Pead=六Eod=1 (1.31) 因为随着：从一∞到+∞，有无穷多个周期，所以在整个全部时间内积分其总能量就是无限 大，该信号的每个周期都完全是一样的，因为在每个周期内信号的平均功率等于1，所以在多 个周期上平均也总是得到1的平均功率。这就是说，周期复指数信号具有有限平均功率等于 P.=∫1wa=1 (1.32)》 在习题1.3中还给出了另外儿个有关计算周期和非周期信号能量和功率的例子。 周期复指数信号在讨论信号与系统的大部分问题中都起着十分重要的作用，部分原因是 由于对许多其它信号来说，它们可用作极其有用的信号基本构造单元。同时，一组成请波关系 的复指数信号也是很有用的：也就是周期复指数信号的集合，该集合内的全部信号都是周期 的，且有一个公共周期T0。对一个复指数信号要成为具有周期为T。的周期信号的必要条 件是 er=1 (1.33) 这就意味着wTo是2π的倍数，即 =2xk, k=0,±1，±2，. (1.34) 由此，若定义 =努 (1.35) 可以得出，为满足(1.34)式，w必须是0的整倍数。这就是说，一个成谐被关系的复指数信号 的集合就是一组其基波频率是某一正频率的整倍数的周期复指数信号，即 (t)=eo', =0,±1，±2，. (1.36) 若k=0,(:)就是一个常数；而对任何其它的k值，(：)是周期的，其基波频率为1k0,基 波周期为 品 2 (1.37) 因为在狂何长度为T。的时间间隔内，恰好通过了|个基波周期，所以第是次谐波(：)对 T。来说仍然是周期的。 这里用的术语“谐波”与在音乐中所用的意思是相同的，即由声压振动得到的各种音调其 频率都是某一基波频率的整倍数。例如，小提琴上的一根弦的振动模式就能够当作一组成谐 被关系的周期指数信号的加权和。在第3章将看到，利用(1,36)式成谐波关系的信号作为基 本构造单元可以构成各种各样的周期信号。 例1.5 有时希望把两个复指数的和化成单一的复指数和单一的正弦函数的桑积来表示。例如我们要想画 出下面倍号的模 x(=2+B 1.38) 为此可以首先将(1.38)式右边的两个复指数进行因式分解，其具体作法是将右边和式的两个指数 中的须率求得它们的平均值，然后作为公共因子提出来，为此可得 x(t）=e2:t(e0s+0) (1.39) 根据歌拉关暴，上式可写成 14
x(t)=22.5tcos(0.5r） (1.40) 从上式中就可以直接得出x(:)的模的表达 式为 1x()1=21ca(0.5)1(1.41) 在这里已经用到复指数“的模总是1这 点。{x(:)儿就是一般的全波整流过的正弦 放，如图1.22所示。 0 68 一般复指数情号 图1.22例1.5中的已经全凌整流的正弦被 最一般情况下的复指数信号可以借助于已经讨论过的实指数信号和周期复指数信号来给 子表示和说明。考虑某一复指数C“,将C用极坐标，a用直角坐标表示，分别有 C=C l e 和 a r +ja 那么 Cear =Cl ertioo):Cle"eloot+0) (1.42) 利用欧拉关系，可以进一步展开为 Cet C l ecos(wpt +0)+j Cl e"sin(wnt +0) (1.43) 由此可见，若r=O,则复指数信号其实部和虚部都是正弦型的；而对r>0,其实部和虚部则是 图1.23(a)概度增长的正弦信号x(t)=Ce*s(aot+9),r>0: （b)幅度表诚的正弦信号x(t)=Ce”cs(t+),r<0 个振辐为指数增长的正弦信号，以及r<0时为振幅成指数衰减的正弦信号。这两种情况 15
如图1.23所示，图中的虚线对应于函数±1C1e。由(1.42)式知道|Ce+是复指数信号的振 幅，可见引C“起着一种振满变化的包络作用，也就是说每次振荡的峰值正好落在这两条虚线 上。这样，包络线给我们提供了一个十分方便的工具，使得我们可以看出振荡椭度的变化趋 势。 具有指数衰减振幅的正弦信号常称为阻尼正弦振荡，RLC电路和包括有阻尼和恢复力在 内的机械系统（例如汽车域展系统）的响应都是这样一个指数衰诚振荡的例子。这样一类系统 都具有这样的过程：随着在振荡衰减的过程中，由电阻，摩擦等阻力消耗掉能量。在习题2.61 和2.62中还能见到这样的系统，以及它们有阻尼的正弦自然响应的例子。 1.3.2离散时间复指数信号与正弦信号 与连续时间情况下一样，一种重要的离傲时间信号是复指数信号或序列，定义为 x[n]=Ca (1.44) 这里C和α一般均为复数。若令α=2，则有另一种表示形式为 x[n】=Ce0n (1.45) 最然从形式上看，(1.45)式更加类似于连续时间复指数信号的表达式(1,20)式，但是在离散时 间情况下，往往把离散时间复指数序列写成(1.44)式更为方便和实用些。 实指数信号 如果C和a都是实数，那么就会有如图1.24所示的几种特性。若a>1,宿号随n指数 增长；la<1,则随n指数衰减。另外，若a是正的话，则C。”的全部值都具有同一符号；而当 a为负时，则xn]的值符号交替变化。同时也注意到若a=1,x[n]就是一个常数；而当 a=-1时，x[n]的值就在+C和一C之间交替改变。实离散时间指数序列可以用来描述诸 如人口增长作为“代”的函数、投资总向收作日、月、或季度的函数等这样一些问题 正弦信号 如果将(1.45)式中的日局限为纯虚数（即1a=1)的话，就可以得到另一个重要的复指数 序列。具体地考虑如下序列： Eln]=eom (1.46) 和莲续时间情况一样，这个信号是与正弦信号密切相关的，即 x[n】=Acos(nn+p) (1.47) 若取九无量纲的话，那么0和的章纲都应是弧度。图1,25中示出了三个正弦序列的例 子 和前面作法一样，利用欧拉公式可以将复指数和正弦序列联系起来为 e =coswan+j sinwvon (1.48 Aos(n+p)=ee+ee (1.49) (1.46)式和(1.47)式的信号就是在离骸时间信号中具有无限总能量，而有有限平均功率的例 子。因为c,1=1,(1.46)式中信号的每个样本在信号能量中的贡献都是1。因此，在-o∞ 16
图1,24实指数信号x[n]=Ce” (az>1:(b)0<a<1:(c)-1<a<0;(d)a<-1 <<+∞内的总能量就是无穷大；而在每单位时刻点上的平均功率明显地等于1。在习题 1.3中将给出计算离散时间信号能量和功率的其它例子。 17
4+ xIn]cos (n/6) ey 图1.25离散时间正弦信号 一般复指数信号 一般离散时间复指数信号可以用实指数和正弦信号来表示。将C和a均以极坐标形式 给出，即 C=1C le9