D0I:10.13374/1.issm100103.2009.02.0☒ 第31卷第2期 北京科技大学学报 Vol.31 No.2 2009年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.2009 带有遗忘因子的滤波器型迭代学习直线伺服系统 曹勇12) 李华德) 1)北京科技大学信息工程学院，北京1000832)辽宁工业大学电气工程学院，锦州121001 摘要针对永磁直线同步电机伺服系统，提出开闭环迭代学习控制器，实现期望直线位置的跟踪控制，分析了永磁直线同 步电机的2一D模型及选代学习直线伺服系统的收敛性·通过减小系统输入误差协方差矩阵迹的方式得到优化的遗忘因子， 来修正控制输入的迭代学习律，同时采用零相位FIR数字滤波器对前馈学习控制器中的误差信号进行滤波处理.实验结果表 明，带有遗忘因子的滤波器型迭代学习控制器能够保证直线伺服系统在不断的迭代学习中提高性能，有效抑制端部推力波 动，系统具有很好的学习收敛速度、动态响应及控制精度： 关键词直线伺服：迭代学习：遗忘因子：滤波器：收敛性 分类号TM921.5:TP273+.2 Filtered-version iterative learning linear servo system with forgetting factor CAO Yong2),LI Huade) 1)School of Information Engineering University of Science and Technology Beijing Beijing 100083.China 2)College of Electrical Engineering,Liaoning University of Technology.Jinzhou 121001.China ABSTRACT An open-closed loop iterative learning controller was proposed to control the mover of a permanent magnet linear syn- chronous motor (PMLSM)servo system to track expectation linear position.The two-dimensional model of PMLSM and the conver- gence of the iterative learning linear servo system were analyzed in detail.The forgetting factor was optimized by reducing the trace of the input error covariance matrix.This factor is able to modify the iterative learning law of control input.The error signal of the feed- forward learning controller was filtered by a zero"phase FIR digital filter.Experiment results demonstrate that the filtered-version it- erative learning controller with forgetting factor can surely improve the performance of the servo system in iterative learning process and effectively suppress the ripple of end force.The system has good learning convergence speed,dynamic response and control preci- sion. KEY WORDS linear servo:iterative learning:forgetting factor:filter:convergence 高性能直线伺服系统是实现高速、高精度数控 在问题，国内外学者已开展多方面研究，特别集中在 机床进给装置的重要核心技术.特别是由高效永磁 直线伺服系统的控制技术上，文献[3]采用变增益 直线同步电机(PMLSM)所构成的直线伺服机构， 零相位误差跟踪与H鲁棒控制相结合的控制策 消除了传统意义上的中间传动环节，能够从根本上 略，可以克服系统建模误差及参数变化的影响，同时 实现电机与工作台之间的零传动，具有响应快、位置 能够保持系统鲁棒性能，文献[45]采用滑模变结 跟踪准确、效率高等优点】，但是，这种零传动工 构控制策略，当系统进入滑动模态后具有完全鲁棒 作模式未经过任何中间环节缓冲，容易受到参数摄 性；但是开关控制函数的作用使系统存在抖振现象， 动、负载扰动等不确定因素的影响，并增加控制上的 文献[6]采用递归模糊神经网络构成位置控制器，虽 难度.同时，由于PMLSM本身固有的端部效应特 然可以不依赖被控对象模型，但需要专家经验知识； 性，还将产生周期性的端部推力波动，这会导致物件 同时网络学习算法复杂，难于实际应用， 加工表面出现划痕并影响产品的品质，针对上述存 在直线进给伺服系统实际运动过程中，往往要 收稿日期：2008-03-05 基金项目：北京市自然科学基金资助项目(N。,KZ200410005005) 作者简介：曹勇(1977-)，男，博士研究生；李华德(1941一)，男，教授，博士生导师，Emai:lhd@ies-ustb.edu-cn
