第二章有理数及其运算 小结与复习 有理数的意义 1.有理数的分类 知识点:大于零的数叫正数,在正数前面加上“-”(读作负)号的数叫负数:如果一个正数表示一个事物 的量,那么加上“-”号后这个量就有了完全相反的意义:3,8,5.2也可写作+3,+ 既不是正数,也不是负数。门正整数 正整数 数 正有理数 正分数 非负数 有理数 有理数零 正分数 或 分数 负整数 负有理数 负分数 负分数 2.数轴 知识点:数轴是数与图形结合的工具:数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线:数轴的三元素:原 点、正方向、单位长度,这三元素缺一不可,是判断一条直线是否是数轴的根本依据:数轴的作用:1)形 象地表示数(因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示,以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理 数),2)通过数轴从图形上可直观地解释相反数,帮助理解绝对值的意义,3)比较有理数的大 边的数总比左边的数大,b)正数都大于零,c)负数都小于零,d)正数大于一切负数 3.相反数 知识点:只有符号不同的两个数互为相反数:在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别 在原点的两边:规定:0的相反数是0。 知识点:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作|a|:绝对值的 意义:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是零,即若a>0,则 a|=a.若a=0,则|a|=0.若a<0,则|a|=-a:绝对值越大的负数反而小:两个点a与b之间 的距离为:|a-b 二、有理数的运算 1.有理数的加法 知识点:有理数的加法法则:1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加:2)异号两数相加,① 绝对值相等时,和为零(即互为相反数的两个数相加得0):②绝对值不相等时,取绝对值较大的符号,并 用较大的绝对值减去较小的绝对值:3)一个数和0相加仍得这个数。 加法交换律:a+b=b+a:加法结合律:a+b+c=a+(b+c) 多个有理数相加时,把符号相同的数结合在一起计算比较简便,若有互为相反的数,可利用它们 的和为0的特点 2.有理数的减法 知识点:有理数的减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数,即a-b=a+(-b)
第二章 有理数及其运算 小结与复习 一、有理数的意义 1.有理数的分类 知识点：大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物 的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3， 2 1 8 ，5.2 也可写作+3，+ 2 1 8 ，+5.2；零 既不是正数，也不是负数。 或 2.数轴 知识点：数轴是数与图形结合的工具；数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴的三元素：原 点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据；数轴的作用：1）形 象地表示数（因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理 数），2）通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，3）比较有理数的大小：a）右 边的数总比左边的数大，b）正数都大于零，c）负数都小于零，d）正数大于一切负数 3. 相反数 知识点: 只有符号不同的两个数互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别 在原点的两边；规定：0 的相反数是 0。 4. 绝对值 知识点： 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，数 a 的绝对值记作∣a∣；绝对值的 意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若 a＞0，则∣ a∣＝a. 若 a＝0，则∣a∣＝0. 若 a＜0，则∣a∣＝﹣a ；绝对值越大的负数反而小；两个点 a 与 b 之间 的距离为：∣a－b∣。 二、有理数的运算 1. 有理数的加法 知识点：有理数的加法法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，① 绝对值相等时，和为零（即互为相反数的两个数相加得 0）；②绝对值不相等时，取绝对值较大的符号，并 用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数和 0 相加仍得这个数。 