质点的动量矩定理 例2图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m,摆线长为l, 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动)，它就在经过O 点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。 解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立 如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为， 摆的偏角为p,则 M.(mv)=mvl mPo M.(F)=-mglsinp 式中负号表示力矩的正负号与角坐标” 的正负号相反。它表明力矩总是有使摆 mg 锤回到平衡位置的趋势
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O 点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。 解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立 如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为v， 摆的偏角为 ，则 2 ( ) M z mv mvl ml ( ) sin M z F mgl 式中负号表示力矩的正负号与角坐标 的正负号相反。它表明力矩总是有使摆 锤回到平衡位置的趋势。 质点的动量矩定理 O l M y x N v mg
由 此微分方程的解为 .(mv)=M.(F) p=Asin( 81+0) dt 得 其中A和a为积分常数，取决于 d（mlPo）=-mglsin0 初始条件。可见单摆的微幅摆 动为简谐运动。摆动的周期为 即 +sing=0 T=2π 这就是单摆的运动微分方程。 显然，周期只与1有关，而与 当p很小时摆作微摆动，sin 初始条件无关。 p≈p,于是上式变为 方+
由 d ( ) ( ) d M z m M z t v F d 2 ( ) sin d ml mgl t 即 sin 0 l g 这就是单摆的运动微分方程。 当 很小时摆作微摆动，sin ≈ ，于是上式变为 0 l g 此微分方程的解为 sin( t ) l g A 其中A和为积分常数，取决于 初始条件。可见单摆的微幅摆 动为简谐运动。摆动的周期为 g l T 2 显然，周期只与 l 有关，而与 初始条件无关。 得
11.2.2质点素的动量矩定理 设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力F©) 和内力F⑩。由质点的动量矩定理有 o(m)=Mo()+Mo(F) di 这样的方程共有n个，相如后得 含，网w至u字 i=1 i-1 由于内力总是成对出现，因此上式右端的底二项 ∑M(E0)=0 i=1
设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi (e) 和内力Fi (i) 。由质点的动量矩定理有 d (e) (i) ( ) ( ) ( ) d O mi i O i O i t M v M F M F 这样的方程共有n个，相加后得 由于内力总是成对出现，因此上式右端的底二项 11.2.2 质点系的动量矩定理 (e) (i) 1 1 1 d ( ) ( ) ( ) d n n n O i i O i O i i i i m t M v M F M F (i) 1 ( ) 0 n O i i M F
11.2.2质点素的动量矩定理 上式左端为 dt 于是得 4-2, i 质点系对某固定点O的动量矩对时间的导 数，等于作用于质点象的外力对于同一点的 矩的矢量和
上式左端为 于是得 11.2.2 质点系的动量矩定理 1 1 d d d ( ) ( ) d d d n n O i i O i i O i i m m t t t M v M v L (e) 1 d ( ) d n O O i i t L M F 质点系对某固定点O的动量矩对时间的导 数，等于作用于质点系的外力对于同一点的 矩的矢量和
11.2.2质点素的动量矩定理 在应用质点系的动量矩定理时，取投影式 d Lx=∑Mx(F,) 质点系对 d t 某固定 軸 的动 量 矩对 时 间的 d L,=∑M(F,) 导数， 等 于作 d t 用于质 点 系的 外力对 于 同 一 L.=∑M.(F,e) 轴的矩的代数 和
在应用质点系的动量矩定理时，取投影式 (e) (e) (e) d ( ) d d ( ) d d ( ) d x x i y y i z z i L M t L M t L M t F F F 质 点 系 对 某固定轴的动 量矩对时间的 导数，等于作 用于质点系的 外力对于同一 轴的矩的代数 和。 11.2.2 质点系的动量矩定理