带有遗忘因子的滤波器型迭代学习直线伺服系统 曹 勇12） 李华德1） 1） 北京科技大学信息工程学院北京100083 2） 辽宁工业大学电气工程学院锦州121001 摘 要 针对永磁直线同步电机伺服系统提出开闭环迭代学习控制器实现期望直线位置的跟踪控制．分析了永磁直线同 步电机的2－D 模型及迭代学习直线伺服系统的收敛性．通过减小系统输入误差协方差矩阵迹的方式得到优化的遗忘因子 来修正控制输入的迭代学习律同时采用零相位 FIR 数字滤波器对前馈学习控制器中的误差信号进行滤波处理．实验结果表 明带有遗忘因子的滤波器型迭代学习控制器能够保证直线伺服系统在不断的迭代学习中提高性能有效抑制端部推力波 动系统具有很好的学习收敛速度、动态响应及控制精度． 关键词 直线伺服；迭代学习；遗忘因子；滤波器；收敛性 分类号 T M921∙5；TP273＋∙2 Filtered-version iterative learning linear servo system with forgetting factor CA O Yong 12）LI Hua-de 1） 1） School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） College of Electrical EngineeringLiaoning University of TechnologyJinzhou121001China ABSTRACT An open-closed loop iterative learning controller was proposed to control the mover of a permanent magnet linear synchronous motor （PMLSM） servo system to track expectation linear position．T he two-dimensional model of PMLSM and the convergence of the iterative learning linear servo system were analyzed in detail．T he forgetting factor was optimized by reducing the trace of the input error covariance matrix．T his factor is able to modify the iterative learning law of control input．T he error signal of the feedforward learning controller was filtered by a zero-phase FIR digital filter．Experiment results demonstrate that the filtered-version iterative learning controller with forgetting factor can surely improve the performance of the servo system in iterative learning process and effectively suppress the ripple of end force．T he system has good learning convergence speeddynamic response and control precision． KEY WORDS linear servo；iterative learning；forgetting factor；filter；convergence 收稿日期：2008-03-05 基金项目：北京市自然科学基金资助项目（No．KZ200410005005） 作者简介：曹 勇（1977－）男博士研究生；李华德（1941－）男教授博士生导师E-mail：lhd＠ies．ustb．edu．cn 高性能直线伺服系统是实现高速、高精度数控 机床进给装置的重要核心技术．特别是由高效永磁 直线同步电机（PMLSM）所构成的直线伺服机构 消除了传统意义上的中间传动环节能够从根本上 实现电机与工作台之间的零传动具有响应快、位置 跟踪准确、效率高等优点［1－2］．但是这种零传动工 作模式未经过任何中间环节缓冲容易受到参数摄 动、负载扰动等不确定因素的影响并增加控制上的 难度．同时由于 PMLSM 本身固有的端部效应特 性还将产生周期性的端部推力波动这会导致物件 加工表面出现划痕并影响产品的品质．针对上述存 在问题国内外学者已开展多方面研究特别集中在 直线伺服系统的控制技术上．文献［3］采用变增益 零相位误差跟踪与 H∞ 鲁棒控制相结合的控制策 略可以克服系统建模误差及参数变化的影响同时 能够保持系统鲁棒性能．文献［4－5］采用滑模变结 构控制策略当系统进入滑动模态后具有完全鲁棒 性；但是开关控制函数的作用使系统存在抖振现象． 文献［6］采用递归模糊神经网络构成位置控制器虽 然可以不依赖被控对象模型但需要专家经验知识； 同时网络学习算法复杂难于实际应用． 在直线进给伺服系统实际运动过程中往往要 第31卷 第2期 2009年 2月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．2 Feb．2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．02．023
