例1.2已知信号x(:)如图1.13()所示，信号x(号)就相应于x(:)以因子23作线性时间压缩，如图 1.13()所示。具体一点就是x(t在1=4所取得的值，在x(号t)中是在t=子o时刻得到。例 如，x(:)在1=1时的值，在x(号)中是在=子(1)=子求得。同样，因为x()在<0为，所 以有x(号)在1<0也为零；因为x()在>2为零，所以x(号)就在>43时为零。 例1.3假设对于一个给定信号x(:),趣看看自变量变换的效果，以求得一个形如x(t+3)的信号，这里 a,B都是已知的某个数。为此，一种有条不素的途径是首先根据日的值将x(:)延时或超前，然后 再银据a的值来对这个已经延时或超前的信号进行时同尺度变换和/或时闻反转。如果|。<1， 就将该已被延时或超前的信号进行线性扩展：如果>1，就实行线性压缩，而若。<0就再作时 反转。 为了说明这个办法，看看x(号t+1)是怎么由图1,13(a)的x(:)求得的。因为日=1，所以首先将 x(:)超前（即左移1），如图1.13(b)所示。因为=32所以就应将图1.13(b)已左移的信号线 性压缩，压缩因子是2乃，于是就得到如图1.13()所示的信号，这就是x(号：+1)。 自变量变换除了在表示一些物理现象（如声纳信号的时移、磁带的快放或倒放等）中的应 用外，它在信号与系统分析中是极为有用的。在1.6节和第2章都将应用自变量变换来引入 和分析系统的性质。这些变换在定义和研究信号的某些重要性质上也是很重要的。 1.2.2周期信号 在全书中都会常常遇到的一类重要信号就是周期信号。一个周期连续时间信号x(:)具 有这样的性质，即存在一个正值的T,对全部t来说，有 x(t)=x(t+T) (1.11) 换句话说，当一个周期信号时移T后其值不变。这时就说x(:)是一个周期信号，周期为T 周期的连续时间信号出现在各种场合。例如在习题2.61中所说明的具有能量储存系统的自 然响应，像无电阻损耗的理想LC电路和无摩擦损耗的理想机械系统的自然响应都是周期的； 而且事实上它们都是由一些基本的周期信号所组成的，这些都将在1,3节讨论。 图1.14连续时间周期信号 图1.14给出了一个周期连续时间信号的例子。从该图或者从(1.11)式都能很快得出：如 果x(t)是周期的，周期为T,那么对全部：和任意整数m来说就有x(t)=x(:+mT),由此 x()对于周期2T,3T,4T,.等等都是周期的。对于使(1.11)式成立的最小正值T称为 x(t)的基波周期Ta。除了x(t)为一个常数外，基本周期的定义都成立；在x()为一常数的 9
情况下，基波周期无定义，因为这时对任意T来说x(:)都是周期的（所以不存在最小的正值 T)。 一个信号x(:)不是周期的就称为非周期信号。 在离散时间下可类似地定义出周期信号，这就是：如果一个离散时间信号x[n]时移一个 N后其值不变，即对全部n值有 x[n] x[n]=x[m+N](1.12) 则x[m]是周期的，周期为N,N为某 个正整数。若(1.12)式成立，那么x[n】 对于周期2N,3N,4N,.也都是周期 的，其中使(1.12)式成立的最小正值N 就是它的蒸波周期N0。图1.15示出一 图1.15基被周期N。=3的离散时何周期信号 个基波周期N=3的离散时间周期信号 的例子。 例1.4现在来解这么，个类型的问题，即受 确定所给信号是否是周期性的。 这 里要确认的信县是 AAAAA ()=(t) 如果t<0 sin (t) 如果t≥0 图1,16所讨论的信号x() (1.13) 由三角学可知c(:+2x}三 s(),s血(t+2)=n(,因此分别对t>0和<0考感，x()在 相距每2上都确实重复无疑。 然而，正如在图1.16所示出的，x(:)在原点有一个不走续点，而这 样的不连线点并不在其它地方重现。因为一个阔期信号在形状上的每一个特点都必线周期性地重 现，所以可以得出x()不是周期的。 1.2.3偶信号与奇信号 信号的另二神有用的性质是在时间反转 之下有关信号的对称性问题。如果 一个信号 x()或x[n],以原点为轴反转后不变，就称 其为偶信号。在连续时间下，二个偶信号就有 x(-t)=x(t) （1.14 而在离散时间下就有 x[-n]=x[n】 (1.15) 如果有 x(-t)=-x(t) (1.16) x[-n]=-x[n](1.17) 就称该信号为奇信号。 一个奇信号在t=0或 n=0必须为0，因为(1.16)式和(1：17)式要求 x(0)=-x(0)和x「01= x[0]。图1.17示 出奇、偶连续时间信号的例子。 图1.17(a)侧连续时间信号 。任何信号都能分解为两个信号之和，其中 (6)奇连续时闻信号
