基于复变函数理论和D-P屈服准则的并行隧道合理间距

工程科学学报，第38卷，第2期：291-298,2016年2月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.2:291-298,February 2016 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2016.02.020:http://journals.ustb.edu.cn 基于复变函数理论和D-P屈服准则的并行隧道合理 间距 宋伟超》，高永涛2)，吴顺川2)，严琼2，吴庆良2》 1)北京科技大学土木与环境工程学院，北京1000832)北京科技大学金属矿山高效开采与安全教有部重点实验室，北京100083 ☒通信作者，E-mail:wushunchuan@usth.cdu.cn 摘要综合利用复变函数理论、解析延拓法和Schwarz交替法揭示相邻水平并行隧道的应力分布特征.在此基础上，结合 考虑了中间主应力效应的DP屈服准则建立相邻水平并行隧道力学模型.提出并行隧道塑性区贯穿半径的概念，建立求解 方程，并通过数值模拟证明其正确性.采用隧道间塑性区临界贯穿状态下的间距作为隧道合理间距，与数值模拟软件FLAC 计算得到的围岩位移量和沉降量随间距变化至基本不发生变化时所对应的隧道间距有较高的吻合性，从而表明其作为相邻 水平并行隧道合理间距的可行性. 关键词隧道工程：间距：复变函数理论；屈服准则：力学模型 分类号U451 Reasonable spacing of parallel tunnels based on the complex function theory and D-P yield criterion SONG Wei-chao,GAO Yong-tao,WU Shun-chuan,YAN Qiong,WU Qing-iang 1)School of Civil and Environmental Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Key Laboratory of the Ministry of Education for High Efficient Mining and Safety of Metal Mines,University of Science and Technology Beijing,Bei- jing 100083,China Corresponding author,E-mail:wushunchuan@ustb.edu.cn ABSTRACT The stress distribution characteristics of adjacent horizontal parallel tunnels are revealed by comprehensively utilizing the complex function theory,analytic continuation method and Schwarz alternating method.Then a mechanical model of adjacent hori- zontal parallel tunnels is constructed in combination with the D-P yield criterion which considers the effect of intermediate principal stress.The concept of connected radius of the tunnel plastic zone is proposed,the solving equation is established and its correctness is verified by numerical simulation.The critical distance of the plastic zone connected between tunnels is considered as a reasonable spacing,which has a better agreement with the spacing of tunnels when the displacement and settlement of surrounding rock do not basically change with the spacing of tunnels calculated by numerical simulation software FLAC,thus demonstrating its feasibility as the reasonable spacing of adjacent horizontal parallel tunnels. KEY WORDS tunneling:spacing:complex function theory:yield criteria:mechanical models 近年来，受地质、地形条件以及线路和环保要求等 许多学者使用数值模拟和模型试验的方法，对相 因素的制约，为有效利用地下深部资源和空间，隧道开 邻并行隧道的合理间距进行了大量的研究.Barla和 挖的实际埋深越来越大，相邻并行隧道建设十分常见. Ottoviani采用有限元数值模拟的方法对并行隧道的 收稿日期：2014-11-25 收稿日期：基于颗粒元理论的散体矿岩放矿运移机理及可视化研究资助项目(51374032)

