哈尔滨理工大学： 2000级概率论与数理统计试题B卷及答案

2000级概率论与数理统计试题考试时间:120分钟试卷总分100分 题号 二|三|四五|六|七|八九十总分 装评卷 、填空题(满分15分) 1.已知P(B)=0.3,P(A∪B)=0.7,且A与B相互独立,则 PO 2.设随机变量X服从参数为二项分布,且PX=0}=1,则 订 3.设X~N(3,2),且P{X<0}=0.1,则P3<X<6}= 4.已知DX=1,DY=2,且X和Y相互独立,则D(2X-Y) 5.已知随机变量X服从自由度为n的t分布,则随机变量X2服从的分布 是 线 、选择题(满分15分) 1.抛掷3枚均匀对称的硬币,恰好有两枚正面向上的概率是 (A)0.125, (B)0.25,(C)0.375,(D)0. 2.有γ个球,随机地放在n个盒子中(Y≤n),则某指定的y个盒子中各 有一球的概率为 (B)C 3设随机变量X的概率密度为f(x)=ce,则c (A) (B)0(C) (D)1 2 4.掷一颗骰子600次,求“一点”出现次数的均值为 (A)50(B)100(C)120(D)150 5.设总体X在(-p,+p)上服从均匀分布,则参数的矩估计量 (A)=(B) (C) 2(D)x

2000 级概率论与数理统计试题 考试时间：120 分钟 试卷总分 100 分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 评卷 教师 一、填空题（满分 15 分） 1. 已 知 P(B) = 0.3 , P(A B) = 0.7 , 且 A 与 B 相 互 独 立 ， 则 P(A) = 。 2. 设随机变量 X 服从参数为二项分布，且 2 1 P{X = 0} = ， 则 p = 。 3.设 ~ (3, ) 2 X N  ,且 P{X  0} = 0.1 ，则 P{3  X  6} = 4.已知 DX=1，DY=2，且 X 和 Y 相互独立，则 D(2X-Y)＝ 5.已知随机变量 X 服从自由度为 n 的 t 分布，则随机变量 2 X 服从的分布 是 。 二、选择题（满分 15 分） 1.抛掷 3 枚均匀对称的硬币，恰好有两枚正面向上的概率是 。 （A）0.125， （B）0.25， （C）0.375， （D）0.5 2.有 γ 个球，随机地放在 n 个盒子中（γ≤n），则某指定的 γ 个盒子中各 有一球的概率为 。 （A）   n ! （B）   n C r n ! （C） n n  ! (D) n n n C   ! 3.设随机变量 X 的概率密度为 | | ( ) x f x ce − = ，则 c＝ 。 （A）－ 2 1 （B）0 （C） 2 1 （D）1 4.掷一颗骰子 600 次，求“一点” 出现次数的均值为 。 （A）50 （B）100 （C）120 （D）150 5.设总体 X 在 ( −  ,  +  ) 上服从均匀分布，则参数  的矩估计量 为 。 （A） x 1 （B） − = n i Xi n 1 1 1 （C） − = n i Xi n 1 2 1 1 （D） x 装 订 线 班 级 ： 学 号 ： 姓 名 ：

三、计算题(满分60分) 1.某商店拥有某产品共计12件,其中4件次品,已经售出2件,现从剩下 的10件产品中任取一件,求这件是正品的概率 2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N(40,100),随机地取5个元件, 求恰有两个元件寿命小于50的概率。(Φ(1)=0.8413, p(2)=0.9772) 3.在区间(0,1)中随机地取两个数,求事件“两数之和小于5”的概率 4.一台设备由三个部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 0.2,0.3,0.4,各部件的状态相互独立,求需要调整的部件数X的期望EX和方 差DX 5.从一正态总体中抽取容量为10的样本,假定有2%的样本均值与总体均 值之差的绝对值在4以上,求总体的标准差。 (d(2.055)=0.98(2325)=099) 6.设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩, 算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可认 为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。(lo3(35)=20301, to25(36)=20281) 四、证明题 1设A,B是两个随机事件,0P()41,PA=八A 证明:A与B相互 独立 2设总体X服从参数为2的泊松分布,X1,…Xn是X的简单随机样本,试证: (x+S2)是的无偏估计 2000级概率论与数理统计试题B卷答案 填空题(满分15分) 3、04 4、65、F(1,n) 填空题(满分15分) 3、C 三、计算题 1、应用贝叶斯公式,P=0.9523 2、当原方程有实根时,解得k>2或k<-1,因此所求概率为