第2期 曹勇等：带有遗忘因子的滤波器型迭代学习直线伺服系统 .267. 求伺服工作台按照物件的加工形状做周期性运动， P(i) 根据这种工作特点进行周期迭代学习，可以保证系 F12(i)= 统获得满意的伺服性能-0).迭代学习控制特别适 Q(i) p() 用于这种具有重复运动性质的被控系统，它可以利 3卫「Q(i) F1()=-2ML0 P() 用前一次或前几次操作时测得的输出信号与给定目 标之间的偏差信息，来修正被控对象的控制输入信 号].本文提出带有自适应遗忘因子的滤波器 「-D/MO F22= 0 1 型开闭环迭代学习控制算法，其中遗忘因子根据输 入误差协方差的大小进行自适应调节，零相位FIR 式中，P()-"sm无()，0()=g× 数字滤波器用来消除系统量测噪声的干扰，整体系 统经过多次迭代学习运算，不仅可以抑制端部推力 受()，R为初级绕组电阻，L,为初级绕组 波动的影响，获得很高的跟踪精度，同时系统具有很 电感，平m为永磁体磁链幅值，P。为极对数，D为黏 强的鲁棒性能 滞摩擦系数，τ为极距，M为动子质量， 1.2端部推力波动模型 1永磁直线同步电机数学模型 PMLSM结构中的动子为有限长，将造成铁心 1.12D模型描述 两个端部所受到的永磁体磁力不同，这种端部推力 直线伺服系统的迭代学习控制过程实质上包含 表现为极距形式的周期性推力波动.一般情况下， 时间过程和迭代过程两个方面，由于2D系统分析 电机的端部推力可以看成两个半无限长的动子铁心 方法特别适用于动态过程依赖于两个独立变量而进 单端受力的合成结果，对于实际长度为Q的动子 行变化的系统，因此采用2D模型方式能够清楚表 铁心，其总的端部推力为： 达直线伺服系统在时域上的动态特性和空间上的迭 fe(i,j)=fl(i,j)+f2(i,j) 代学习过程. fm2经{ai+9 (2) 直线伺服系统被控对象一PMLSM在两相静 止坐标系α一B下的2D模型描述为： 式中，f1(i,j)和f2(i,j)为左侧与右侧端部推力， X(i+1,j)=(i)x(i,j)+Bu(i,j) (1) 二者幅值相等、受力相反.f。=foQ十 Y(i,j)=cx(i,j) 其中，变量i表示系统在时间上的动态特性，即离散 snQ,寸和为傅里叶系数，r为极距. 时间变量；变量j表示迭代学习过程的动态特性，即 由式(2)可以看出，PMLSM总的端部推力是一 迭代次数离散变量，这两种动态过程彼此独立， 种周期函数，具有重复性运动效果，当直线伺服系 状态变量：X(i,j)=[ia(i,j)(i,j) 统采用迭代学习控制方法时，可以保证系统性能在 (i,j)d(i,j)]; 迭代学习中不断提高，抑制端部推力波动对系统所 输入变量：u(i,j)=[ua(i,j)u(i,j》]P; 造成的跟踪精度不高的影响，同时对量测信号进行 输出变量：Y(i,j)=[v(ij)d(i,j)]； 零相位滤波处理，也可以抑制由量测噪声所带来的 ,「F1F2(i) 系数矩阵：D(i)=IE+F21(i)F2丁 推力波动 Te, 「1/L.000T0010 2开闭环迭代学习直线伺服系统 B-L01VL.00c-L0001 将迭代学习控制应用于直线伺服系统实际工程 式中，ia(i,j)和ua(i,j)为a轴电流和电压，(i, 时，系统将不可避免遇到各种干扰，包含初始偏移、 )和u(i,j)为B轴电流和电压，v(i,j)为动子直 状态扰动、量测噪声及输入扰动等，这样，采用带有 线速度，d(i,j)为动子直线位置，IE为单位阵，T。 遗忘因子的滤波器型开闭环迭代学习控制方法能够 为采样周期，L,为初级绕组电感 实现高性能的直线伺服系统，开闭环迭代学习控制 系数矩阵Φ(i)中F1、F2(i)、F21(i)和F22的 包含前馈学习控制器和反馈学习控制器，可以综合 定义如下： 利用系统当前及过去的运行信息而进行迭代学习， 来修正被控对象的当前控制输入·其中，反馈学习 LL01 控制器主要用于保证系统镇定和抑制外部干扰，而
求伺服工作台按照物件的加工形状做周期性运动 根据这种工作特点进行周期迭代学习可以保证系 统获得满意的伺服性能［7－10］．迭代学习控制特别适 用于这种具有重复运动性质的被控系统它可以利 用前一次或前几次操作时测得的输出信号与给定目 标之间的偏差信息来修正被控对象的控制输入信 号［11－12］．本文提出带有自适应遗忘因子的滤波器 型开闭环迭代学习控制算法其中遗忘因子根据输 入误差协方差的大小进行自适应调节零相位 FIR 数字滤波器用来消除系统量测噪声的干扰整体系 统经过多次迭代学习运算不仅可以抑制端部推力 波动的影响获得很高的跟踪精度同时系统具有很 强的鲁棒性能． 1 永磁直线同步电机数学模型 1∙1 2－D 模型描述 直线伺服系统的迭代学习控制过程实质上包含 时间过程和迭代过程两个方面．由于2－D 系统分析 方法特别适用于动态过程依赖于两个独立变量而进 行变化的系统因此采用2－D 模型方式能够清楚表 达直线伺服系统在时域上的动态特性和空间上的迭 代学习过程． 直线伺服系统被控对象———PMLSM 在两相静 止坐标系 α－β下的2－D 模型描述为： X（ i＋1j）＝Φ（ i）X（ ij）＋Bu（ ij） Y（ ij）＝CX（ ij） （1） 其中变量 i 表示系统在时间上的动态特性即离散 时间变量；变量 j 表示迭代学习过程的动态特性即 迭代次数离散变量．