工程科学学报，第 38 卷，第 2 期: 291--298，2016 年 2 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 38，No． 2: 291--298，February 2016 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2016． 02． 020; http: / /journals． ustb． edu． cn 基于复变函数理论和 D--P 屈服准则的并行隧道合理 间距 宋伟超1，2) ，高永涛1，2) ，吴顺川1，2) ，严 琼1，2) ，吴庆良1，2) 1) 北京科技大学土木与环境工程学院，北京 100083 2) 北京科技大学金属矿山高效开采与安全教育部重点实验室，北京 100083  通信作者，E-mail: wushunchuan@ ustb． edu． cn 摘 要 综合利用复变函数理论、解析延拓法和 Schwarz 交替法揭示相邻水平并行隧道的应力分布特征． 在此基础上，结合 考虑了中间主应力效应的 D--P 屈服准则建立相邻水平并行隧道力学模型． 提出并行隧道塑性区贯穿半径的概念，建立求解 方程，并通过数值模拟证明其正确性． 采用隧道间塑性区临界贯穿状态下的间距作为隧道合理间距，与数值模拟软件 FLAC3D 计算得到的围岩位移量和沉降量随间距变化至基本不发生变化时所对应的隧道间距有较高的吻合性，从而表明其作为相邻 水平并行隧道合理间距的可行性． 关键词 隧道工程; 间距; 复变函数理论; 屈服准则; 力学模型 分类号 U451 Ｒeasonable spacing of parallel tunnels based on the complex function theory and D--P yield criterion SONG Wei-chao1，2) ，GAO Yong-tao1，2) ，WU Shun-chuan1，2)  ，YAN Qiong1，2) ，WU Qing-liang1，2) 1) School of Civil and Environmental Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) Key Laboratory of the Ministry of Education for High Efficient Mining and Safety of Metal Mines，University of Science and Technology Beijing，Bei￾jing 100083，China  Corresponding author，E-mail: wushunchuan@ ustb． edu． cn ABSTＲACT The stress distribution characteristics of adjacent horizontal parallel tunnels are revealed by comprehensively utilizing the complex function theory，analytic continuation method and Schwarz alternating method． Then a mechanical model of adjacent hori￾zontal parallel tunnels is constructed in combination with the D--P yield criterion which considers the effect of intermediate principal stress． The concept of connected radius of the tunnel plastic zone is proposed，the solving equation is established and its correctness is verified by numerical simulation． The critical distance of the plastic zone connected between tunnels is considered as a reasonable spacing，which has a better agreement with the spacing of tunnels when the displacement and settlement of surrounding rock do not basically change with the spacing of tunnels calculated by numerical simulation software FLAC3D，thus demonstrating its feasibility as the reasonable spacing of adjacent horizontal parallel tunnels． KEY WOＲDS tunneling; spacing; complex function theory; yield criteria; mechanical models 收稿日期: 2014--11--25 收稿日期: 基于颗粒元理论的散体矿岩放矿运移机理及可视化研究资助项目( 51374032) 近年来，受地质、地形条件以及线路和环保要求等 因素的制约，为有效利用地下深部资源和空间，隧道开 挖的实际埋深越来越大，相邻并行隧道建设十分常见． 许多学者使用数值模拟和模型试验的方法，对相 邻并行隧道的合理间距进行了大量的研究． Barla 和 Ottoviani［1］采用有限元数值模拟的方法对并行隧道的

