§5.4变分方法 微扰方法需要知道与H相近的体系的解。若不知道H的解, 则估计H基态能量较好的方法是变分法 变分法有广泛的应用
§5.4 变分方法 ◼ 微扰方法需要知道与H相近的体系的解。若不知道H0的解， 则估计H基态能量较好的方法是变分法。 ◼ 变分法有广泛的应用
变分原理 若以尝试态矢|0)表示真正的基态p0>,则其能量期待值是E的上限 0〉=∑|k)k) Hk>=Eklk> 人=0 ∑Kk)》12E6∑Kk0》)2(Ek=E0) h= ∑Kk0〉12 ∑Kk)|2 k=0 上述推导表明E为E0的必要条件是0)为基态或简并基态的线性组合 论 1.若态矢误差为一阶小量,(k0〉~0(ε)fork≠0,则能量误差是二阶小量: 厅-Eo~0(ε2).用不很精确的尝试波函数,也可求得相对精确的基态能量. 2.若能减少尝试波函数的高激发态成分,则有益于对E0的估计精度
一、变分原理 ◼若以尝试态矢 表示真正的基态|0>，则其能量期待值是E0的上限: ◼ 上述推导表明E为E0的必要条件是 为基态或简并基态的线性组合。 ◼ 讨论： 1. 若态矢误差为一阶小量, 则能量误差是二阶小量： 用不很精确的尝试波函数,也可求得相对精确的基态能量. 2. 若能减少尝试波函数的高激发态成分，则有益于对E0的估计精度。 0 ~ 0 ~
3对由参数描述的任意尝试态矢,0)=0),,得到的能量越小越接近 E°故有参数优化条件:8=0. 0入 0入 利用该极值或变分条件可获得参数的优化值,代入期待值表达式可得 E在|0)=0)下的最佳近似。 {42}
3. 对由参数描述的任意尝试态矢， ，得到的能量越小越接近 E0。故有参数优化条件： ◼ 利用该极值或变分条件可获得参数的优化值，代入期待值表达式可得 E0在 下的最佳近似。 { } 0 ~ 0 ~ i = { } 0 ~ 0 ~ i =
变分法应用举例 例1:对H原子b≈B2 h210,0 +1(r) 2 2m r2 ar arh2r2 基态用〈x〉aea作为尝试波函数,其中a为参量。由于用了与基 态波函数形式相同的函数作为尝试波函数,由变分条件可定出a=ao 和严格的基态能量 若选用v(x,a)=exp(-ax2/2),得E(a)E 一般而言,我们只能根据基态所具有的一些特征而选择相应的尝试波 函数并优化之
二、变分法应用举例 ◼ 例1：对H原子 ◼ 基态用 作为尝试波函数,其中a为参量。由于用了与基 态波函数形式相同的函数作为尝试波函数，由变分条件可定出 a=a0 和严格的基态能量。 ◼ 一般而言，我们只能根据基态所具有的一些特征而选择相应的尝试波 函数并优化之。 2 0 0 8 ( , ) exp( / 2) E( )= E . 3 x x 若选用 = − ，得 2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 − − = + = − + p L e H V r r m m r r r r r
例2 0, for [x<a 〈x0)= 2a Eo forx> 取〈x0)〉 2m (a2-x2)2d 若取〈x10)=|a 则 H (λ+1)2入+1)h2 (2入 优化得=(1+6) 5+2 1.72 H Ea=100298E 2 虽然使用的尝试波函数非常简单,该结果却很好
◼ 例2： ◼ 取 ◼ 若取 ◼ 则 ◼ 优化得 ◼ 虽然使用的尝试波函数非常简单,该结果却很好