基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现

第36卷第5期 北京科技大学学报 Vol.36 No.5 2014年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing May 2014 基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 张晓丹，高 成 北京科技大学数理学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:bkdzxd@163.com 摘要基于奇函数，提出了一类新的四维混沌系统，通过调整该系统的参数，使其在某些平面上形成四翼.对该类系统进行 了数值模拟，对其一些基本的动力学行为进行了分析，如平衡点、耗散性和Lyapunov指数.研究了混沌系统的参数敏感性，讨 论了系统相图随参数变化所呈现的周期、混沌等状态.设计了一个混动系统的振荡电路，通过MULTISIM得到的相图与数值 模拟结果具有良好的一致性. 关键词混沌系统：设计：奇函数：动力学分析：电路模拟 分类号0193：0415.5 Design and circuit implementation of a kind of 4D four-wing chaotic system based on the odd function ZHANG Xiao-dan,GAO Cheng School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:bkdzxd@163.com ABSTRACT A kind of four-dimensional (4D)four-wing chaotic system was proposed based on the odd function.The chaotic system can generate four wings on a certain plane by adjusting some parameters.Its basic dynamic behaviors including equilibria,dissipativity and Lyapunov exponents were analyzed by numerical simulation.The sensitivity of system parameters to the chaotic behavior was also studied.When the parameters vary,the phase diagram can present periodic orbits,chaos,and other states.An oscillation circuit was designed for the chaotic system,and MUTISIM observed results have a good consistency with numerical simulation KEY WORDS chaotic systems;design;odd functions:dynamic analysis:circuit simulation 自Lorenz系统模型O被首次提出后，混沌理论得 回函数，将对称的两个系统连接到一起，形成了四 到了很大的发展，随着混沌在保密通信领域的广泛应 翼.文献l0]将两个经典Lorenz耦合在一起，从而 用，产生更为复杂的混沌系统成为了一个研究热点 获得一个有四翼吸引子的混沌系统.文献1-13] 许多文献通过引入分段函数)或者非线性函 通过采用双极性化轴的方法，形成四翼.文献14] 数，增加系统指标为2的平衡点的个数，从而构造出 通过Julia分形过程，对Lorenz以及耦合Lorenz系统 多翼、网格翼等混沌系统，如使用锯齿波函数、 进行迭代，产生了多翼.文献15-16]通过在每一 滞回函数)、三角函数圆构造多翼混沌系统 个方程都加入了一个三次交叉乘积项，构造出四维 Lorenz等传统混沌系统只能产生二翼，只局限 四翼混沌系统.文献7]对一类三维自治系统进行 于正半轴空间，不能向负半轴发展.研究如何构建 分析，提出系统可能形成四翼的三个条件 四翼光滑的自治系统也成为了一个主要的方向.