·292· 工程科学学报，第38卷，第2期 稳定性进行深入研究，发现当两并行隧道墙间距大于 照一个简单的交替算法进行迭代求解，就可通过 1倍开挖直径时，它们之间的影响可以忽略不计.L Schwarz交替算法进行两隧道的应力分析.解析延拓 等网用三维数值模拟的方法提出当水平并行隧道间距 法是一种利用已知条件来扩大已知解析函数定义域和 大于3.5倍开挖直径时，隧道衬砌变形量大幅度下降. 解析范围的方法 Chehade和Shahrour进行有限元数值分析，发现当水 1.1.2 Schwarz交替法的求解步骤 平并行隧道间距大于3倍隧道直径时，第1条隧道不 首先开挖隧道1，利用解析延拓法求出在原岩应 会影响第2条隧道的开挖.胡元芳田采用有限元数值 力作用下的应力函数，得出由于隧道1的开挖在隧道 计算方法对小线间距双线隧道围岩稳定性进行详细计 2拟开挖周边产生的多余面力.然后开挖隧道2，并在 算，得出小线间距城市双线隧道最小净距的参考值. 此隧道作用相应的平衡外力（此后称作反面力）使隧 Osman使用上限极限分析法分析软质岩层中双隧道 道外载为零.再假设此时隧道1未开挖，则这是个单 开挖过程，通过一个稳定性系数来判断其稳定性，研究 连通域问题，同样可得隧道1在反面力作用下的应力. 表明当隧道轴线间距小于0.75倍的隧道埋深时，隧道 如果由此算出隧道1的周边面力为零，则把这两次计 稳定性系数会发生明显下降.Kim等通过实验室模 算结果叠加就是两隧道都存在时的应力情况：如果面 型试验对并行隧道进行研究，发现当埋深和直径之比 力不为零，则需要在隧道1周边加上一组平衡面力，使 H/D=3.36~3.97,两隧道间距小于1倍隧道直径时， 得隧道1周边合面力为零.这样反复计算，直到两个 两隧道间有较大的影响.Wen等通过实验室模型试 隧道周边的面力均为零，再把每次计算的结果叠加，就 验研究近距离并行隧道的合理间距，结果表明当模型 可得到原问题的解。然而，实际计算不可能无限迭代， 试验中两隧道间距达到1倍隧道跨度时，尽管洞周围 当达到一定迭代次数后，计算结果精度满足工程需要 岩部分破坏，但中间夹岩仍具有稳定性，隧道可以保持 时，即可停止迭代 稳定的状态 本文把两隧道周边各加一次反面力定义为完成一 目前，大多数学者对隧道合理间距的研究仅限于 次迭代（第1次迭代除外） 数值模拟或模型试验的方法，没有给出求解的理论解 1.1.3应力场分析求解 析解.隧道塑性区分析只考虑单个隧道存在的情况， 当隧道埋深与开挖半径差别较大时，可以不考虑 不能直接分析近距离并行隧道.其次，已有的对单个 重力梯度的影响，直接把重力作用化为无限远处作用 隧道塑性区范围的求解，大多数建立在M-C强度准则 有P,和P,的外载来计算.计算模型如图1所示.在图 或H-B强度准则的基础上，并且没有考虑中间主应力 1中，P,为水平原岩地应力，P2为垂直原岩地应力，Z, 的影响.理论和实践都已证明，中间主应力对围岩的 为X,0Y,坐标系下坐标，Z2为X02Y坐标系下坐标， 变形与破坏的影响是不可忽略的，岩石的强度不仅与 C为隧道2圆心与隧道1圆心的相对位置，R,为隧道1 最大和最小主应力有关，还与中间主应力有密切关系， 的开挖半径，R,为隧道2的开挖半径 即存在所谓的中间主应力效应⑧ 考虑近距离并行隧道问题在力学上属于双连通域 问题，本文应用复变函数理论，结合解析延拓法@和 Schwarz交替法1-网建立并行隧道环境下的力学模型， 对圆形并行隧道围岩的应力进行求解，并基于D-P强 度准则计算侧压力系数为1条件下并行隧道之间水平 方向上的塑性区范围，为确定并行隧道合理间距提供 重要参考.最终，结合国内已有的工程数据，使用三维 有限差分软件FLAC”模拟分析，证明其正确性. 1 并行隧道相互作用理论模型 道I 隧道2 1.1弹性区应力 1.1.1 Schwarz交替法和延拓法 图1两隧道应力模型计算图 两并行隧道的应力分析，在力学上属于双连通域 Fig.I Chart of two-unnel stress calculation model 问题，国内外学者一直设法寻找一个行之有效的求解 办法国.Schwarz交替法作为一种解析方法，是将双连 由于利用复变函数解法，所以Z,、Z,和C都采用 通域问题归结为一系列的单连通域问题来求解，并且 复数表示为Z=re,C=de,其中r表示极坐标下任 在数学上已经证明该方法的收敛性，接下来只需要按 一点到极点的距离，d表示隧道间距