这两种动态过程彼此独立． 状态变量：X（ ij ）＝ ［ iα（ ij ） iβ（ ij ） v （ ij） d（ ij）］ T； 输入变量：u（ ij）＝［ uα（ ij） uβ（ ij）］ T； 输出变量：Y（ ij）＝［ v（ ij） d（ ij）］ T； 系数矩阵：Φ（ i）＝ IE＋ F11 F12（ i） F21（ i） F22 Tc B＝ 1／Ls 0 0 0 0 1／Ls 0 0 T C＝ 0 0 1 0 0 0 0 1 ． 式中iα（ ij）和 uα（ ij）为 α轴电流和电压iβ（ i j）和 uβ（ ij）为 β轴电流和电压v （ ij）为动子直 线速度d（ ij）为动子直线位置IE 为单位阵Tc 为采样周期Ls 为初级绕组电感． 系数矩阵 Φ（ i）中 F11、F12（ i）、F21（ i）和 F22的 定义如下： F11＝－ Rs Ls 1 0 0 1 F12（ i）＝ 1 Ls P（ i） π τ Q（ i） － Q（ i） π τ P（ i） F21（ i）＝－ 3Pn 2M Q（ i） P（ i） 0 0 F22＝ － D／M 0 0 1 ． 式中P（ i）＝ π τ Ψpm sin π τ d（ i） Q（ i）＝ π τ Ψpm× cos π τ d（ i） Rs 为初级绕组电阻Ls 为初级绕组 电感Ψpm为永磁体磁链幅值Pn 为极对数D 为黏 滞摩擦系数τ为极距M 为动子质量． 1∙2 端部推力波动模型 PMLSM 结构中的动子为有限长将造成铁心 两个端部所受到的永磁体磁力不同这种端部推力 表现为极距形式的周期性推力波动．一般情况下 电机的端部推力可以看成两个半无限长的动子铁心 单端受力的合成结果．对于实际长度为 Q 的动子 铁心其总的端部推力为： f e（ ij）＝ f e1（ ij）＋ f e2（ ij）＝ ∑ ∞ n＝1 f nsin 2πn τ d（ ij）＋ Q 2 （2） 式中f e1（ ij）和 f e2（ ij）为左侧与右侧端部推力 二者 幅 值 相 等、受 力 相 反． f n＝ f′ncos πn τ Q＋ f″nsin πn τ Qf′n和 f″n 为傅里叶系数τ为极距． 由式（2）可以看出PMLSM 总的端部推力是一 种周期函数具有重复性运动效果．当直线伺服系 统采用迭代学习控制方法时可以保证系统性能在 迭代学习中不断提高抑制端部推力波动对系统所 造成的跟踪精度不高的影响同时对量测信号进行 零相位滤波处理也可以抑制由量测噪声所带来的 推力波动． 2 开闭环迭代学习直线伺服系统 将迭代学习控制应用于直线伺服系统实际工程 时系统将不可避免遇到各种干扰包含初始偏移、 状态扰动、量测噪声及输入扰动等．这样采用带有 遗忘因子的滤波器型开闭环迭代学习控制方法能够 实现高性能的直线伺服系统．开闭环迭代学习控制 包含前馈学习控制器和反馈学习控制器可以综合 利用系统当前及过去的运行信息而进行迭代学习 来修正被控对象的当前控制输入．其中反馈学习 控制器主要用于保证系统镇定和抑制外部干扰而 第2期 曹 勇等： 带有遗忘因子的滤波器型迭代学习直线伺服系统 ·267·
.268 北京科技大学学报 第31卷 前馈学习控制器能够实现快速的完全跟踪任务，从 高了系统的鲁棒跟踪性能，在此基础上，通过减小 而保证系统的学习收敛速度，系统具体结构如图1 系统输入误差协方差矩阵迹的方式得到优化遗忘因 所示.其中，y,(i,j)∈R2x1为系统期望输入，包含 子的取值规律：因为矩阵迹的减小能够代表输入误 期望直线位置d(i,j)和直线速度vr(i,j),期望 差向量元素均方差值的减小，最终使系统跟踪误差 直线位置d,(i,j)与实际直线位置d(i,j)相比较 减小. 得到直线位置误差ea(i,j),同时送入位置调节器 假设系统满足如下特性：当期望输出Y(i,) 得到期望直线速度.(i,j),并与实际直线速度 时，仅存在唯一的有界输入4(i,)使系统满足 v(i,j)相比较得到直线速度误差e,(i,j),构成直 X(i1,j)=(i)X.(i,j)Bu(i,j) (9) 线伺服系统的二维误差信号： Y(i,j)=CX(i,j) e(i,j)=[e(i,j) ea(i,j)] (3) 令状态误差向量为△x(i,j)=X(i,j)一 一F网一亭g存储器 X(i,j),输入误差向量为△u(i,j)=u(i,j)一 viniD u(i,j). Ig-adi.) 4e(.J) i站 在迭代学习控制的离散时间域内，通过状态方 程的递推运算可以得到时刻(i十m)时的状态变量： i,) [X+l,D=(0i,+B4,D (i,) X(计m,j)= Y(i.)cx(i.) 图1开闭环迭代学习伺服控制系统 ()K(i)+2()Bx(计1一1，） Fig.1 Open-closed loop iterative learning servo control system (10) 将其分别代入式(1)和(9)中，得到系统的输出 将该误差信号送入带有遗忘因子的滤波器型开 误差为： 闭环迭代学习控制器中，得到永磁直线同步电机控 e(i+m,j)=Y(i十m,j)一Y(i十m,j)= 制输入量的迭代学习控制律为： u(i,j)=u(i,j）十m(i,j） (4) C()△x(i,》十之c()n-g△M+1-1,》 三1 其中，前馈学习控制器输出： (11) (i,j十1)= 同时，结合式(4)描述的遗忘因子型迭代学习控制 [Ig-a(i,j)]u(i,j)+LpI[FMe(i,j)](5) 律，得到输入误差的迭代公式为： 反馈学习控制器输出： Au(i,j+1)=[Ig+Lp2 H(i)B][I- um(i,j)=Lp2e(i,j） (6) a(i,j)-LpI FMH(i)B]Au(i,j) 将式(5)和(6)代入式(4)中可以看出，第j次开 a(i,j)u(i,j)-Lpl FM Hm(i)△X(i,j)一 闭环迭代控制输入(i,)中不仅包含前次迭代输 Lp2Hm(i)△x(i,j+1)f (12) 出误差信息e(i,j一1)，同时也包含当前输出误差 信息e(i,j)式中，(i,j)为遗忘因子矩阵，FM为 其中，H.