文 本文首先基于一元可微奇函数提出了一类的四 献9]通过坐标变换的方法，把符号函数替换成滞 翼四维混沌系统，其次推广至多元齐次函数，对混沌 收稿日期：2013-0307 基金项目：中央高校基本科研业务费资助项目(06108128) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.05.017:http://journals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 5 期 2014 年 5 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 5 May 2014 基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 张晓丹，高 成 北京科技大学数理学院，北京 100083  通信作者，E-mail: bkdzxd@ 163． com 摘 要 基于奇函数，提出了一类新的四维混沌系统，通过调整该系统的参数，使其在某些平面上形成四翼． 对该类系统进行 了数值模拟，对其一些基本的动力学行为进行了分析，如平衡点、耗散性和 Lyapunov 指数． 研究了混沌系统的参数敏感性，讨 论了系统相图随参数变化所呈现的周期、混沌等状态． 设计了一个混动系统的振荡电路，通过 MULTISIM 得到的相图与数值 模拟结果具有良好的一致性． 关键词 混沌系统; 设计; 奇函数; 动力学分析; 电路模拟 分类号 O 193; O 415. 5 Design and circuit implementation of a kind of 4D four-wing chaotic system based on the odd function ZHANG Xiao-dan ，GAO Cheng School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: bkdzxd@ 163． com ABSTＲACT A kind of four-dimensional ( 4D) four-wing chaotic system was proposed based on the odd function． The chaotic system can generate four wings on a certain plane by adjusting some parameters． Its basic dynamic behaviors including equilibria，dissipativity and Lyapunov exponents were analyzed by numerical simulation． The sensitivity of system parameters to the chaotic behavior was also studied． When the parameters vary，the phase diagram can present periodic orbits，chaos，and other states． An oscillation circuit was designed for the chaotic system，and MUTISIM observed results have a good consistency with numerical simulation． KEY WOＲDS chaotic systems; design; odd functions; dynamic analysis; circuit simulation 收稿日期: 2013--03--07 基金项目: 中央高校基本科研业务费资助项目( 06108128) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 05． 017; http: / /journals． ustb． edu． cn 自 Lorenz 系统模型［1］被首次提出后，混沌理论得 到了很大的发展，随着混沌在保密通信领域的广泛应 用，产生更为复杂的混沌系统成为了一个研究热点． 许多文献通过引入分段函数［2--3］或者非线性函 数，增加系统指标为 2 的平衡点的个数，从而构造出 多翼、网格翼等混沌系统，如使用锯齿波函数［4--6］、 滞回函数［7］、三角函数［8］构造多翼混沌系统． Lorenz 等传统混沌系统只能产生二翼，只局限 于正半轴空间，不能向负半轴发展． 研究如何构建 四翼光滑的自治系统也成为了一个主要的方向． 文 献［9］通过坐标变换的方法，把符号函数替换成滞 回函数，将对称的两个系统连接到一起，形成了四 翼． 文献［10］将两个经典 Lorenz 耦合在一起，从而 获得一个有四翼吸引子的混沌系统． 文献［11--13］ 通过采用双极性化轴的方法，形成四翼． 文献［14］ 通过 Julia 分形过程，对 Lorenz 以及耦合 Lorenz 系统 进行迭代，产生了多翼． 文献［15--16］通过在每一 个方程都加入了一个三次交叉乘积项，构造出四维 四翼混沌系统． 文献［17］对一类三维自治系统进行 分析，提出系统可能形成四翼的三个条件． 本文首先基于一元可微奇函数提出了一类的四 翼四维混沌系统，其次推广至多元齐次函数，对混沌

