式中 1 58 三,满足边界条件的解 11 在简谐振动时,电场和位移都是时间的正弦函数即E3=Eeot ξ=aeot代入(57)式,得到 2 59 这是波速为υ的波动方程,其通解为 ≡Acos=x)+Bsin 60 系数AB可以通过边界条件(机械自由义=0求得 31 1 1「oo dreY 61) 1 X=El-A- sin (x)+Bcos(x)-d31eoeiot 62 当x0和X时,Ⅹ1仨=0.从而 Ud,e B Audre (63 sIn 由此得到方程的解为 udz, Eo/ cos 1 con-x+ sin (-x)e 64
式中 . (58) 三. 满足边界条件的解 在简谐振动时,电场和位移都是时间的正弦函数,即E3=E0e it , =0e it , 代入(57)式,得到 . (59) 这是波速为的波动方程,其通解为 . (60) 系数A,B可以通过边界条件(机械自由X1=0)求得 (61) . (62) 当x=0 和x=l时, X1=0. 从而 . (63) 由此得到方程的解为 (64)
或写为本:= ud31Eo cos(y a-x))-cos(x) t 65 sin t=0时,=u x)-cOs(? 1.x=0,= ×=12E0 dz./1-cos( X=. sIr t=π(o时 Eo COs (x)-cos(=0-x) ud3,Eo x=0,=0如ex=2,=0 由此可以写出压电振子的应变应力以及电位移与xt的关系 3(3) sin(-(l-x))+sin(x) dase sIn t=0 dz Eo sin((1-x))+sing x) X,x, t) sIn 0 D3(xt=a3x1+3E3=//s( t sir s 1+e33Eolelot t=m/w
或写为本 . (65) t=0时, .x=0, ;x=l/2, =0; x=l, . t=/时, . X=0, ; x=l/2, =0; x=l, . 由此可以写出压电振子的应变,应力以及电位移与x,t的关系
四.通过压电振子的电流 dQ3 dt (66 电极面上的电荷Q3为 3 Dads (67 将D3表达式代入式(67)中,可得到 d3,Eo sin(F(-x)+sin(x) sin 1+e3Eoeiwtdxdy =Eg(c0(0-x)-cx) 1+e3eoleiout E0u/2-2co3 () 1+e33eoleic E 1+E33Eole (68) 进一步得到通过压电振子电极面的电流 dQ tan delot =Iw 1|+E2E dt Eo/tan( ilw 1+E3E 2u (69)
四. 通过压电振子的电流 . (66) 电极面上的电荷Q3为 (67) 将D3表达式代入式(67)中, 可得到 (68) 进一步得到通过压电振子电极面的电流 (69)
五.压电振子的等效导纳 G=1/Z=13/ (70 两电极面上的电压∨3为 E 3 dz tE 71) 0 将(69)和(71)式代入(70)式中,可得到压电振子的等效导纳为 ilw tan G t 2 ilw d tan (72) 下面讨论压电振子在不同频率时导纳的性质 (1)频率很低时 0→>0,-12=1.代入(72)式,可得等效导纳 ilw t 73 其中低频电容传c0= (74)
五. 压电振子的等效导纳 G=1/Z=I3 /V3 (70) 两电极面上的电压V3为 (71) 将(69)和(71)式代入 (70)式中, 可得到压电振子的等效导纳为 (72) 下面讨论压电振子在不同频率时导纳的性质. (1)频率很低时 →0, . 代入(72)式,可得等效导纳 (73) 其中低频电容传 (74)
可见低频时压电振子等效为一个电容 可以通过测量电容来确定自由介电常数 这里低频是指外加交变电场的频率f(o=2m)远小于压电振子的谐 振频率f(r=2mf) 为什么低频时测量的是自由介电常数而不是夹持介电常数呢? 看看低频时的应力X1和应变x1 dz En/ sin((1-x))+sin(x X1llow lim sIn 1-x))+(x) 1 0 1 sin/a a-x))+sin(x) lim d,e eot -x)+(x) ≈d21E 因此,低频时应力为零,应变不为零即边界条件为应力自由所以测量 的介电常数为自由介电常数
• 可见低频时压电振子等效为一个电容. • 可以通过测量电容来确定自由介电常数 . • 这里低频是指外加交变电场的频率f(=2f)远小于压电振子的谐 振频率f r (r=2f r ). 为什么低频时测量的是自由介电常数而不是夹持介电常数呢? 看看低频时的应力X1和应变x1 . 因此,低频时应力为零,应变不为零.即边界条件为应力自由.所以测量 的介电常数为自由介电常数