()=空C()-1 =1 零相位FIR数字滤波器算子，L1为前馈学习增益， 由上式可以看出，△u(i,j十1)是遗忘因子 L2为反馈学习增益，下面给出遗忘因子矩阵及零 (i,)的函数，因此得到输入误差协方差矩阵为： 相位FIR数字滤波器的设计方法， c0V[△u(i,j+1),△u(i,j+1)]=C0V(a(i,j)) 2.1遗忘因子矩阵 (13) 在直线伺服系统中引入遗忘因子矩阵α(i,j) 这样，能够通过减小系统输入误差协方差矩阵 修正迭代学习律，保证系统第广次迭代学习计算中， 迹的方式来得到优化的遗忘因子矩阵a*(i,j): 在该迭代学习域的每个时间域上使输入误差进一步 2ltrace[COV(a(i=0 减小，遗忘因子矩阵基本取值原则满足公式： aa(i,j） (14) 0≤[lE-a(i,j)]<IE (7) 使j+1次输入变量u(i,j+1)→u(i,j+1), lim a(i,j)=0 (8) 也即获得唯一的控制输入(i,j十1)，使时间域内 这样，系统在迭代学习域中后续时间域上的误 的系统输出limY(i,j)=Y.(i) 差将小于前面时间域上的误差，并保证控制输入收 2.2零相位FIR数字滤波器 敛到期望控制，系统得到很好的输出跟踪，同时也提 迭代学习控制系统在实际运行中，对量测信号
前馈学习控制器能够实现快速的完全跟踪任务从 而保证系统的学习收敛速度．系统具体结构如图1 所示．其中Yr（ ij）∈R 2×1为系统期望输入包含 期望直线位置 dr（ ij）和直线速度 vr（ ij）．期望 直线位置 dr（ ij）与实际直线位置 d（ ij）相比较 得到直线位置误差 ed （ ij）同时送入位置调节器 得到期望直线速度 vr （ ij ）并与实际直线速度 v （ ij）相比较得到直线速度误差 ev （ ij）构成直 线伺服系统的二维误差信号： e（ ij）＝［ ev（ ij） ed（ ij）］ T （3） 图1 开闭环迭代学习伺服控制系统 Fig．1 Open-closed loop iterative learning servo control system 将该误差信号送入带有遗忘因子的滤波器型开 闭环迭代学习控制器中得到永磁直线同步电机控 制输入量的迭代学习控制律为： u（ ij）＝ uff（ ij）＋ ufb（ ij） （4） 其中前馈学习控制器输出： uff（ ij＋1）＝ ［ IE－α（ ij）］ u（ ij）＋ Lp1［ F ∗ M e（ ij）］ （5） 反馈学习控制器输出： ufb（ ij）＝ Lp2e（ ij） （6） 将式（5）和（6）代入式（4）中可以看出第 j 次开 闭环迭代控制输入 u（ ij）中不仅包含前次迭代输 出误差信息 e（ ij－1）同时也包含当前输出误差 信息 e（ ij）．式中α（ ij）为遗忘因子矩阵F ∗ M 为 零相位 FIR 数字滤波器算子Lp1为前馈学习增益 Lp2为反馈学习增益．下面给出遗忘因子矩阵及零 相位 FIR 数字滤波器的设计方法． 2∙1 遗忘因子矩阵 在直线伺服系统中引入遗忘因子矩阵 α（ ij） 修正迭代学习律保证系统第 j 次迭代学习计算中 在该迭代学习域的每个时间域上使输入误差进一步 减小．遗忘因子矩阵基本取值原则满足公式： 0≤［ IE－α（ ij）］＜ IE （7） limj→∞ α（ ij）＝0 （8） 这样系统在迭代学习域中后续时间域上的误 差将小于前面时间域上的误差并保证控制输入收 敛到期望控制系统得到很好的输出跟踪同时也提 高了系统的鲁棒跟踪性能．在此基础上通过减小 系统输入误差协方差矩阵迹的方式得到优化遗忘因 子的取值规律；因为矩阵迹的减小能够代表输入误 差向量元素均方差值的减小最终使系统跟踪误差 减小． 假设系统满足如下特性：当期望输出 Yr（ ij） 时仅存在唯一的有界输入 ur（ ij）使系统满足 Xr（ i＋1j）＝Φ（ i）Xr（ ij）＋Bur（ ij） Yr（ ij）＝CXr（ ij） （9） 令状态误差向量为 ΔX （ ij ） ＝ Xr （ ij ） － X（ ij）输入误差向量为 Δu（ ij ）＝ ur （ ij ）－ u（ ij）． 在迭代学习控制的离散时间域内通过状态方 程的递推运算可以得到时刻（ i＋ m）时的状态变量： X（ i＋ mj）＝ Φ（ i） mX（ ij）＋ ∑ m l＝1 Φ（ i） m－ lBX（ i＋ l－1j） （10） 将其分别代入式（1）和（9）中得到系统的输出 误差为： e（ i＋ mj）＝Yr（ i＋ mj）－Y（ i＋ mj）＝ CΦ（ i） mΔX（ ij）＋ ∑ m l＝1 CΦ（ i） m－lBΔu（ i＋l－1j） （11） 同时结合式（4）描述的遗忘因子型迭代学习控制 律得到输入误差的迭代公式为： Δu（ ij＋1）＝［ IE＋ Lp2Hm（ i）B］ －1｛［ IE－ α（ ij）－ Lp1F ∗ M Hm（ i）B］Δu（ ij）＋ α（ ij） ur（ ij）－ Lp1F ∗ M Hm（ i）ΔX（ ij）－ Lp2Hm（ i）ΔX（ ij＋1）｝ （12） 其中Hm（ i）＝ ∑ m l＝1 CΦ（ i） m－ l． 