第5期 张晓丹等：基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 681· 系统进行了数值模拟，对其动力学行为进行了分析， 式中：a1>0,a2>0,a3>0,a4>0,a5>0,b1>0,b2> 讨论了其类型与四翼形状的关系，分析了混沌行为 0,b>0是参数：f(x)是单调可微的奇函数.通过对 的参数敏感性，并设计了一个相应的混沌电路 参数的调整，系统(1)有可能形成四翼混沌状态 当a1=4,a2=14,a3=7,a4=1,a5=2,b1=1, 1混沌系统动力学行为分析 b2=1,b3=1,(x)=x时，初值取(0.5，-0.5， 本文研究如下四维动力系统： -0.5,0.5),系统(1)在x-y,x-z平面呈现明显 [=ax-biyz-az, 的四翼混沌状态，见图L.此时该系统的Lyapunov y=baxz-a2y, 指数为LE,=0.8336,LE2=0.0759,LE3= (1) 2=b3xy-a3z+asw, -0.6923,LE,=-17.2020,具有正的Lyapunov指 数，显示系统(1)是混沌的. lio=f(x). xy平面图 x-:平面图 40 10 -10 -20 -20 -30 300-30-20-10010203040 4040-30-20-10010203040 图1f(x)=(x)时系统(1)的xy和x:平面相图 Fig.1 xy and x plane phase diagrams of system (1)when f(x)=f(x) 当a1=4,a2=14,a3=7,a4=1,a5=0.008,b1= Lyapunov指数为LE1=0.3386,LE2=0.0119,LE3= 1,b2=1,b3=1,5(x)=x3时，初值取(1，-1，-1， -0.3191,LE,=-17.0315,验证了其混沌特性 1),系统(1)形成了如图2所示四翼状态。该系统的 当a1=4,a2=14,a3=7,a4=1,a5=1,b1=1, xy平面图 40 x:平面图 30 20 20 10 0 -10 -20 20 -3040-30-20-10010203040 4 -40-30-20-10010203040 图2f(x)=f方(x)时系统(1)的xy和x=平面相图 Fig.2 x-y and x-plane phase diagrams of system (1)when f(x)=f (x)

第 5 期 张晓丹等: 基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 系统进行了数值模拟，对其动力学行为进行了分析， 讨论了其类型与四翼形状的关系，分析了混沌行为 的参数敏感性，并设计了一个相应的混沌电路． 1 混沌系统动力学行为分析 本文研究如下四维动力系统: x · = a1 x － b1 yz － a4 z， y · = b2 xz － a2 y， z · = b3 xy － a3 z + a5w， w · = f( x)        ． ( 1) 式中: a1 ＞ 0，a2 ＞ 0，a3 ＞ 0，a4 ＞ 0，a5 ＞ 0，b1 ＞ 0，b2 ＞ 0，b3 ＞ 0 是参数; f( x) 是单调可微的奇函数． 通过对 参数的调整，系统( 1) 有可能形成四翼混沌状态． 当 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 2，b1 = 1， b2 = 1，b3 = 1，f1 ( x) = x 时，初值 取 ( 0. 5，－ 0. 5， － 0. 5，0. 5) '，系统( 1) 在 x － y，x － z 平面呈现明显 的四翼混沌状态，见图 1． 此时该系统的 Lyapunov 指 数 为 LE1 = 0. 8336，LE2 = 0. 0759，LE3 = － 0. 6923，LE4 = － 17. 2020，具有正的 Lyapunov 指 数，显示系统( 1) 是混沌的． 图 1 f( x) = f1 ( x) 时系统( 1) 的 x-y 和 x-z 平面相图 Fig． 1 x-y and x-z plane phase diagrams of system ( 1) when f( x) = f1 ( x) 图 2 f( x) = f2 ( x) 时系统( 1) 的 x-y 和 x-z 平面相图 Fig． 