加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：a+b+c=a+（b+c） 多个有理数相加时，把符号相同的数结合在一起计算比较简便，若有互为相反的数，可利用它们 的和为 0 的特点。 2. 有理数的减法 知识点：有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a－b=a+（-b）。 整数 分数 正整数 负整数 正分数 负分数 有理数 有理数 正有理数 零 负有理数 负整数 负分数 正整数 正分数 非负数 零
注意:运算符号“+”加号、“一”减号与性质符号“+”正号、“-”负号统一与转化,如a-b中的减号也 可看成负号,看作a与b的相反数的和:a+(-b):一个数减去0,仍得这个数:0减去一个数,应得这个 数的相反数 3.有理数的加减混合运算 知识点:有理数的加减法混合运算可以运用减法法则统一成加法运算:加减法混合运算统一成加法运算以 后,可以把“+”号省略,使算式变得更加简洁 4.有理数的乘法 知识点:乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘:任何数和0相乘都得0。 几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定;当负因数有奇数个时,积为负:当负因 数有偶数个时,积为正。几个数相乘,有一个因数为0,积就为0。 乘法交换律:ab=ba乘法结合律:abc=a(bc)乘法分配律:a(b+c)=ab+bc 5.有理数的除法 知识点:除法法则1:除以一个数等于乘上这数的倒数,即a÷b==a·-(b≠0即0不能做除数) 除法法则2:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除:0除以任何一个不等于0的数都得0。 倒数:乘积是1的两数互为倒数,即a·1=1(a≠0),0没有倒数。 注意:倒数与相反数的区别 6.有理数的乘方 知识点:乘方:求n个相同因数的积的运算。乘方的结果叫幂,a"中,a叫做底数,n叫做指数。 乘方的符号法则:正数的任何次幂都是正数:负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数:0的 任何次幂都为0 7.有理数的混合运算 知识点:运算顺序:先乘方,再乘除,最后算加减,遇到有括号,先算小括号,再中括号,最后大括号, 有多层括号时,从里向外依次进行 技巧:先观察算式的结构,策划好运算顺序,灵活进行运算 【巩固练习1】一.选择题 1.关于数“0”,以下各种说法中,错误的是() A.0是整数B.0是偶数C.0是自然数D.0既不是正数也不是负数 2.-3.782: () A.是负数,不是分数B.不是分数,是有理数C.是分数,不是有理数D.是分数,也 是负数 将下列各数填入相应的集合中。,-,12,0,30,0.8,15,-81,10,42 45% 整数: 自然数: 正数 偶数 奇数
注意：运算符号“+”加号、“－”减号与性质符号“+”正号、“-”负号统一与转化，如 a－b 中的减号也 可看成负号，看作 a 与 b 的相反数的和：a+（-b）；一个数减去 0，仍得这个数；0 减去一个数，应得这个 数的相反数。 3. 有理数的加减混合运算 知识点：有理数的加减法混合运算可以运用减法法则统一成加法运算；加减法混合运算统一成加法运算以 后，可以把“+”号省略，使算式变得更加简洁。 4. 有理数的乘法 知识点：乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数和 0 相乘都得 0。 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；当负因数有奇数个时，积为负；当负因 数有偶数个时，积为正。几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0。 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：abc=a（bc） 乘法分配律：a（b+c）=ab+bc 5. 有理数的除法 知识点：除法法则 1：除以一个数等于乘上这数的倒数，即 a÷b= b a =a· b 1 （b≠0 即 0 不能做除数）。 除法法则 2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0。 倒数：乘积是 1 的两数互为倒数，即 a· a 1 =1（a≠0），0 没有倒数。 注意：倒数与相反数的区别 6. 有理数的乘方 知识点：乘方：求 n 个相同因数的积的运算。乘方的结果叫幂，a n中，a 叫做底数，n 叫做指数。 乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的 任何次幂都为 0。 