由上式可以看出Δu（ ij ＋1） 是遗忘因子 α（ ij）的函数因此得到输入误差协方差矩阵为： COV ［Δu（ ij＋1）Δu（ ij＋1）］＝COV（α（ ij）） （13） 这样能够通过减小系统输入误差协方差矩阵 迹的方式来得到优化的遗忘因子矩阵 α∗（ ij）： ∂｛trace［COV（α（ ij））］｝ ∂α（ ij） ＝0 （14） 使 j＋1次输入变量 u（ ij＋1）→ ur（ ij＋1） 也即获得唯一的控制输入 ur（ ij＋1）使时间域内 的系统输出limj→∞ Y（ ij）＝Yr（ i）． 2∙2 零相位 FIR 数字滤波器 迭代学习控制系统在实际运行中对量测信号 ·268· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第2期 曹勇等：带有遗忘因子的滤波器型迭代学习直线伺服系统 .269. 进行零相位数字滤波处理，再使用滤波后的信号来 根据入范数不等式定理，则状态误差向量： 构造迭代学习律，可以保证系统具有更高的跟踪精 ‖△x(i,)‖≤H0)+BH2)‖△ui)L 度.在开闭环迭代学习运算中，由于前馈学习控制 1-Φ(i)H(λ) 器用来保证系统的跟踪性能，因此采用滤波后的误 (24) 差信号FMe(i,j)来构造前馈学习控制器 式中，H(0)=sp△X(0,j),H(入)=(1- 给定任意有限冲激响应FIR数字滤波器∫(z), e-)/x. 通过窗函数设计方法，即采用一个特定的窗函数将 对式(21)两端同时取入范数，并将上式代入： 数据截成一M~十M的有限长范围，再进行一定变 I‖△u(i,j+1)‖≤H(P)‖△u(i,j)‖x(25) 换可以实现零相位FIR数字滤波器： -r: 1cH().H()= 式中，H(P)=1-L,eC), (15) H(O)十BH(入) 其中，M是FIR滤波器的长度. 1-Φ(i)H(入) 使用零相位FIR数字滤波器能够保证误差信 在上述条件下，若能找到相应的开闭环迭代学 号在滤波前后不存在相位偏移，只有增益上的差别. 习增益Lp1、Lp2,使H(P)<1,则有下式成立： 同时，经过归一化处理后将得到完全一样的波形，运 m‖△Y(i,j)‖≤1-)为 CH(O (26) 算如下： 当系统初始状态误差H(0)趋于零时： 2之(+f0)=1 (16) lim‖△Y(i,j》‖x=0 (27) k=1 此时，直线伺服系统滤波后的误差信号为： 即通过不断的迭代学习运算，系统跟踪误差渐近收 1 敛到零. Fde(i)-2n+,之e(i+k》 (17) 对其进行离散傅里叶变换DFT: 4仿真与实验结果 DFT[e(i.j)]=2 e(i.e (18) 针对迭代学习直线伺服系统，进行Simulink和 DS1103控制器实验研究，其中，DS1103控制器板 通过该信号变换的频谱值可以获得滤波器的截 包含双处理器形式，主处理器单元采用Power- 止频率，，同时设置如下形式滤波器频率响应： PC604e,从处理器单元采用TMS320F240,以专用 Fi()=s血(9MT)_2 智能功率模块PS11O14实现IGBT器件的驱动和保 we MTe (19) 护，同时在线电流和电压通过低通滤波器消除高频 这样，由给定的系统频带宽度（ω/2π）和采样 谐波，再送入DS1103的ADC单元中，系统实验平 时间T。并结合上式，得到数字滤波器的窗长M 台如图2所示 值，从而完成零相位FIR数字滤波器的设计. 3迭代学习收敛性分析 达代学习LC PWM PS1IO14相IGBT 单元 逆变器 控制法则 实时接口 别器 直线伺服系统第次迭代下的输出误差为： RTI ADC 模拟低通 实时工作间 实时 元 滤波器 e(i,j)=Y(i,j)-Y(i,j)=cAx(i,j)(20) 工作间 PowerPC PC机 604e 将式(4)描述的开闭环迭代学习控制律代入输入误 RTW (Windows2000 高速数字 光栅尺LS176 0▣ 差向量中，同时结合上式，则有： △u(i,j+1)=△u(i,j)+a(i,j)u(i,j)- 图2实验平台的建立 LpI FM CAX(i,j)-Lp2CAX(i,j+1)(21) Fig.2 Establishment of an experiment platform 由于式中的遗忘因子项随着迭代学习次数的增加而 不断减小到零，因此当○时，存在 永磁直线同步电机参数为：初级绕组相电阻 (i,j)u(i,j)l∞≈0 (22) R.=2.42,相电感L.=18.5mH,动子质量M= 状态误差向量AX(i,)满足范数不等式： 0.65kg永磁体磁链幅值平m=0.286Wb,极对数 l△X(i,j)‖≤sup‖△X(0,j)‖+ Pn=4,极距t=0.03m. Φ(i-1)‖△x(i-1,j)‖+B‖△x(i-1,j)‖ 选择式(4)描述的开闭环迭代学习控制律，并根 (23) 据迭代学习收敛性条件H(P)<1选取学习增益