工程科学学报，第 38 卷，第 2 期 稳定性进行深入研究，发现当两并行隧道墙间距大于 1 倍开挖直径时，它们之间的影响可以忽略不计． Li 等［2］用三维数值模拟的方法提出当水平并行隧道间距 大于 3. 5 倍开挖直径时，隧道衬砌变形量大幅度下降． Chehade 和 Shahrour［3］进行有限元数值分析，发现当水 平并行隧道间距大于 3 倍隧道直径时，第 1 条隧道不 会影响第 2 条隧道的开挖． 胡元芳［4］采用有限元数值 计算方法对小线间距双线隧道围岩稳定性进行详细计 算，得出小线间距城市双线隧道最小净距的参考值． Osman［5］使用上限极限分析法分析软质岩层中双隧道 开挖过程，通过一个稳定性系数来判断其稳定性，研究 表明当隧道轴线间距小于 0. 75 倍的隧道埋深时，隧道 稳定性系数会发生明显下降． Kim 等［6］通过实验室模 型试验对并行隧道进行研究，发现当埋深和直径之比 H /D = 3. 36 ～ 3. 97，两隧道间距小于 1 倍隧道直径时， 两隧道间有较大的影响． Wen 等［7］通过实验室模型试 验研究近距离并行隧道的合理间距，结果表明当模型 试验中两隧道间距达到 1 倍隧道跨度时，尽管洞周围 岩部分破坏，但中间夹岩仍具有稳定性，隧道可以保持 稳定的状态． 目前，大多数学者对隧道合理间距的研究仅限于 数值模拟或模型试验的方法，没有给出求解的理论解 析解． 隧道塑性区分析只考虑单个隧道存在的情况， 不能直接分析近距离并行隧道． 其次，已有的对单个 隧道塑性区范围的求解，大多数建立在 M--C 强度准则 或 H--B 强度准则的基础上，并且没有考虑中间主应力 的影响． 理论和实践都已证明，中间主应力对围岩的 变形与破坏的影响是不可忽略的，岩石的强度不仅与 最大和最小主应力有关，还与中间主应力有密切关系， 即存在所谓的中间主应力效应［8--9］． 考虑近距离并行隧道问题在力学上属于双连通域 问题，本文应用复变函数理论，结合解析延拓法［10］和 Schwarz 交替法［11--12］建立并行隧道环境下的力学模型， 对圆形并行隧道围岩的应力进行求解，并基于 D--P 强 度准则计算侧压力系数为 1 条件下并行隧道之间水平 方向上的塑性区范围，为确定并行隧道合理间距提供 重要参考． 最终，结合国内已有的工程数据，使用三维 有限差分软件 FLAC3D模拟分析，证明其正确性． 1 并行隧道相互作用理论模型 1. 1 弹性区应力 1. 1. 1 Schwarz 交替法和延拓法 两并行隧道的应力分析，在力学上属于双连通域 问题，国内外学者一直设法寻找一个行之有效的求解 办法［13］． Schwarz 交替法作为一种解析方法，是将双连 通域问题归结为一系列的单连通域问题来求解，并且 在数学上已经证明该方法的收敛性，接下来只需要按 照一个 简 单 的 交 替 算 法 进 行 迭 代 求 解，就 可 通 过 Schwarz 交替算法进行两隧道的应力分析． 解析延拓 法是一种利用已知条件来扩大已知解析函数定义域和 解析范围的方法［14］． 1. 1. 2 Schwarz 交替法的求解步骤 首先开挖隧道 1，利用解析延拓法求出在原岩应 力作用下的应力函数，得出由于隧道 1 的开挖在隧道 2 拟开挖周边产生的多余面力． 然后开挖隧道 2，并在 此隧道作用相应的平衡外力( 此后称作反面力) 使隧 道外载为零． 再假设此时隧道 1 未开挖，则这是个单 连通域问题，同样可得隧道 1 在反面力作用下的应力． 如果由此算出隧道 1 的周边面力为零，则把这两次计 算结果叠加就是两隧道都存在时的应力情况; 如果面 力不为零，则需要在隧道 1 周边加上一组平衡面力，使 得隧道 1 周边合面力为零． 这样反复计算，直到两个 隧道周边的面力均为零，再把每次计算的结果叠加，就 可得到原问题的解． 然而，实际计算不可能无限迭代， 当达到一定迭代次数后，计算结果精度满足工程需要 时，即可停止迭代． 本文把两隧道周边各加一次反面力定义为完成一 次迭代( 第 1 次迭代除外) ． 1. 1. 3 应力场分析求解 当隧道埋深与开挖半径差别较大时，可以不考虑 重力梯度的影响，直接把重力作用化为无限远处作用 有 P1和 P2的外载来计算． 计算模型如图 1 所示． 在图 1 中，P1为水平原岩地应力，P2为垂直原岩地应力，Z1 为 X1O1Y1 坐标系下坐标，Z2为 X2O2Y2坐标系下坐标， C 为隧道 2 圆心与隧道 1 圆心的相对位置，Ｒ1为隧道 1 的开挖半径，Ｒ2为隧道 2 的开挖半径． 图 1 两隧道应力模型计算图 Fig． 1 Chart of two-tunnel stress calculation model 由于利用复变函数解法，所以 Z1、Z2 和 C 都采用 复数表示为 Z = reiθ ，C = deiβ ，其中 r 表示极坐标下任 一点到极点的距离，d 表示隧道间距． · 292 ·

宋伟超等：基于复变函数理论和DP屈服准则的并行隧道合理间距 293 (1)映射函数和平移关系.将Z,平面上隧道1的 2GR'Rd 2GRRd 外域映射到5，平面的单位圆外域，其映射函数最通用 (r-d)(R-d+rd)+(R-+rd) (8) 的形式可用Laurent表示： Tm=0. (9) Z,=0()=R,5+∑(C,)] (1) 0 式中，G-+,E, 2 2 式中N表示叠加总次数，h表示当前次数. 1.2塑性区应力 再根据坐标系平移得到的前后两对复应力函数之 1.2.1考虑中间主应力的D-P屈服准则 间的变换关系，利用Schwarz交替法对双孔圆形隧道 由于MC准则在三维空间的屈服面为不规则的 问题进行迭代求解.仅开挖隧道1时的应力函数 六角形截面的角锥体表面，在π平面上的图形为不等 9(Z)和中（Z,),其在X202Y2坐标系下分别为 角六边形，存在尖顶和棱角，给数值计算带来困难.为 p2（Z2)和中(Z2). 此，前人对其做了大量的修正回.l952年Drucker和 (2)求解多余面力及应力函数.由于隧道1的开 Prager构造了一个内切于M-C准则的六棱锥的圆锥 挖在隧道2周边产生的多余面力可以根据应力边界条 屈服面，屈服曲面光滑没有棱角，考虑了中间主应力和 件求出： f2=pa(42）+l2p2(2)+2(2). (2) 静水压力的影响，提出了D-P屈服准则m.D-P屈服 准则函数形式为 式中：2为Z,坐标系下隧道2周边点的坐标.