7. 有理数的混合运算 知识点：运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减，遇到有括号，先算小括号，再中括号，最后大括号， 有多层括号时，从里向外依次进行。 技巧：先观察算式的结构，策划好运算顺序，灵活进行运算。 【巩固练习 1】一.选择题 1. 关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 （ ） A. 0 是整数 B. 0 是偶数 C. 0 是自然数 D. 0 既不是正数也不是负数 2. –3.782： （ ） A. 是负数，不是分数 B. 不是分数，是有理数 C. 是分数，不是有理数 D. 是分数，也 是负数 二、将下列各数填入相应的集合中。 7 1 ，-1，12，0，-3.01，0.62，-15，- 2 1 8 ，180，-42， -45%，π，1。 整数：______________________ 自然数：___________________________ 正数：______________________ 负数： ___________________________ 偶数：______________________ 奇数： ___________________________
分数 负数: 非负整数 非正分数: 非负有理数 有理数: 填空题 1、一个数的绝对值是6,这个数是 2、绝对值小于3的整数有个。 1-的相反数的倒数是 4、计算 5、如果a2=16,那么a=。6、如果规定上升8米记作8米,那么一7米表示 7、最小的正整数是,最大的负整数是,绝对值最小的有理数是 8、河道中的水位比正常水位低0.2m记作-0.2m,那么比正常水位高0.1m记作 9、一潜艇所在深度是-80米,一条鲨鱼在艇上30m处,鲨鱼所在的深度是 【巩固练习2】一.填空题 1.数轴上与表示-2点相距3个单位的点所表示的数是 2.数轴表示+3和-3的点离开原点的距离是个单位,这两个点的位置分别在 点右边和左边 在有理数中最大的负整数是 最小的正整数是 最大的非正数是 最小的非负数是 4.用“>”或“<”号填空: 1)3.5 2)-2.8 1.59 0.67 3.14 9)-1.6 1.6 【巩固练习3】一.填空题 1.如果一个数的相反数是它本身,则这个数是 2.如果一个数的相反数是最小的正整数,则这个数是 若=1,则a与 1,则a与 b
分数：______________________ 非负数：___________________________ 非负整数： _________________ 非正分数：_________________________ 非负有理数：________________ 有理数： __________________________ 三、填空题 1、一个数的绝对值是 6 ，这个数是 。 2、绝对值小于 3 的整数有 个。 3 、 1 1 9 − 的 相 反 数 的 倒 数 是 。 4 、 计 算 ： 2002 2 ( 1) ( 2 ) 0 − − = 。 5、如果 2 a =16 ，那么 a= 。 6、如果规定上升 8 米记作 8 米，那么－7 米表示 ______________。 7、最小的正整数是____，最大的负整数是_____，绝对值最小的有理数是_______ 8、 河道中的水位比正常水位低 0.2m 记作-0.2m，那么比正常水位高 0.1m 记作________。 9、一潜艇所在深度是-80 米,一条鲨鱼在艇上 30m 处,鲨鱼所在的深度是________。 【巩固练习 2】一.填空题 1. 数轴上与表示﹣2 点相距 3 个单位的点所表示的数是________。 2. 数轴表示+3 和﹣3 的点离开原点的距离是______个单位，这两个点的位置分别在_______ 点右边和左边。 3. 在有理数中最大的负整数是________, 最小的正整数是________, 最大的非正数是 ________, 最小的非负数是________. 4. 用“＞”或“＜”号填空： 1）3.5 ____ 0 ; 2) ﹣2.8 ____ 0 ; 3) ﹣1.95 ____ 1.59 ; 4) ____ ; 5) ____ ﹣0.3 ; 6) ﹣0.67 ____ ; 7) ____ ; 8) ﹣π ____ ﹣3.14 ; 9) ﹣1.6 ____ ﹣1.6 ; 10) ﹣( ) ____ ﹣(﹣∣ ∣) . 【巩固练习 3】一.填空题 1. 如果一个数的相反数是它本身, 则这个数是________. 2. 如果一个数的相反数是最小的正整数, 则这个数是________. 3. 若 = 1 b a , 则 a 与 b________; 若 = −1 b a , 则 a 与 b________; 若 a+b=0, 则 a 与