2 x-y and x-z plane phase diagrams of system ( 1) when f( x) = f2 ( x) 当 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 0. 008，b1 = 1，b2 = 1，b3 = 1，f2 ( x) = x 3 时，初值取( 1，－ 1，－ 1， 1) '，系统( 1) 形成了如图 2 所示四翼状态． 该系统的 Lyapunov 指 数 为 LE1 = 0. 3386，LE2 = 0. 0119，LE3 = － 0. 3191，LE4 = － 17. 0315，验证了其混沌特性． 当 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 1，b1 = 1， · 186 ·

·682 北京科技大学学报 第36卷 b2=1,b3=1, 时，初值取(1,1,1,1)，系统(1)形成了如下的四翼 x≤-T/2, 混沌状态，如图3.此时该系统的Lyapunov指数为 5(x)s sinx -T/2<x≤m2, LE1=0.7066,LE2=-0.0935,LE3=-0.6246, x>T/2 LE4=-16.9504,表明系统呈现混沌状态. y平面图 x:平面图 30 20 20 10 0 -10 20 30 -40 4050-40-30-20-1001020304050 -5030-40-30-20-1001020304050 图3f(x)=f方(x)时系统(1)的xy和x:平面相图 Fig.3 xy and x plane phase diagrams of system (1)when f(x)=f (x) 1.1耗散性 入1=-a2 对于系统(1)有 -p-2ies(号） Tv=班+y+2+驰=a,-a,-a A2= 当a1-a2-a3<0时系统(1)是耗散的，并以指数形 -p+[cs(号)±5sim(号)] 式=e”收敛，当一时初始体积元将收 入34= 3 敛到0，说明了吸引子的存在性 ,0=arcc0s(2当a1=4,a2=14, 1.2平衡点分析 7,a4=1,a5=2,b1=1,b2=1,b3=1,f(x）=x时， 因为f(x)在R上是单调可微奇函数，因此当 △=-274548.系统(1)在平衡点S(0,0,0,0)的特 f(x)=0时，有x=0.所以系统(1)只有唯一一个零 征值入1=-14，入2=3.9538，入3=0.0720，入4= 平衡点S(0,0,0,0).在S处系统(1)的雅克比矩阵 -7.0258,即该平衡点是系统指标为2的鞍点.当4 为 >0时，式(3)有两个实根和一对共轭复根，即 a 0 -a401 入1=-a2, 0 -a2 0 0 J= 0 -a3a5 =p-江-盗 3 0 00J 式中，d=f(0).J的特征方程为 A4p+沉+酒：江：还 6 6 F(A)=(+a,)3+(-a1+a3)A2- a1a3入+a4a5d]. (2) 式中，出=加+2(-B士0.当-2印+沉+ 令p=-a1+a3q=-aa3,k=a4asd,则式(2)为 万>0时，平衡点为鞍焦点.本文取a1=4,a2= F(A)=(A+a2)(A3+PM2+qA+k).(3) 14,a3=6.9,a4=13.1,a5=2,b1=1,b2=1,b3=1, 设A=p2-3q,B=p9-9k,C=g2-3k,4=B2- f(x)=x,此时4=34952>0，系统(1)在平衡点 4AC,根据盛金公式，当△<0时，式(3)有四个不相 S(0,0,0,0)的特征值为入1=-14，入2=-7.3691， 等的实根 A3=2.2345-0.5830i,入4=2.2345+0.5830i,A1·

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 b2 = 1，b3 = 1， f3 ( x) = － 1 x≤ － π/2， sinx － π/2 ＜ x≤π/2， 1 x ＞ π/ { 2 时，初值取( 1，1，1，1) '，系统( 1) 形成了如下的四翼 混沌状态，如图 3． 此时该系统的 Lyapunov 指数为 LE1 = 0. 7066，LE2 = － 0. 0935，LE3 = － 0. 6246， LE4 = － 16. 9504，表明系统呈现混沌状态． 图 3 f( x) = f3 ( x) 时系统( 1) 的 x-y 和 x-z 平面相图 Fig． 3 x-y and x-z plane phase diagrams of system ( 1) when f( x) = f3 ( x) 1. 1 耗散性 对于系统( 1) 有 Δ V = x · x + y · y + z · z + w · w = a1 － a2 － a3 ． 