第三次习题课 施剑阳 电磁波信息科学重点实验室 Key lab of lectromagnetic Wave 旦大學 In formation science 等後 FUDAN UNIVERSITY
第三次习题课 施剑阳
1.假如x(n)的z变换代数表示式是下式,问X(z)可能有多少不同的收敛域。 X(二) (1+z-)1+z+z 分析: 有限长序列的收敛域为:0<1<∞,n1≤n≤n2 特殊情况有:0<≤,n1≥0 05= ≤0 右边序列的收敛域为:R3-<<∞,n≥n1 因果序列的收敛域为:R<|s∞,n≥n20 左边序列的收敛域为:0<<R+,n≤n2 特殊情况有:|1<R+,n≤n2s0 双边序列的收敛域为:R-<<R+ 有三种收敛域:圆内、圆外、环状(=0,z=∞要单独讨论) 电波信息科学重点实验室復旦大缪 UDAN UNIVERSITY
1.假如 x(n) 的 z 变换代数表示式是下式，问 X (z)可能有多少不同的收敛域。 ) 8 3 4 5 )(1 4 1 (1 4 1 1 ( ) 2 1 2 2 − − − − + + + − = z z z z X z 分析： 有三种收敛域 ：圆内、圆外、环状（ ， 要单独讨论） 双边序列的收敛域为： 特殊情况有 ： 左边序列的收敛域为： 因果序列的收敛域为： 右边序列的收敛域为： 特殊情况有： 有限长序列的收敛域为： 0 , 0 0 , , 0 , 0 , 0 0 , 0 0 , 2 2 1 1 2 1 1 2 = = − + + + − − z R z R z R n n z R n n R z n n R z n n z n z n z n n n x x x x x x
解:对X(Z)的分子和分母进行因式分解得 (1-2-)(1+z-) X(Z)= (1+z2)(1+z)(1+3z) (1+jz-)1-jz)(1+z-1) X(Z)的零点为:1/2,极点为:j2,-j2,-3/4 ∴X(Z)的收敛域为 (1)1/2<|Z|<3/4,为双边序列 2)|Z|<12 为左边序列 (3)|Z|>3/4 为右边序列 电磁波信息科学重点实验室步 视熙大学 FUDAN UNIVERSITY
解 : 对 X(Z)的分子和分母进行因式分解得 ) 4 3 )(1 2 1 )(1 2 1 (1 2 1 1 1 1 1 1 − − − − + − + − = j Z j Z Z Z X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4 ∴ X(Z)的收敛域为 : (1) 1/2 < | Z | < 3/4 , 为双边序列 (2) | Z | < 1/2 , 为左边序列 (3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列 ) 4 3 )(1 2 1 )(1 4 1 (1 ) 2 1 )(1 2 1 (1 ( ) 2 1 1 1 1 − − − − − + + + − + = Z Z Z Z Z X Z
2若x(mn),x2(mn)是因果稳定序列,求证 XI(e)x2(e/ ) da X(edo 2丌 2丌- 分析: 利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 x,(n)*x,(n)=X, (e o )x2 (elo )e/lonc 而x1(m)*x2( x1(O)x2(O) X(ex2(eo)do 2丌 再利用x(n)、x2(n)的傅里叶反变换,代入n=0即可得所需结果。 电磁波信息科学重点实验室步 视熙大学 FUDAN UNIVERSITY
2.若 ( ), ( ) x1 n x2 n 是因果稳定序列，求证： − − − = ( ) } 2 1 ( ) }{ 2 1 ( ) ( ) { 2 1 X1 e X2 e d X1 e d X2 e d j j j j 分析： 利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 x n x n X e X e e d j j j n ( ) ( ) 2 1 ( )* ( ) 1 2 1 2 − = ， 而 ( ) ( ) 2 1 (0) (0) 0 ( ) * ( ) 1 2 1 2 1 2 X e X e d x x n x n x n j j − = = = 再利用 ( ) ( ) 1 2 x n 、x n 的傅里叶反变换，代入 n = 0 即可得所需结果
证明 设y(n)=x(n)*x2(m)则 Y()=X1(=)·X2( (e)=X1(e/)·X2(e) X,(elo)x2(e/o)e/onc ∴x1(n) XI(e ) e 2丌 1【2X2( jo cOndo Y(eoe/ndo 2丌 y(n O 2丌 x1(n)*x2(n) x2 X,(e do 2丌 X(e)x2(e/ ) do 丌 =x1(m)*x2(n)l=0 o, (e)x2(el o )do x(k)(n-k X(e)do i ∫x O 2丌 2丌 x(O)·()电磁波信息科学重点实验室视里大学 FUDAN UNIVERSITY
证明: − = = = X e X e e d Y e X e X e Y z X z X z y n x n x n j j j n j j j ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 设 1 2 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 x n x n y n Y e e d j j n = = = − (0) (0) ( ) ( ) ( ) ( )| ( ) ( ) 2 1 1 2 0 0 1 2 1 2 0 1 2 x x x k x n k x n x n X e X e d n n k n j j = = − = = = = − − − = = • • • x n X e e d x n X e e d j j n j j n ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 2 1 1 ∴ − = x X e d j ( ) 2 1 (0) 1 1 − = x X e d j ( ) 2 1 (0) 2 2 − − − = ( ) } 2 1 ( ) }{ 2 1 { ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 X e d X e d X e X e d j j j j