之一为偶信号，另一个为奇信号。为此考 虑下列信号 &x(t)川=[x(t)+x(-t)] (1.18) 1 atiz(t)=(:)-z(-t)] (1.19 x(t),ax(:)1分别称为x(t)的偶 部和奇部。很简单地就可确认偶部是偶 n时含e 信号，而奇部是奇信号，且x(:)就是两者 之和。在离散时间下上述结论也完全成 - . 立。图1.18示出一个离散时问信号奇偶 分解的例子。 1.3指数信号与正弦信号 -1n<0 这一节和下一节要介绍几个基本的 n>0 连续时间和离散时间信号。这样做不仅 仅是因为这些信号经常出现，更重要的是 2-1 . 它们可以用作基本的信号构造单元来构 0123 成其它许多信号。 1.3.1连续时间复指数信号与正弦 图1.18离散时间信号奇偶分解的例子 信号 连续时间复指数信号具有如下形式： x(t)=Ce“ (1.20) 式中C和a一般为复数。根据这些参数值的不同，复指数信号可有几种不同的特征 实指数信号 如图1.19所示，若C和a都是实数（这时x(:)就称为实指数信号），就有两种类型的特 性。若a是正实数，那么x(:)随t的增加而指数增长。这种类型的信号可以用来描述原子燥 炸或复杂化学反应中的链锁反应等很多不同的物理过程。若α是负实数，则x(:)随：的增加 而指数衰减。这类信号也可用来描述诸如放射性衰变、RC电路以及有阻尼的机械系统的将 应等范围 广泛的各种现象。特别是，如同在习题2.61和2.62中所指出的，图1.1电路和图 1.2中的汽车，它们的自然响应都是指戴在减的。对于a=0,x(t)就为一常数。 周期复指数和正弦信号 第二种重要的复指数信号是将α限制为纯虚数，特别是考虑如下信号： 11
x(t）=ew (1.21) 该信号的一个重要性质是它是周期信 号。为了证明这一点，可以根据(1.11) 式，如果存在一个T而使下式成立： eiogt =ewo(+T) (1.22) 则x(t)就是周期的。为此 e+T)=ciso 必须有 evnT 1 (1.23) 若o=0,x(t)=1,这时对任何T值 都是周期的：若o≠0，那么使(1.23) 式成立的最小正T值，即基被周期T0 应为 = (1.24) 可见e,和e都是具有同一基波周 期的周期信号。 和周期复指数信号密切有关的一 种信号是正弦信号 b) x(t)=Acos(+)(1.25) 图1.19连续时间实指数信号x(:)=Ce 如图1.20所示。用秒作t的单位.则 (a)a>0,(b)a<0 的单位就是弧度，而的单位就是 rad/。一般又可写成a0=2f0,f0的 x用=A cos (wnt+j 单位是周期数/秒，即Hz。和复指数信 号一样，正弦信号也是周期信号，其基 波周期T由(1.24)式确定。正弦利 周期复指数信号也可以用来描述很多 物理过程的特性，尤其是储存能量的物 理系统。例如在习题2.61指出的，LC 电路的自然响应是正弦的，机械系统的 简谐振动以及音乐中的单音声压振动 都是正弦的。 利用欧拉(Euler关系D,复指数信 图1,20连续时间正弦信号 号可以用与其相同基波周期的正弦信 号来表示，即 elo!=cos wot +jsin ot (1.26) 而(1.25)式的正弦信号也能用相同基波周期的复指数信号来表示，即 歌拉关系和有关复数和指数运算的其他基本念，将在本习题数学复习都分中考虑。 12
A oos (wot+ =分e*ew+分efem✉ (1.27) 注意，(1.27)式中的两个指数信 号都有复数振幅，所以正弦信号 还可以用复指数信号表示为如 下形式： A cos(o+=A) (1.28 这里若c是一个复数，则%1c 记作它的实部。也用{c记 作c的虚部，这样就有 A sin(cpt)=A. (1.29) 从(1.24)式可以看到，连续 时间止弦信号或一个周期复指 数信号其基被周期T心是与引如 成反比的（也称为基波频 率)。由图1.21可以看出这意 味着什么。如果小，就 慢了x(t)的振荡速率，因此周期 增长；相反，增加，振荡速率 加快，周期缩短。现在考虑0 =0的情况，正如早先已经指出 的，这时x(:)为常数，因此对 于任意正值T它都是周期的， 所以常数信号的基波周期无定 义。另一方面，在这种情况下若 定义一个常数信号的基波频率 1.21连续时间正弦信号基波率和湖期之间的关系，园中 为零，也就是说振荡速率为零， w1>2>a3,也即T<T2<T 这也不会引起什么混淆。 周期信号，尤其是(1.21)式的复指数信号和(1.25)式的弦信号给出了具有无限能量但 有有限平均功的这类信号的例子。例如考虑一下(1.21)式的周期复指数信号，假设在一个 制期内计算该信号的总能层和平均功率 1·dk=To (1.30) 3