当 a1 － a2 － a3 ＜ 0 时系统( 1) 是耗散的，并以指数形 式dV dt = e( a1 － a2 － a3) t 收敛，当 t→∞ 时初始体积元将收 敛到 0，说明了吸引子的存在性． 1. 2 平衡点分析 因为 f( x) 在 Ｒ 上是单调可微奇函数，因此当 f( x) = 0时，有 x = 0． 所以系统( 1) 只有唯一一个零 平衡点 S( 0，0，0，0) ． 在 S 处系统( 1) 的雅克比矩阵 为 J = a1 0 － a4 0 0 － a2 0 0 0 0 － a3 a5 d            0 0 0  ． 式中，d = f'( 0) ． J 的特征方程为 F( λ) = ( λ + a2) ［λ3 + ( － a1 + a3 ) λ2 － a1 a3λ + a4 a5 d］． ( 2) 令 p = － a1 + a3，q = － a1 a3，k = a4 a5 d，则式( 2) 为 F( λ) = ( λ + a2 ) ( λ3 + pλ2 + qλ + k) ． ( 3) 设 A = p 2 － 3q，B = pq － 9k，C = q 2 － 3pk，Δ = B2 － 4AC，根据盛金公式，当 Δ ＜ 0 时，式( 3) 有四个不相 等的实根． λ1 = － a2， λ2 = － p － 2 槡A ( cos θ ) 3 3 ， λ3，4 = － p + 槡A [ ( cos θ ) 3 ± 3sin 槡 ( θ ) ] 3 3 ． 式中，θ = arccos ( 2Ap － 3B 2 3 槡A ) 2 ． 当 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 2，b1 = 1，b2 = 1，b3 = 1，f( x) = x 时， Δ = － 274548． 系统( 1) 在平衡点 S( 0，0，0，0) '的特 征值 λ1 = － 14，λ2 = 3. 9538，λ3 = 0. 0720，λ4 = － 7. 0258，即该平衡点是系统指标为 2 的鞍点． 当 Δ ＞ 0 时，式( 3) 有两个实根和一对共轭复根，即 λ1 = － a2， λ2 = － p － 3 槡Y1 － 3 槡Y2 3 ， λ3，4 = － 2p + 3 槡Y1 + 3 槡Y2 6 ± i 3 槡Y1 － 3 槡Y2 6 槡3． 式中，Y1，Y2 = Ap + 3 2 ( － B ± 槡Δ) ． 当 － 2p + 3 槡Y1 + 3 槡Y2 ＞ 0 时，平衡点为鞍焦点． 本文取 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 6. 9，a4 = 13. 1，a5 = 2，b1 = 1，b2 = 1，b3 = 1， f( x) = x，此时 Δ = 34952 ＞ 0，系 统 ( 1 ) 在 平 衡 点 S( 0，0，0，0) '的特征值为 λ1 = － 14，λ2 = － 7. 3691， λ3 = 2. 2345 － 0. 5830i，λ4 = 2. 2345 + 0. 5830i，λ1· · 286 ·

第5期 张晓丹等：基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 ·683· Re(A3,a)<0,A2Re(A3,A4)<0,即平衡点是系 于y轴的两边；x-z平面上，四翼也两两一组，分别 统指标为2的鞍焦点.此时我们发现系统仍然能产 位于x轴两边.此时的Lyapunov指数为LE,= 生四翼，但是位置上发生了很大的变化.如图4，x- 0.2841,LE2=-0.0412,LE3=-0.6204,LE4= y平面上，四翼两两一组，沿x轴方向排列，分别位 -16.4526,表明系统呈现混沌状态. )平面图 纯 :平面图 20 2 0 0 50 40-30-20-10010203040 -6040-30-20-10010203040 图4a4=13.1,f(x)=f(x)时系统(1)的xy,x平面相图 Fig.4 x-y,x plane phase diagrams of system (1)when aa =13.I and f(x)=f (x) 综上分析，当f(x)是单调可微奇函数且平衡点 吃 S(0,0,0,0)‘是指标为2的鞍点或鞍焦点时，系统 40 (1)有可能形成四翼混沌. 20 2系统参数灵敏性分析 103 0 在数值模拟中，我们发现线性项系数a4对系统 -10 的相图影响较大.取f(x)=x,令a1=4,a2=14, 20 a3=7,a5=3,让a4在，40]上变化，得到Lyapunov -30 指数(Lyapunov exponent,LE)谱图如图5，以及状态 -40 -50 变量y随着a,变化的分岔图如图6. 