为满足 隧道2应力边界条件必须加上反面力-∫2(2)，进一 f（I1,2)=√J2-al1-k=0. (10) 步可以解出在-f2(2)作用下只存在隧道2的解 式中，1是第一应力不变量：J2是第二应力偏量不变量. p2(Z2）和2(Z2). α和k是D一P屈服准则材料常数.按照平面应变情况 (3)坐标变换.利用坐标变换Z2=Z,-C可以求 下隧道轴向应变为零的塑性变形条件，α、k与c、w之 得Pa(Z2)和中2（Z)在X0Y,坐标系下的结果分别 间存在一定的换算关系： 为P2（Z,)和中2（Z).到这里，认为完成第1次迭代 sin@ a= (11) √5√3+sin'w 具体求解方法参考文献10,15H18] 计算结果叠加后如下式所示： k=ccoso (12) p:(Z）=p1(Z）+1（Z）, (3) √/3+sina (Z）=(Z）+2(Z). (4) 其中c和ω分别是隧道围岩的凝聚力和内摩擦角. 最后，通过式(5)和式(6)可得到围岩内任意一点 工程中常采用中间主应力系数n来表示中间主应 的应力分量： 力的影响程度，其表达式如下式： o,+o。=4Re[p(Z,)]. (5) n=-g3 (13) o-o,+2ir。=2Zp(Z,)+(Z)] 01-3 (6) 式中σ1表示最大应力，σ2表示中间应力，0，表示 式中，σ，表示径向应力，σ。表示切向应力，T。表示剪切 最小主应力 应力. 结合(10)~(13)式可得 针对并行隧道合理间距问题，只需对隧道间中心 (A-na-a)o1-(A-na+2a)g3-k=0.(14) 轴连线上的应力进行求解，得到以O1为坐标原点，隧 道1与隧道2之间中心轴连线上的应力，侧压力系数 式中，入 =3(n2-n+1). 为1的条件时，结果如下： 在围岩中，隧道断面径向应力σ。切向应力σ与 o,=2[受+优++-f+ GRR 2GR'Rrd 隧道轴向应力σ两两正交，且一般切向应力最大，径 向应力最小，隧道轴向应力为中间主应力.于是有 GRGR GRR (r-d)2-2(r-d02(R-f+d) 0p=n0e+(1-n)0p, (15) op -uo-v=0. (16) 2GRRd 2GRRd (r-d)(R-+rd)3-(R-+rd) (7) 式神会治=0可 GRR 2GR'Rrd o=2[气+c-P+e-+ 1 1.2.2应力场分析求解 如图2所示，从隧道1围岩中取出一个微元体来 GRGR GRR 分析其平衡状态： r-d+子+(r-d)2(R-++ 当隧道围岩在整体上处于合外力为零的平衡状态

宋伟超等: 基于复变函数理论和 D--P 屈服准则的并行隧道合理间距 ( 1) 映射函数和平移关系． 将 Z1平面上隧道 1 的 外域映射到 ξ1平面的单位圆外域，其映射函数最通用 的形式可用 Laurent 表示: Z1 = w( ξ1 ) = Ｒ1 [ ξ1 + ∑ N h = 0 ( Ch ξ － h 1 ] ) ． ( 1) 式中 N 表示叠加总次数，h 表示当前次数． 再根据坐标系平移得到的前后两对复应力函数之 间的变换关系，利用 Schwarz 交替法对双孔圆形隧道 问题进 行 迭 代 求 解． 仅 开 挖 隧 道 1 时 的 应 力 函 数 φ11 ( Z1 ) 和 ψ11 ( Z1 ) ，其 在 X2O2Y2 坐 标 系 下 分 别 为 φ12 ( Z2 ) 和 ψ12 ( Z2 ) ． ( 2) 求解多余面力及应力函数． 由于隧道 1 的开 挖在隧道 2 周边产生的多余面力可以根据应力边界条 件求出: f12 = φ12 ( t2 ) + t2 φ' 12 ( t2 ) + ψ12 ( t2 ) ． ( 2) 式中: t2为 Z2坐标系下隧道 2 周边点的坐标． 为满足 隧道 2 应力边界条件必须加上反面力 － f12 ( t2 ) ，进一 步可 以 解 出 在 － f12 ( t2 ) 作用下只存在隧道 2 的解 φ22 ( Z2 ) 和 ψ22 ( Z2 ) ． ( 3) 坐标变换． 利用坐标变换 Z2 = Z1 － C 可以求 得 φ22 ( Z2 ) 和 ψ22 ( Z2 ) 在 X1O1Y1 坐标系下的结果分别 为 φ21 ( Z1 ) 和 ψ21 ( Z1 ) ． 到这里，认为完成第 1 次迭代． 具体求解方法参考文献［10，15--18］． 计算结果叠加后如下式所示: φ1 ( Z1 ) = φ11 ( Z1 ) + ψ21 ( Z1 ) ， ( 3) ψ1 ( Z1 ) = ψ11 ( Z1 ) + ψ21 ( Z1 ) ． ( 4) 最后，通过式( 5) 和式( 6) 可得到围岩内任意一点 的应力分量: σr + σθ = 4Ｒe［φ' 1 ( Z1) ］． ( 5) σθ － σr + 2iτθ = 2［Z1φ″ 1 ( Z1 ) + ψ' 1 ( Z1) ］． ( 6) 式中，σr 表示径向应力，σθ 表示切向应力，τθ 表示剪切 应力． 