复旦大学：《数字信号处理》课程教学资源（课件讲稿）第四章 Z变换（定义、收敛域、基本性质、Z反变换、几种变换的对应关系、系统函数与频率特性）

例已知有限长序列x(m)=u(n+1)-u(n-2)。求x(n)的 双边Z变换及其收敛域 解:X(z)=∑x(n)xm=∑(n+1)-(m-2)a n=-00 n=-00 2z-m=z+1+% n n X(n)z Z+1+ 所以,当0<<∞时,级数收敛 21

例 已知有限长序列x(n)=u(n+1)-u(n-2)。求x(n)的 双边Z变换及其收敛域。 解： n n n n X z x n z u n u n z         ( )   ( )  [ ( 1)  (  2)]    1 n 1 n z 1 1   z   z z x n z z z n n n n 1 ( ) 1 1 1           所以，当 0  z   时，级数收敛。 21

例求x(η)=m"u(m的Z变换及其收敛域 解:X(2)=2a")=-∑ n=-00 所以,当z时X(z)收敛。于是得: (z)=/a 2一

例 求x(n)=a nu(n)的Z变换及其收敛域 解：                n 0 n n n n z a X (z) a u(n)z 所以，当|z|>|a|时X(z)收敛。于是得： z a z z az a X z n n                0 1 1 1 ( ) 22

例求x(m)=-a門u(-1)的Z变换及其收敛域 解:X(z)=∑-a(-n-1) X(z)存在要求|a1z1,即收敛域为z<d X(z)=

例 求x(n)= -a nu(-n-1)的Z变换及其收敛域。 解： X(z)存在要求|a -1z|<1，即收敛域为|z|<|a|          n n n X(z) [ a u( n 1)]z                     1 1 n n n n n z a a z a a z z X z          1 1 ( ) z a z   23

例x(n)=al,a为实数,求x(m)的Z变换及其收敛域。 解:X(z)=∑a"z"+∑a"z n=0 ∑a"x"+∑ =0 第一部分收敛域为az1<1,得到l>al; 第二部分收敛域为al<1,得|z|<al 如果|a<1,两部分的公共收敛域为ada1

例 x(n)=a |n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。 解： 第一部分收敛域为|az-1 |<1， 得到|z|>|a|； 第二部分收敛域为|az|<1， 得|z|<|a|-1 。             1 0 ( ) n n n n n n X z a z a z          0 m 1 m m n n n a z a z 如果|a|<1，两部分的公共收敛域为|a|<|z|<|a|-1 24

其Z变换如下式: az X(z) az 11-c z-a 2-a a<za 如果|a>1,则无公共收敛域,因此X(z)不存在 Im[z Re[zl 202 0<a<l

其Z变换如下式： |a|<|z|<|a|-1 如果|a|≥1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。 0<a<1 az az az X z      1 1 1 ( ) 1 1     z a z z a z 25