满射、单射和双射 例:判断下面函数是否为单射,满射,双射的? (1)f:R→R,f(x)=-x2+2x-1 (2)R→Z,f(x)=Lx」 (3)f:R→R,f(x)=2x+1 解 (1)不是单射,因为x=0,f(x)=-1;x=2,f(x)=-1 不是满射,因为不存在x使得f(x)=1 ()是满射的,不是单射的,因为f15)=(12)=1 (3)依据定义,可以证明fx)=2x+1是双射的
11 满射、单射和双射 例: 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的? (1) f: R→R, f(x) = -x2+2x-1 (2) f: R→Z, f(x) = ⎣x⎦ (3) f: R→R, f(x) = 2x+1 解: (1)不是单射, 因为x=0, f(x)=-1; x=2, f(x) = -1. 不是满射, 因为不存在x使得f(x) = 1. (2) 是满射的, 不是单射的, 因为 f(1.5) = f(1.2) = 1. (3) 依据定义,可以证明f(x) = 2x+1是双射的
满射、单射和双射 例:对于以下给定的A、B和,判断是否能构成函数fA→B.如果 能,说明f:A→B是否为单射满射,双射的,并根据要求进行计 算. (1)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10}, f={<1,8>,39>,4,10>,<2,6>,<5,9} (2)A=B=R,f(X (3)A=B=R×R,f(<x,y>)=<x+y,xy>; 令L={<x,>x,y∈R∧y=x+1},计算(L 解:(1)能既不是单射,也不是满射. (2)能既不是单射,也不是满射 (3)能.是双射.f(L)={<2x+1,-1>|x∈R}=R×{-1} 12
12 满射、单射和双射 例: 对于以下给定的A、B和f, 判断是否能构成函数f:A→B. 如果 能, 说明f: A→B是否为单射,满射,双射的, 并根据要求进行计 算. (1) A = {1,2,3,4,5}, B = {6,7,8,9,10}, f ={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>} (2) A = B = R, f(x) = x2 (3) A=B=R × R, f(<x,y>)=<x+y,x-y>; 令L={<x,y>|x,y∈R∧y=x+1}, 计算f(L). 解: (1) 能. 既不是单射, 也不是满射. (2) 能. 既不是单射, 也不是满射. (3) 能. 是双射. f(L) = { <2x+1, -1> | x∈R } = R × {-1}
满射、单射和双射 例:对于给定的集合A和B构造双射函数f:A→B (1)A=|0,1,B=3,5 (2)A=P({1,2}),B={0,1}0 解:(1)建立过点(0,3)和(1,5的线性方程 >f(x)=2x+3 (2)A={@{1},{2},{1,2},B={,f,f2,f},其中 f0={≤0,0>,1,0>)},f={<0,0>,<1,1>}, f2={0,1>,<1,0>3,f3={<0,1>,1,1} 故可以令f:A→B,使得 f(d)=fo,f({1})=f,f({2})=f2,f({1,2})=f3
13 满射、单射和双射 例: 对于给定的集合A和B构造双射函数f: A→B. (1) A = [0,1], B=[3,5] (2) A=P({1,2}), B={0,1}{0,1} 解: (1) 建立过点(0,3)和(1,5)的线性方程 (2) A={φ,{1},{2},{1,2}}, B={f0, f1, f2, f3}, 其中 f0={<0,0>,<1,0>}, f1={<0,0>,<1,1>}, f2={<0,1>,<1,0>}, f3={<0,1>,<1,1>} 故可以令f: A→B, 使得 f(φ) = f0, f({1}) = f1, f({2}) = f2, f({1,2}) = f3 5 () 5 3 () 2 3 1 10 f x fx x x − − = ⇔ =+ − −
常用的函数 定义: (1)设fA→B,若彐c∈B,x∈A,f(x)=c,则称fA→B是常函数; (2)x∈A,都有IA(x)=x,称恒等关系I为A上的恒等函数 (3)设<A,S和<B,s为偏序集,A→B yx1,x2∈A,若x1x2,则有f(x1)≤x2则称为单调递增的 x1,x2∈A,若x1<x2,则有f(x1)<(x2),则称「为严格单调递增的 类似地也可定义单调递减和严格单调递减的函数 (4)设A为集合,对于任意的A三A,A的特征函数xA→{0,1}定义 为 a∈ x:(a)= a∈A-A (5)设R是A上的等价关系,令g:A→AR, g(a)=lal,va∈A, 称g是从A到商集AR的自然映射 14
14 常用的函数 定义: (1) 设f:A→B, 若∃c∈B, ∀x∈A, f(x) = c, 则称 f: A→B是常函数; (2) ∀x∈A, 都有 IA(x) = x, 称恒等关系IA为A上的恒等函数; (3) 设<A, ≤>和<B, ≤>为偏序集, f: A→B ∀x1, x2∈A, 若x1<x2, 则有 f(x1) ≤ f(x2), 则称f为单调递增的 ∀x1, x2∈A, 若x1<x2, 则有 f(x1) < f(x2), 则称f为严格单调递增的 类似地也可定义单调递减和严格单调递减的函数 (4) 设A为集合, 对于任意的A’ ⊆ A, A’的特征函数χA’: A→{0,1}定义 为 (5) 设R是A上的等价关系, 令g: A→A/R, g(a) = [a], ∀a∈A, 称g是从A到商集A/R的自然映射. 1 ' ( ) 0 ' A a A a aAA χ ′ ⎧ ∈ = ⎨⎩ ∈ −
常用的函数 说明: 单调函数可以定义于一般的偏序集上.例如: 实数集R上的函数f:R→R,f(x)=x+1是严格单调递增的 给定偏序集<P(a,b}R><{0,1},S>.令fP(,)→{0,1}, f(d)=f({0})=f({1=0,f({0,1})=1. 集合的特征函数 设A为集合,A的每一个子集A都对应于一个特征函数不同的子 集对应于不同的特征函数 由于A的子集与特征函数之间的对应关系可以用特征函数来标 记A的不同子集 自然映射 给定集合A和A上的一个等价关系R就可以确定一个自然映射g A→A/R.不同的等价关系将确定不同的自然映射 恒等关系所确定的自然映射是双射.而其他自然映射一般来说只 是满射
15 常用的函数 说明: z 单调函数可以定义于一般的偏序集上. 例如: ¾ 实数集R上的函数f: R→R, f(x) = x+1是严格单调递增的 ¾ 给定偏序集<P({a, b}), R⊆>, <{0, 1}, ≤>. 令f: P({a,b})→{0,1}, f(φ)=f({0})=f({1})=0, f({0,1}) = 1. z 集合的特征函数 ¾ 设A为集合, A的每一个子集A’都对应于一个特征函数,不同的子 集对应于不同的特征函数. ¾ 由于A的子集与特征函数之间的对应关系,可以用特征函数来标 记A的不同子集. z 自然映射 ¾ 给定集合A和A上的一个等价关系R,就可以确定一个自然映射g: A→A/R. 不同的等价关系将确定不同的自然映射. ¾ 恒等关系所确定的自然映射是双射. 而其他自然映射一般来说只 是满射