针对并行隧道合理间距问题，只需对隧道间中心 轴连线上的应力进行求解，得到以 O1 为坐标原点，隧 道 1 与隧道 2 之间中心轴连线上的应力，侧压力系数 为 1 的条件时，结果如下: σr [ = 2 G 2 + GＲ2 1Ｒ2 2 ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 2 ] + 2GＲ2 1Ｒ2 2 rd ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 3 － GＲ2 2 ( r － d) 2 － GＲ2 1 r 2 － GＲ2 1Ｒ4 2 ( r － d) 2 ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 2 － 2GＲ2 1Ｒ4 2 d ( r － d) ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 3 － 2GＲ2 1Ｒ2 2 d2 ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 3， ( 7) σθ [ = 2 G 2 + GＲ2 1Ｒ2 2 ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 2 ] － 2GＲ2 1Ｒ2 2 rd ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 3 + GＲ2 2 ( r － d) 2 + GＲ2 1 r 2 + GＲ2 1Ｒ4 2 ( r － d) 2 ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 2 + 2GＲ2 1Ｒ4 2 d ( r － d) ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 3 + 2GＲ2 1Ｒ2 2 d2 ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 3， ( 8) τrθ = 0． ( 9) 式中，G = P1 + P2 2 ，E = P2 － P1 2 ． 1. 2 塑性区应力 1. 2. 1 考虑中间主应力的 D--P 屈服准则 由于 M--C 准则在三维空间的屈服面为不规则的 六角形截面的角锥体表面，在 π 平面上的图形为不等 角六边形，存在尖顶和棱角，给数值计算带来困难． 为 此，前人对其做了大量的修正［19］． 1952 年 Drucker 和 Prager 构造了一个内切于 M--C 准则的六棱锥的圆锥 屈服面，屈服曲面光滑没有棱角，考虑了中间主应力和 静水压力的影响，提出了 D--P 屈服准则［20］． D--P 屈服 准则函数形式为 f( I1，槡J2 ) = 槡J2 － αI1 － k = 0． ( 10) 式中，I1是第一应力不变量; J2是第二应力偏量不变量． α 和 k 是 D--P 屈服准则材料常数． 按照平面应变情况 下隧道轴向应变为零的塑性变形条件，α、k 与 c、ω 之 间存在一定的换算关系: α = sin ω 槡3 3 + sin2 槡 ω ， ( 11) k = 槡3ccos ω 3 + sin2 槡 ω ． ( 12) 其中 c 和 ω 分别是隧道围岩的凝聚力和内摩擦角． 工程中常采用中间主应力系数 n 来表示中间主应 力的影响程度，其表达式如下式: n = σ2 － σ3 σ1 － σ3 ． ( 13) 式中 σ1 表示最大应力，σ2 表示中间应力，σ3 表示 最小主应力． 结合( 10) ～ ( 13) 式可得 ( λ － nα － α) σ1 － ( λ － nα + 2α) σ3 － k = 0． ( 14) 式中，λ = 1 3 ( n2 槡 － n + 1) ． 在围岩中，隧道断面径向应力 σrp、切向应力 σθp与 隧道轴向应力 σzp两两正交，且一般切向应力最大，径 向应力最小，隧道轴向应力为中间主应力． 于是有 σzp = nσθp + ( 1 － n) σrp， ( 15) σθp － uσrp － v = 0． ( 16) 式中，u = ( λ － nα + 2α) ( λ － nα － α) ，v = k ( λ － nα － α) ． 1. 2. 2 应力场分析求解 如图 2 所示，从隧道 1 围岩中取出一个微元体来 分析其平衡状态: 当隧道围岩在整体上处于合外力为零的平衡状态 · 392 ·

·294· 工程科学学报，第38卷，第2期 于是得到塑性区围岩应力计算公式： a0,0 (22) To+- (23) 以 =*(m-n+(a:)(发) (24) 1.2.3两隧道塑性区的有效半径和贯穿半径 在围岩弹塑性区交界处，围岩的应力状态同时满 足弹性应力条件和塑性应力条件.设围岩弹性区径向 应力和切向应力分别为σ和0，塑性区径向应力和 图2围岩微元体平衡状态示意图 切向应力分别为σm和σ，则r=r时，有0p+0你= Fig.2 Surrounding rock infinitesimal body equilibrium schematic σ。+σ·假设水平并行隧道合理间距与无支护条件 时，作用于微元体上的合外力也必为零四.从而得到 下两隧道之间水平方向的塑性区半径有关，且本文定 微元体在径向的平衡方程为 义该塑性区半径为水平并行隧道塑性区的有效半径， (o+0)+的do-o,0-(o,+0)a 记作「。：定义无支护条件下隧道塑性区临界贯穿时的 2 有效半径为隧道塑性区的贯穿半径，记作R。·联立式 a,Ed盟+(+o)h-7+Pin0 (7)、式(8)、式(21)、式(22)和式(23)，最终得到求解 并行隧道围岩塑性区有效半径的公式： (17) 研究并行隧道间中心轴连线上的塑性区范围，即 4[+ GR'R R-+r,d= 能为隧道合理间距提供参考，所以把力学模型简化为 2GRR 并行隧道中心轴连线上的塑性区应力分析模型. 