椭球分布假设x服从方差为I,的球对称分布，密度函数为f(x)=h(llxll)xERP。给定常数向量μERP和p阶正定矩阵Z，则x的仿射变换的分布称为椭球分布：y = 21/2 x +μ ~ Ep(μ, 2)其概率密度函数为p(y) = [2|-1/2 h(y -μ)Tz-1(y -μ)因为x均值为0，方差为lp,Ep(u,2)的均值为μ，协方差为Z。最重要的椭球分布是多元正态分布。例1.假设x服从标准的多元正态1F(x) = (2m)p/z exp (- x1/ /2),则y=Z1/2x+μ的概率密度函数为1p(y) = (2n)p/2/2/1/2 exp(-(y -μm)Tz-1(y - )/2)这称为多元正态分布，y~Np(u,2)8
8 椭球分布 假设𝐱服从方差为𝐼𝑝的球对称分布，密度函数为𝑓(𝐱) = ℎ( 𝐱 ), 𝐱 ∈ 𝑅 𝑝。给定常数向量𝛍 ∈ 𝑅 𝑝和 𝑝 阶正定矩阵Σ，则𝐱的仿射变换 的分布称为椭球分布： 𝐲 = Σ 1/2 𝐱 + 𝛍 ~ 𝐸𝑝(𝛍, Σ) 其概率密度函数为 𝑝 𝐲 = |Σ| −1/2 ℎ((𝐲 − 𝛍) ⊤Σ −1 (𝐲 − 𝛍)) 例1. 假设𝐱服从标准的多元正态 𝑓 𝐱 = 1 (2𝜋) 𝑝/2 exp (− 𝐱 2 /2), 则𝐲 = Σ 1/2 𝐱 + 𝛍 的概率密度函数为 𝑝 𝐲 = 1 (2𝜋) 𝑝/2|Σ| 1/2 exp(−(𝐲 − 𝛍) ⊤Σ −1 (𝐲 − 𝛍)/2) 这称为多元正态分布， 𝐲~𝑁𝑝(𝛍, Σ). 最重要的椭球分布是多元正态分布。 因为𝐱均值为0，方差为𝐼𝑝, 𝐸𝑝 (𝛍, Σ)的均值为𝛍，协方差为Σ
例2.球内均匀分布f(x)=,xl≤1,椭球均匀分布：1g(y) = n2/ y e En = (y: (y - μ)Tz-1(y -w) ≤ 1)椭球En的体积|Enl=BnZ|1/2。椭圆E2=(x1,x2):+≤1)的面积V2= πa1a2，周长没有初等表达a2a2r(k-)r(k+)αkSs - 4 / /asim2(0) .cos(0) d0-2a 2- cr = - /a椭圆积分植球En= (ax.,n);Z--≤1]的体积V=[B"[a1an,而表面积S,没有初等表达，Rivin（2007）给出了一个有趣表达n(-EZn-1X/a?,X1,.,Xn id ~N(0,1/2)SE,=nIgorRivin.Surfaceareaandothermeasuresofellipsoids.AdvancesinAppliedMathematics39(2007)409-4279
9 例2. 球内均匀分布 𝑓 𝐱 = 1 𝐵𝑛 , 𝐱 ≤ 1, 椭球均匀分布： 𝑔 𝐲 = 1 𝐵𝑛 |Σ| 1/2 , 𝐲 ∈ 𝐸𝑛 = {𝐲: (𝐲 − 𝛍) ⊤Σ −1 (𝐲 − 𝛍) ≤ 1} 椭球𝐸𝑛的体积|𝐸𝑛| = 𝐵 𝑛 |Σ| 1/2。 椭圆𝐸2 = 𝑥1, 𝑥2 : 𝑥1 2 𝑎1 2 + 𝑥2 2 𝑎2 2 ≤ 1 的面积𝑉2 = 𝜋𝑎1𝑎2，周长没有初等表达 𝑆𝐸2 = 4 0 𝜋/2 𝑎1 2 sin2 𝜃 + 𝑎2 2 cos2 𝜃 𝑑𝜃 =2𝜋𝑎1 σ𝑘=0 ∞ Γ(𝑘− 1 2 )Γ(𝑘+ 1 2 ) Γ(− 1 2 )Γ(𝑘+1) 𝛼 𝑘 𝑘! , 𝛼 = 1 − 𝑎2 2 /𝑎1 2 椭球𝐸𝑛 = 𝑥1, . , 𝑥𝑛 : σ𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 2 𝑎𝑖 2 ≤ 1 的体积𝑉𝑛 = 𝐵 𝑛 𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛, 而表面积𝑆𝑛没 有初等表达， Rivin（2007）给出了一个有趣表达： 𝑆𝐸𝑛 = 𝑛Γ( 𝑛 2 ) Γ( 𝑛+1 2 ) 𝐸 σ𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 2 /𝑎𝑖 2 ，X1, . , X𝑛 iid ~𝑁(0,1/2) Igor Rivin. Surface area and other measures of ellipsoids. Advances in Applied Mathematics 39 (2007) 409–427 椭圆积分