (1.3)式表明:列x(n)的N点DF是x(m)的2变换在单位國上的N点等间隔采 样,(1.4)式则说明X(k)为x(n)的傅里叶变换X()在区间[2]上的N点等间 隔采样。由此可见,DFT的变换区间长度N不同,表示对X(e")在2]区间上的 采样间隔和采样点数不同,所以DFT的变换结果不同。 (a)x(n)的幅频特性曲线 0.2040.60.8 12141.61.8 (b)X(n)的8点DFT (c)x(n)的16点DFT 图3.1.1R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系

      1 0 , 0 1 N kn N n X k DFT x n x n W k N             比较可得     2 , 0 1 j k z e N X k X z k N       (1.3) 或     2 , 0 1 k N j X k X e k N         (1.4) (1.3)式表明：序列 x n  的 N 点 DFT 是 x n  的 Z 变换在单位圆上的 N 点等间隔采 样。(1.4)式则说明 X k  为 x n  的傅里叶变换   j X e  在区间 0,2  上的 N 点等间 隔采样。由此可见，DFT 的变换区间长度 N 不同，表示对   j X e  在 0,2  区间上的 采样间隔和采样点数不同，所以 DFT 的变换结果不同。 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 2 4 / 幅 度 (a)x(n)的幅频特性曲线 0 1 2 3 4 5 6 7 0 2 4 k 幅 度 (b)x(n)的 8点 DFT 0 5 10 15 0 2 4 k 幅 度 (c)x(n)的 16点 DFT 图 3.1.1 R4（n）的 FT 和 DFT 的幅度特性关系

3.1.3DFT的隐含周期性 x(k)的周期性 由于 W=Wm),k,m,N均为整数 所以 Y(k+mN= r(n)wltmN)n =∑x(m)W=(k) 同理,有 x(n+mN)=x(n) 实际上,任何周期为N的周期序列(m)都可以看作长度为N的有限长序列 x(rn)的周期延拓序列,而x(m)则是式(n)的一个周期,即 )=∑x(m+mN) x(n)=x(n)R、() 2、主值区间与主值序列 般定义周期序列x(n)中从n=0到N1的第一个周期为x(m)的主信区闯,而 主值区间上的序列称为(m)的主值序型。因此,上述关系可以叙述为:x(n)是 x()的周延拓序列x(m)是x(m)的主值序列 为了叙述方便,将(1.5)表示为 (n)=x(n) (1.7) 式中x()表示x()以N周期的周期延拓序列,x(n)表示n对N求余,即如 n=MN+n1,0≤n1≤N-1,M为整数

3.1.3 DFT 的隐含周期性 1、 X k  的周期性 由于   , , , k k mN W W k m N N N   均为整数 所以           1 1 0 0 N N k mN n kn N N n n X k mN x n W x n W X k            同理，有 x n mN x n      实际上，任何周期为 N 的周期序列 x n   都可以看作长度为 N 的有限长序列 x n  的周期延拓序列，而 x n  则是 x n   的一个周期，即     m x n x n mN       (1.5) x n x n R n       N   (1.6) 2、主值区间与主值序列 一般定义周期序列 x n   中从 n=0 到 N-1 的第一个周期为 x n   的主值区间，而 主值区间上的序列称为 x n   的主值序列。因此，上述关系可以叙述为： x n   是 x n  的周期延拓序列； x n  是 x n   的主值序列。 为了叙述方便，将(1.5)表示为    N x n x n   (1.7) 式中  N x n 表示 x n  以 N 周期的周期延拓序列，  N x n 表示 n 对 N 求余，即如 果 1 1 n MN n n N      , 0 1，M 为整数

(n) 3、离散傅里叶变换与离散傅里叶级数的关系 如果x(n)的长度为N,且(n)=x(m),则 X()=∑x(m=x()=∑x() (1.8) x (k)h (1.9) 式中 (k)=X(k)R3(k) (1.10) 为X()主值序列。可得:有限长序列x(n)的离散傅里叶变換X(k),正好是x(m) 的周期延拓序列x(m)的离散傅里叶级数系数X(k)的主值序列,即 X(k)=X(k)R、( 4、 MATLAB计算 fft(x) fft(x, n) 【例3.1.2】

则   1 N n n  3、离散傅里叶变换与离散傅里叶级数的关系 如果 x n  的长度为 N，且    N x n x n   ，则         1 1 1 0 0 0 N N N kn kn kn N N N N n n n X k x n W x n W x n W               (1.8)       1 1 0 0 1 1 N N kn kn N N k k x n X k W X k W N N             (1.9) 式中 X k X k R k      N    (1.10) 为 X k   主值序列。可得：有限长序列 x n  的离散傅里叶变换 X k  ，正好是 x n  的周期延拓序列  N x n 的离散傅里叶级数系数 X k   的主值序列，即 X k X k R k      N    。 4、MATLAB 计算 fft(x) fft(x,n) 【例 3.1.2】

(a)16点DFT幅频特性 (b)16点DFT相频特 005 0.51 1.5 (c)32点DFT幅频特性 (d)32点DFT相频特性 00.5 15 0.5 1.5 3.2离散傅里叶变换的基本性质 321线性性质 若x(n)和x(m)是两个有限长序列,长度分别为N和N2,且 式中,a,b为常数,取N=max[N,N2],则y(n)的N点DFT为 y(k)=DFTLy(n)=aX, (k)+bx2(k),0sksN (2.1) 其中X1(k)和X2()分别为x(n)和x(n)的N点DFT 3.2.2循环移位性质 1、序列的循环移位 设x(m)为有限长序列,长度为N,则x(m)的循环移位定义为:

0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 4 / 幅 度 (a)16点 DFT幅频特性 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1 0 1 2 / 相 位 (b)16点 DFT相频特性 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 4 / 幅 度 (c)32点 DFT幅频特性 0 0.5 1 1.5 2 -4 -2 0 2 4 / 相 位 (d)32点 DFT相频特性 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.2.1 线性性质 若 x n 1   和 x n 2   是两个有限长序列，长度分别为 N1 和 N2 ，且 y n ax n bx x     1 2     式中，a,b 为常数，取 N N N  max ,  1 2 ，则 y n  的 N 点 DFT 为 Y k DFT y n aX k bX k            1 2    ,   ０ k N-1 (2.1) 其中 X k 1   和 X k 2   分别为 x n 1   和 x n 2   的 N 点 DFT。 3.2.2 循环移位性质 1、序列的循环移位 设 x n  为有限长序列，长度为 N，则 x n  的循环移位定义为：