1) 由对称关系可得T。=0,不计体积力F,略去高阶 2GR Rd GR 微量，整理后得 (R-+R,d)3(R,-d) a-on=do (18) GRR r dr 当围岩进入塑性状态，围岩体就会满足塑性屈服 (R,-'(R-P+R,d)- 2GRRd 准则.采用考虑中间主应力的D-P屈服准则，塑性区 围岩各应力满足式(15)和式(16)的关系，将式(16)代 (R,-d)(E-P+R,d)- 2GRRd 入式(18)中，解微分方程，可得 废-，A(辰) (25) on=(1-0+ (19) 令d=2r。,代入式(25)，求解得到的塑性区有效 式中，入为积分常数，可由围岩的边界条件进行 半径「。，即为并行隧道塑性区的贯穿半径 求解. 2并行隧道相互影响数值分析 无支护情况下，在无限接近隧道1的位置，由于受 到隧道2的扰动，围岩径向应力等于多余面力产生的 2.1数值模拟 应力0即0p=0,代入式(19)，可得： 2.1.1数值建模 为验证理论计算的正确性，使用有限差分软件 =()8 (20) FLAC"进行数值模拟，如图3所示.模拟过程中，采用 2GRR 2GRRd D-P本构模型，模拟在单一岩层中，无支护条件下掘 -+Rd+-+Rd)- 进两条相同半径的水平并行圆形隧道.通过不断调整 GR GRR 隧道间距，求得两隧道塑性区的贯穿半径.在平面应 (R-d0(R,-d)2(E-f+R,d0- 变条件下，岩体进入塑性状态时，文中的中间主应力系 2GR Rd 2GR'Rd 数n接近于0.5，结合本文研究背景，中间主应力系数 (R,-)(R-P+R,d)-(R-P+R,d0 n取0.5.原岩应力P=22MPa,岩体凝聚力c=2MPa, (21) 内摩擦角w=30°，平均变形模量E=8.3GPa,容重y=

工程科学学报，第 38 卷，第 2 期 图 2 围岩微元体平衡状态示意图 Fig． 2 Surrounding rock infinitesimal body equilibrium schematic 时，作用于微元体上的合外力也必为零［21］． 从而得到 ( 微元体在径向的平衡方程为 σr + σr r d ) r ( r + dr) dθ － σr rdθ ( － σθ + σθ  ) θ dr dθ 2 － σθFrdr dθ 2 ( + τrθ + τrθ θ dθ ) dr － τrθdr + Fr rdrdθ = 0． ( 17) 研究并行隧道间中心轴连线上的塑性区范围，即 能为隧道合理间距提供参考，所以把力学模型简化为 并行隧道中心轴连线上的塑性区应力分析模型． 由对称关系可得 τrθ = 0，不计体积力 Fr，略去高阶 微量，整理后得 σθp － σrp r = dσrp dr ． ( 18) 当围岩进入塑性状态，围岩体就会满足塑性屈服 准则． 采用考虑中间主应力的 D--P 屈服准则，塑性区 围岩各应力满足式( 15) 和式( 16) 的关系，将式( 16) 代 入式( 18) 中，解微分方程，可得 σrp = v ( 1 － u) + λr u － 1 ． ( 19) 式中，λ 为积分常数，可由围岩的边界条件进行 求解． 无支护情况下，在无限接近隧道 1 的位置，由于受 到隧道 2 的扰动，围岩径向应力等于多余面力产生的 应力 σf，即 σrp = σf，代入式( 19) ，可得: λ ( = σf － v 1 － ) u Ｒ1 － u 1 ， ( 20) σf = 2GＲ2 1Ｒ2 2 ( Ｒ2 2 － d2 + Ｒ1 d) 2 + 2GＲ3 1Ｒ2 2 d ( Ｒ2 2 － d2 + Ｒ1 d) 3 － GＲ2 2 ( Ｒ1 － d) 2 － GＲ2 1Ｒ4 2 ( Ｒ1 － d) 2 ( Ｒ2 2 － d2 + Ｒ1 d) 2 － 2GＲ2 1Ｒ4 2 d ( Ｒ1 － d) ( Ｒ2 2 － d2 + Ｒ1 d) 3 － 2GＲ2 1Ｒ2 2 d2 ( Ｒ2 2 － d2 + Ｒ1 d) 3 ． ( 21) 于是得到塑性区围岩应力计算公式: σrp = v 1 － u ( + σf － v 1 － ) ( u r Ｒ ) 1 u － 1 ， ( 22) σθp = v 1 － u + ( u σf － v 1 － ) ( u r Ｒ ) 1 u － 1 ， ( 23) σzp = v 1 － u + ( un － n + 1 ( ) σf － v 1 － ) ( u r Ｒ ) 1 u － 1 ． ( 24) 1. 2. 3 两隧道塑性区的有效半径和贯穿半径 在围岩弹塑性区交界处，围岩的应力状态同时满 足弹性应力条件和塑性应力条件． 设围岩弹性区径向 应力和切向应力分别为 σre和 σθe，塑性区径向应力和 切向应力分别为 σrp和 σθp，则 r = rp时，有 σrp + σθp = σre + σθe． 假设水平并行隧道合理间距与无支护条件 下两隧道之间水平方向的塑性区半径有关，且本文定 义该塑性区半径为水平并行隧道塑性区的有效半径， 记作 rp ; 定义无支护条件下隧道塑性区临界贯穿时的 有效半径为隧道塑性区的贯穿半径，记作 Ｒp ． 