三、计算题（满分 60 分） 1.某商店拥有某产品共计 12 件，其中 4 件次品，已经售出 2 件，现从剩下 的 10 件产品中任取一件，求这件是正品的概率。 2.设某种电子元件的寿命服从正态分布 N（40，100），随机地取 5 个元件， 求恰有两个元件寿命小于 50 的概率。（ (1) = 0.8413， (2) = 0.9772 ） 3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于 5 6 ”的概率。 4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数 X 的期望 EX 和方 差 DX。 5.从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，假定有 2％的样本均值与总体均 值之差的绝对值在 4 以上，求总体的标准差。 （ (2.055) = 0.98,(2.325) = 0.99) 6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩， 算得平均成绩为 66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 0.05 下，是否可认 为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？并给出检验过程。（ t 0.025 (35) = 2.0301， t 0.025 (36) = 2.0281 ） 四、证明题 1.设 A，B 是两个随机事件，0<P(A)<1，        =      A B P A B P ，证明：A 与 B 相互 独立。 2.设总体 X 服从参数为  的泊松分布， X Xn , 1 是 X 的简单随机样本，试证： ( ) 2 2 1 X + S 是  的无偏估计。 2000 级概率论与数理统计试题 B 卷答案 一、填空题（满分 15 分） 1、 0.5 2、 3 1 1 2 − − 3、0.4 4、6 5、 F(1, n) 二、填空题（满分 15 分） 1、C 2、D 3、C 4、B 5、D 三、计算题 1、应用贝叶斯公式，P＝0.9523 2、当原方程有实根时，解得 k  2 或 k  −1 ，因此所求概率为 5 3 5 5 1 2 =  dx

o其它,f0y 0<x<1 0<y<1 3、fx(x) 0其它 由于X与y相互独立,因此f(x,y)=fx(x)f1(y)= ∫10<x<10<y<1 0 其它 所以 n+y3-的/办=2 4、E(X)= ECXY 12xy' dy P>70}≥0.94 ≥09→ 0.9 √n≥129 ≥41.6 因此至少应取n=42 、设Hn:2=1.62,H1σ2≠1.62, 由于X=5283,所以 ∑x2-nx|=1925<218 故拒绝H,即认为零件强度的方差较以往发生了变化 四、证明题 1、证明: 由于 P(AB)=P(A)P(B A) P(4L小+P(小)(B|4 P(A)P(A)P(B A)+P()P(A)P(B A)

3、      = 0 其它 1 0 1 ( ) x f x X ，      = 0 其它 1 0 1 ( ) y f y Y 由于 X 与 Y 相互独立，因此        = = 0 其它 1 0 1,0 1 ( , ) ( ) ( ) x y f x y f x f y X Y ， 所以   = =       +  − 5 4 0 5 4 0 25 8 ( , ) 5 4 y P X Y f x y dxdy . 4、 5 4 ( ) 12 1 0 0 2 = =   E X xy dydx x ， 2 1 ( ) 12 1 0 0 3 = =   E XY xy dydx x . 5、                    −    0.9 5 1 10 72 70 0.9 n n X P P X 41.6 1.29 5 1 0.9 5 1             n n n ， 因此至少应取 n = 42 . 6、设 2 2 H0 : = 1.6 ， 2 2 H1 :  1.6 ， 由于 X = 52.83 ，所以 1.1925 2.18 1 1 2 1 2 2  =       − − = = X nX n S n i i ， 故拒绝 H0 ，即认为零件强度的方差较以往发生了变化。 四、证明题 1、证明： 由于   ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) P A P A P B A P A P A P B A P A P A P A P B A P AB P A P B A = + = + =

P(4)P(B)=P(4PB|4)+P团PB列 P(A)P(A)P(B A)+P(A)P(A)P(B A) 及P(AB)=P(A)P(B), 因此 P(BA= P(AB)-P(A)P(AP(BJA) P(AP(A) P(A)P(B)-P(AP(A)P(B 1A) =P(BA) P(AP(A) 2、:E(x)=x,B(S2)= E ax+(1-a)s =aE(x)+(1-a)E(s2) =a2+(1-a)2 命题得证

  ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P A P A P B A P A P A P B A P A P B P A P A P B A P A P B A = + = + ， 及 P(AB) = P(A)P(B)， 因此 ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( | ) P B A P A P A P A P B P A P A P B A P A P A P AB P A P A P B A P B A = − = − = . 2、 E(X ) =  ， ( ) =  2 E S ，   , (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) 2 2    = = + − = + −  + − a a aE x a E s E ax a s 命题得证