进行零相位数字滤波处理再使用滤波后的信号来 构造迭代学习律可以保证系统具有更高的跟踪精 度．在开闭环迭代学习运算中由于前馈学习控制 器用来保证系统的跟踪性能因此采用滤波后的误 差信号 F ∗ M e（ ij）来构造前馈学习控制器． 给定任意有限冲激响应 FIR 数字滤波器 f （ z ） 通过窗函数设计方法即采用一个特定的窗函数将 数据截成－ M～＋ M 的有限长范围再进行一定变 换可以实现零相位 FIR 数字滤波器： F ∗ M ＝ ∑ M k＝0 f （ k） z k·∑ M k＝0 f （ k） z －k （15） 其中M 是 FIR 滤波器的长度． 使用零相位 FIR 数字滤波器能够保证误差信 号在滤波前后不存在相位偏移只有增益上的差别． 同时经过归一化处理后将得到完全一样的波形运 算如下： 2∑ M k＝1 f （ k）＋ f （0）＝1 （16） 此时直线伺服系统滤波后的误差信号为： F ∗ M e（ ij）＝ 1 2M＋1 ∑ M k＝—M e（ i＋kj） （17） 对其进行离散傅里叶变换 DFT： DFT ［ e（ ij）］＝ ∑ ∞ i＝—∞ e（ ij）e － jωi （18） 通过该信号变换的频谱值可以获得滤波器的截 止频率 ωc同时设置如下形式滤波器频率响应： F′M（ωc）＝ sin（ωc MTc） ωc MTc ＝ 2 2 （19） 这样由给定的系统频带宽度（ωc／2π）和采样 时间 Tc 并结合上式得到数字滤波器的窗长 M 值从而完成零相位 FIR 数字滤波器的设计． 3 迭代学习收敛性分析 直线伺服系统第 j 次迭代下的输出误差为： e（ ij）＝Yr（ ij）－Y（ ij）＝CΔX（ ij）（20） 将式（4）描述的开闭环迭代学习控制律代入输入误 差向量中同时结合上式则有： Δu（ ij＋1）＝Δu（ ij）＋α（ ij） u（ ij）－ Lp1F ∗ M CΔX（ ij）－ Lp2CΔX（ ij＋1） （21） 由于式中的遗忘因子项随着迭代学习次数的增加而 不断减小到零因此当 j→∞时存在 α（ ij） u（ ij）｜j→∞≈0 （22） 状态误差向量ΔX（ ij）满足范数不等式： ‖ΔX（ ij）‖≤sup‖ΔX（0j）‖＋ Φ（ i－1）‖ΔX（ i－1j）‖＋B‖ΔX（ i－1j）‖ （23） 根据 λ范数不等式定理则状态误差向量： ‖ΔX（ ij）‖λ≤ H（0）＋BH（λ）‖Δu（ ij）‖λ 1－Φ（ i） H（λ） （24） 式中H（0） ＝sup ‖ΔX （0j ） ‖H（λ） ＝（1－ e －λT ）／λ． 对式（21）两端同时取 λ范数并将上式代入： ‖Δu（ ij＋1）‖λ≤ H（ρ）‖Δu（ ij）‖λ（25） 式 中H （ρ） ＝ 1＋ Lp1F ∗ M CH（ρ） 1－ Lp2CH（ρ） H （ρ） ＝ H（0）＋BH（λ） 1－Φ（ i） H（λ） ． 在上述条件下若能找到相应的开闭环迭代学 习增益 Lp1、Lp2使 H（ρ）＜1则有下式成立： limj→∞ ‖ΔY（ ij）‖λ≤ CH（0） 1－Φ（ i） H（λ） （26） 当系统初始状态误差 H（0）趋于零时： limj→∞ ‖ΔY（ ij）‖λ＝0 （27） 即通过不断的迭代学习运算系统跟踪误差渐近收 敛到零． 4 仿真与实验结果 针对迭代学习直线伺服系统进行 Simulink 和 DS1103控制器实验研究．其中DS1103控制器板 包含双处理器形式主处理器单元采用 PowerPC604e从处理器单元采用 T MS320F240以专用 智能功率模块 PS11014实现 IGBT 器件的驱动和保 护同时在线电流和电压通过低通滤波器消除高频 谐波再送入 DS1103的 ADC 单元中系统实验平 台如图2所示． 图2 实验平台的建立 Fig．2 Establishment of an experiment platform 永磁直线同步电机参数为：初级绕组相电阻 Rs＝2∙4Ω相电感 Ls＝18∙5mH动子质量 M ＝ 0∙65kg永磁体磁链幅值 Ψpm＝0∙286Wb极对数 Pn＝4极距 τ＝0∙03m． 选择式（4）描述的开闭环迭代学习控制律并根 据迭代学习收敛性条件 H（ρ）＜1选取学习增益 第2期 曹 勇等： 带有遗忘因子的滤波器型迭代学习直线伺服系统 ·269·
·270 北京科技大学学报 第31卷 Lp1=5,Lp2=6.7,遗忘因子通过式(14)取值并不 (大约0.05s)内恢复到0.2m的参考位置；说明开 断收敛到零，同时给定系统频带宽度为15，采样 闭环迭代学习控制下的直线伺服系统具有很好的鲁 时间T。为0.001s,根据式(19)得到数字滤波器的 棒性能。 窗长M值为15，则得到迭代控制输入为： 0.25 u(i,j)=[1e-a*(i,j-1)]u(i,j-1)+ 0.20 突加负载 0.162(i+s-1)+6.7e(i》(28) 在Simulink工作环境下，要求直线伺服系统在 以0.5s为周期、0.2m为直线行程的范围内做往复 0.05 运动.图3给出迭代学习次数=5,12,18的情况 下，是否含有遗忘因子修正的位置跟踪比较结果， 0.1 0.20.3 0.4 0.5 由图中可以看出：采用开闭环迭代学习控制律的直 s 线伺服系统能够保证直线输出收敛到给定的期望直 图4受扰状态下的直线位置输出 线位置轨迹上，同时带有遗忘因子的迭代学习控制 Fig4 Linear position output under disturbance 具有更快的收敛速度，当迭代学习次数达到18次以 后，系统实现了对期望直线位置的良好跟踪， 1500 0.20 (a) 1000 化 0.15 500 j=18 0.10 0.05 -500 01 02 0.30.4 0.5 s 0.1 0.2 03 0.4 0.5 t/s 图5电磁推力响应曲线 0.20 (b) Fig.5 Electromagnetism thrust response curve 0.15 —k=5 --k=12 …k=l8 5结论 0.10 由实验结果可知，本文提出的带有遗忘因子的 滤波器型开闭环迭代学习控制方法能够综合利用系 0.05 统当前及过去的误差信息，有效抑制端部推力波动 的影响，通过引入自适应形式的遗忘因子矩阵，保 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 证系统的收敛速度和鲁棒性能，同时采用零相位 FIR数字滤波器可以减小量测噪声的干扰，提高直 图3迭代学习直线伺服系统的直线位置输出.