联立式 ( 7) 、式( 8) 、式( 21) 、式( 22) 和式( 23) ，最终得到求解 并行隧道围岩塑性区有效半径的公式: [ 4 G 2 + GＲ2 1Ｒ2 2 ( Ｒ2 2 － d2 + rp d) 2 ] = 2v 1 － u + ( u + 1 [ ) 2GＲ2 1Ｒ2 2 ( Ｒ2 2 － d2 + Ｒ1 d) 2 + 2GＲ3 1Ｒ2 2 d ( Ｒ2 2 － d2 + Ｒ1 d) 3 － GＲ2 2 ( Ｒ1 － d) 2 － GＲ2 1Ｒ4 2 ( Ｒ1 － d) 2 ( Ｒ2 2 － d2 + Ｒ1 d) 2 － 2GＲ2 1Ｒ4 2 d ( Ｒ1 － d) ( Ｒ2 2 － d2 + Ｒ1 d) 3 － 2GＲ2 1Ｒ2 2 d2 ( Ｒ2 2 － d2 + Ｒ1 d) 3 － v 1 － ] ( u rp Ｒ ) 1 u － 1 ． ( 25) 令 d = 2rp，代入式( 25) ，求解得到的塑性区有效 半径 rp，即为并行隧道塑性区的贯穿半径． 2 并行隧道相互影响数值分析 2. 1 数值模拟 2. 1. 1 数值建模 为验证理论计算的 正 确 性，使 用 有 限 差 分 软 件 FLAC3D进行数值模拟，如图 3 所示． 模拟过程中，采用 D--P 本构模型，模拟在单一岩层中，无支护条件下掘 进两条相同半径的水平并行圆形隧道． 通过不断调整 隧道间距，求得两隧道塑性区的贯穿半径． 在平面应 变条件下，岩体进入塑性状态时，文中的中间主应力系 数 n 接近于 0. 5，结合本文研究背景，中间主应力系数 n 取 0. 5． 原岩应力 P = 22 MPa，岩体凝聚力 c = 2 MPa， 内摩擦角 ω = 30°，平均变形模量 E = 8. 3 GPa，容重 γ = · 492 ·

宋伟超等：基于复变函数理论和D-P屈服准则的并行隧道合理间距 ·295 Z方向应力分布云图 由平均体积计算得到 343×10 400x 三维网格体 分组颐色 「隧道 2585×10 (a) 三维网格体 平均状态额色分组 无破坏 过去和现在均发生剪切破坏 (c) 发生剪切破坏且过去发生拉伸破坏 过去发生剪切破坏 【过去发生剪切破坏和拉伸破坏 图3数值建模分析过程.()数值模拟建模图：(b)初始应力场：()塑性区相交图 Fig.3 Numerical modeling analysis process:(a)numerical modeling:(b)initial stress field:(c)intersection of the plastic zone 22kN·m3,抗拉强度o,=2MPa 半径，结果如图5所示 2.1.2不同屈服准则条件下隧道半径对塑性区贯穿 半径的影响 12 一一模拟值 分别采用D-P模型和M-C模型求解隧道半径为 一·一理论值 3、4、5、6和7m时塑性区的贯穿半径，结果如图4 11 所示 10 20r 9 18 ·一D-P理论值 ·一D-P模拟值 +一M-C模拟值 8 16 14 12 12141618202224262830 间距/m 图5。不同隧道间距下隧道塑性区的有效半径 Fig.5 Effective radius of the rock plastic zone at different spacings between tunnels 巷道半径/m 2.2计算结果对比 图4隧道塑性区贯穿半径随开挖半径的变化 将理论计算与数值模拟结果进行比较，结果如表 Fig.4 Variation in connected radius of the rock plastic zone with 1和表2所示. tunnel radius 2.3结果分析 2.1.3不同隧道间距对隧道塑性区范围的影响 如图4所示，随着隧道开挖半径增大，隧道塑性区 在隧道开挖半径为3m条件下，采用D-P模型计 的贯穿半径也逐渐增大.对比D-P模型和MC模型 算间距为28、24、20、17和12m时隧道塑性区的有效 发现，开挖半径相同时，前者塑性区的贯穿半径大于后

宋伟超等: 基于复变函数理论和 D--P 屈服准则的并行隧道合理间距 图 3 数值建模分析过程． ( a) 数值模拟建模图; ( b) 初始应力场; ( c) 塑性区相交图 Fig． 3 Numerical modeling analysis process: ( a) numerical modeling; ( b) initial stress field; ( c) intersection of the plastic zone 22 kN·m － 3，抗拉强度 σt = 2 MPa． 2. 1. 2 不同屈服准则条件下隧道半径对塑性区贯穿 半径的影响 分别采用 D--P 模型和 M--C 模型求解隧道半径为 3、4、5、6 和 7 m 时 塑 性 区 的 贯 穿 半 径，结 果 如 图 4 所示． 图 4 隧道塑性区贯穿半径随开挖半径的变化 Fig． 4 Variation in connected radius of the rock plastic zone with tunnel radius 2. 1. 3 不同隧道间距对隧道塑性区范围的影响 在隧道开挖半径为 3 m 条件下，采用 D--P 模型计 算间距为 28、24、20、17 和 12 m 时隧道塑性区的有效 半径，结果如图 5 所示． 图 5 不同隧道间距下隧道塑性区的有效半径 Fig． 5 Effective radius of the rock plastic zone at different spacings between tunnels 2. 2 计算结果对比 将理论计算与数值模拟结果进行比较，结果如表 1 和表 2 所示． 2. 3 结果分析 如图 4 所示，随着隧道开挖半径增大，隧道塑性区 的贯穿半径也逐渐增大． 对比 D--P 模型和 M--C 模型 发现，开挖半径相同时，前者塑性区的贯穿半径大于后 · 592 ·