4.在数轴上与-3距离4个单位的点表示的数是 5.写出大于-4且小于3的所有整数为 、求下列各数的相反数 0.26 +1;m+1:2xy;a-b 三、在数轴上表示出下列各数的相反数的点,并比较大小。 3-,4,-1.5,2-,0,1,8,-2,-(-4.5),|一 【巩固练习4】一选择题 1.-|-3|是() A.正数B.负数C.正数或0D 负数或0 绝对值最小的整数是 A.0B.1C.-1D.1和-1 二、填空题1.若a=-3-,则|a 若|a|=3,则a 2.-|-4 -0.77|÷|+2- 3.绝对值小于4的负整数 个,正整数有 个,整数有 三、解答题 1.已知|x+y+3|=0,求|x+y|的值 2.已知A,B是数轴上两点,A点表示-1,B点表示3.5,求A,B两点间的距离。 3.已知:|a+2|+|b-3|=0,求2a2-b+1的值 【巩固练习5】计算:1、1x 3 2)1-2+3-4+5-6+…+ 3)-(-8)-|-6|-1+8|-(+7);4)(-2000=)-(-19995)+(-4000 【巩固练习6】计算:1)(-5-)×3 (-2-);3)49 (-5);
b________. 4. 在数轴上与－3 距离 4 个单位的点表示的数是 5.写出大于-4 且小于 3 的所有整数为______________; 二、求下列各数的相反数 0.26 ； 5 2 − ；π－3 ；﹣a ；﹣x+1 ； m+1 ；2xy ；a－b 。 三、在数轴上表示出下列各数的相反数的点，并比较大小。 2 1 − 3 ，4，﹣1.5， 2 1 2 ，0，1，8，﹣2，﹣（﹣4.5），∣ 4 1 − ∣ 【巩固练习 4】一.选择题 1. ﹣∣﹣3∣是 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 正数或 0 D. 负数或 0 2. 绝对值最小的整数是 （ ） A. 0 B. 1 C. –1 D. 1 和-1 二、填空题 1.若 a＝ 2 1 − 3 , 则∣a∣＝________; 若∣a∣＝3, 则 a＝________. 2.﹣∣﹣ 3 2 4 ∣＝______; ∣﹣ 4 1 3 ∣－∣﹣ 3 2 1 ∣＝______; ∣﹣0.77∣÷∣+ 4 3 2 ∣＝ _______; 3.绝对值小于 4 的负整数有 个，正整数有 个，整数有 个 三、解答题 1. 已知∣x+y+3∣=0，求∣x+y∣的值。 2. 已知 A，B 是数轴上两点，A 点表示﹣1，B 点表示 3.5，求 A，B 两点间的距离。 3. 已知：∣a＋2∣＋∣b－3∣=0，求 2a2－b＋1 的值。 【巩固练习 5】计算：1） ﹣ 3 1 － 2 1 ＋ 6 5 －（ 4 3 − ）； 2） 1－2＋3－4＋5－6＋…＋ 99－100； 3） ﹣（﹣8）－∣﹣6∣－∣+8∣－（+7）； 4） ) 4 3 ) ( 4000 3 2 ) ( 1999 6 5 (−2000 − − + − 。 【巩固练习 6】计算：1）（ 2 1 − 5 ）× 3 1 3 ； 2） 5 1 − 2 × 11 3 2 ÷（ 2 1 − 2 ）； 3） 25 24 49 ×（－5）；
4)(1-+)÷(-) 6)(-29三 (-5); 【巩固练习7】1.计算:(-5)2:-53:(-3)3;-2:(-1)测;(-1-) 2.若|x+1|+(2x-y+4)2=0,求代数式xy+xy3的值。 【巩固练习8】计算:(1)3×(-);(2) (3)(-2 (4) 3×5+20÷(-4) 63×3089606:)(71-3)(- (9)-1+(-5)2×(-3)+08-1 (10)-32-1(-5)31×(-2y2-18÷ (-3)2 (11)-3-(14y×2-6÷1-21:(12)(-1)2×[42÷(-4)+(-1)×(0.4)]
4）（ 12 7 8 7 4 3 1 − + ）÷ ) 24 1 (− ； 5） ) 24 1 (− ÷（ 12 7 8 7 4 3 1 − + ） ； 6） ) 7 2 (−29 ÷（－5）； 【巩固练习 7】1.计算：（-5）3； -5 3； 2 ) 4 3 (− ； 4 3 2 − ；（-1）2001； ) 2 1 (−1 3。 2. 若∣x＋1∣＋（2x－y＋4）2 = 0 ，求代数式 x 5 y＋xy 5 的值。 【巩固练习 8】计算：（1）3 （ ） 3 1 − ； （2） − 7 1 21 5 (3) ( ) 3 2 − 2 − 3 （4） − + − 3 5 20 ( 4) （5） 2 2 3 ) (0.8) 3 2 − 3 (− （6） ( ) − + 6 5 4 3 60 （7） − − 5 6 3 7 3 10 （8） − − − 2 3 2 2 3 2 （9） ) 0.8 1 3 5 1 ( 5) ( 4 2 − − − + − （10）–3 2－∣（-5） 3∣× 2 ) 5 2 (− -18÷∣ -（-3）2∣； （11） -3－ 3 ) 2 1 (1 × 9 2 －6÷∣ 3 2 − ∣ 3； （12）（-1） 5×[ 3 2 4 ÷（-4）＋ ) 4 1 (−1 ×（-0.4）]