(a)无遗忘因子 线位置的跟踪性能 修正：(b)带有遗忘因子修正 Fig-3 Linear position output of a iterative learning linear servo sys- 参考文献 tem:(a)without modification of the forgetting factor:(b)with [1]Guo Q D.Sun Y B.Wang L M.AC Servo System of Modern modification of the forgetting factor PM Motor.Beijing:China Power Industrial Press,2006 在DS1103控制板双处理器实验研究中，要求 (郭庆鼎，孙宜标，王丽梅，现代永磁电动机交流伺服系统· 北京：中国电力出版社，2006) 直线电机跟踪0.2m的参考位置，并于0.3s时刻突 [2]Tang R Y.Theory and Design of Modern PM Motor.Beijing: 然施加300N反向推力，检验同服系统的抗负载扰 China Machine Press,2005 动性能.图4和图5分别为受扰状态下的直线位置 (唐任远·现代永磁电机理论与设计，北京：机械工业出版社， 和推力响应曲线，从图5中可以看出，电机的电磁 2005) 推力于负载加入时刻迅速增大，系统在很短的时间 [3]Zhao X M,Guo Q D.Variable gain zero phase Hoo robust track-
Lp1＝5Lp2＝6∙7．遗忘因子通过式（14）取值并不 断收敛到零同时给定系统频带宽度为15Hz采样 时间 Tc 为0∙001s根据式（19）得到数字滤波器的 窗长 M 值为15则得到迭代控制输入为： u（ ij）＝［ IE－α∗（ ij－1）］ u（ ij－1）＋ 0∙16 ∑ 15 k＝—15 e（ i＋kj－1）＋6∙7e（ ij） （28） 在 Simulink 工作环境下要求直线伺服系统在 以0∙5s 为周期、0∙2m 为直线行程的范围内做往复 运动．图3给出迭代学习次数 j＝51218的情况 下是否含有遗忘因子修正的位置跟踪比较结果． 由图中可以看出：采用开闭环迭代学习控制律的直 线伺服系统能够保证直线输出收敛到给定的期望直 线位置轨迹上同时带有遗忘因子的迭代学习控制 具有更快的收敛速度当迭代学习次数达到18次以 后系统实现了对期望直线位置的良好跟踪． 图3 迭代学习直线伺服系统的直线位置输出．（a） 无遗忘因子 修正；（b） 带有遗忘因子修正 Fig．3 Linear position output of a iterative learning linear servo system：（a） without modification of the forgetting factor；（b） with modification of the forgetting factor 在 DS1103控制板双处理器实验研究中要求 直线电机跟踪0∙2m 的参考位置并于0∙3s 时刻突 然施加300N 反向推力检验伺服系统的抗负载扰 动性能．图4和图5分别为受扰状态下的直线位置 和推力响应曲线．从图5中可以看出电机的电磁 推力于负载加入时刻迅速增大系统在很短的时间 （大约0∙05s）内恢复到0∙2m 的参考位置；说明开 闭环迭代学习控制下的直线伺服系统具有很好的鲁 棒性能． 图4 受扰状态下的直线位置输出 Fig．4 Linear position output under disturbance 图5 电磁推力响应曲线 Fig．5 Electromagnetism thrust response curve 5 结论 由实验结果可知本文提出的带有遗忘因子的 滤波器型开闭环迭代学习控制方法能够综合利用系 统当前及过去的误差信息有效抑制端部推力波动 的影响．通过引入自适应形式的遗忘因子矩阵保 证系统的收敛速度和鲁棒性能同时采用零相位 FIR 数字滤波器可以减小量测噪声的干扰提高直 线位置的跟踪性能． 参 考 文 献 ［1］ Guo Q DSun Y BWang L M．AC Servo System of Modern PM Motor．Beijing：China Power Industrial Press2006 （郭庆鼎孙宜标王丽梅．现代永磁电动机交流伺服系统． 北京：中国电力出版社2006） ［2］ Tang R Y．Theory and Design of Modern PM Motor．Beijing： China Machine Press2005 （唐任远．现代永磁电机理论与设计．北京：机械工业出版社 2005） ［3］ Zhao X MGuo Q D．Variable gain zero phase H∞ robust track- ·270· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