10152025303540 LE 图6状态变量y随a4变化的分岔图 -2 Fig.6 Bifurcation diagram of state variable y changing with a -4 -6 (1)的Lyapunov指数为(0，-，-，-)的情形，表明 4-8 此时系统为周期状态；当a4∈5.5,13.5]，系统(1) -10 的Lyapunov指数为(+，0，-，-)的情形，表明此时 -12 -14 系统又进入混沌状态；当a4∈3.5,40]时，系统 -16 (1)的Lyapunov指数再次变成(O,-,-,-)的情 -18 0 510152025303540 形，则系统呈现周期状态.图6所得的分岔情况也 与图5相对应. 图5 Lyapunov指数谱图 当a4=3,5.3,13,21时的系统相图如图7所 Fig.5 Spectra of Lyapunov exponents 示，可以明显地看出当a4=3∈0,4.7]和a4=13∈ 从图5中可以看出：当a4∈1,4.7]时，系统 5.5,13.5]时，系统(1)呈现混沌状态，如图7(a) (1)的Lyapunov指数为(+，0，-，-)的情形，表明 和7(c).当a4=5.3∈[4.7,5.5]和a4=21∈ 此时系统为混沌状态；当a4∈4.7,5.5]时，系统 13.5,40]时，系统(1)呈现周期状态，如图7(b)和

第 5 期 张晓丹等: 基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 Ｒe( λ3，λ4 ) ＜ 0，λ2 ·Ｒe( λ3，λ4 ) ＜ 0，即平衡点是系 统指标为 2 的鞍焦点． 此时我们发现系统仍然能产 生四翼，但是位置上发生了很大的变化． 如图 4，x － y 平面上，四翼两两一组，沿 x 轴方向排列，分别位 于 y 轴的两边; x － z 平面上，四翼也两两一组，分别 位于 x 轴 两 边． 此 时 的 Lyapunov 指 数 为 LE1 = 0. 2841，LE2 = － 0. 0412，LE3 = － 0. 6204，LE4 = － 16. 4526，表明系统呈现混沌状态． 图 4 a4 = 13. 1，f( x) = f1 ( x) 时系统( 1) 的 x-y，x-z 平面相图 Fig． 4 x-y，x-z plane phase diagrams of system ( 1) when a4 = 13. 1 and f( x) = f1 ( x) 综上分析，当 f( x) 是单调可微奇函数且平衡点 S( 0，0，0，0) '是指标为 2 的鞍点或鞍焦点时，系统 ( 1) 有可能形成四翼混沌． 2 系统参数灵敏性分析 在数值模拟中，我们发现线性项系数 a4 对系统 的相图影响较大． 取 f( x) = x，令 a1 = 4，a2 = 14， a3 = 7，a5 = 3，让 a4 在［1，40］上变化，得到Lyapunov 指数( Lyapunov exponent，LE) 谱图如图 5，以及状态 变量 y 随着 a4 变化的分岔图如图 6． 图 5 Lyapunov 指数谱图 Fig． 5 Spectra of Lyapunov exponents 从图 5 中可以看出: 当 a4 ∈［1，4. 7］时，系统 ( 1) 的 Lyapunov 指数为( + ，0，－ ，－ ) 的情形，表明 此时系统为混沌状态; 当 a4 ∈［4. 7，5. 5］时，系统 图 6 状态变量 y 随 a4变化的分岔图 Fig． 6 Bifurcation diagram of state variable y changing with a4 ( 1) 的 Lyapunov 指数为( 0，－ ，－ ，－ ) 的情形，表明 此时系统为周期状态; 当 a4∈［5. 5，13. 5］，系统( 1) 的 Lyapunov 指数为( + ，0，－ ，－ ) 的情形，表明此时 系统又进入混沌状态; 当 a4 ∈［13. 5，40］时，系统 ( 1) 的 Lyapunov 指数再次变成( 0，－ ，－ ，－ ) 的情 形，则系统呈现周期状态． 图 6 所得的分岔情况也 与图 5 相对应． 当 a4 = 3，5. 3，13，21 时的系统相图如图 7 所 示，可以明显地看出当 a4 = 3∈［1，4. 7］和 a4 = 13∈ ［5. 5，13. 5］时，系统( 1) 呈现混沌状态，如图 7( a) 和 7 ( c) ． 当 a4 = 5. 3 ∈［4. 7，5. 5］和 a4 = 21 ∈ ［13. 5，40］时，系统( 1) 呈现周期状态，如图 7( b) 和 · 386 ·

·684 北京科技大学学报 第36卷 7(d).从图7(d)中也可以看出当a4=21∈13.5， 40]时系统(1)的周期结构比较复杂. y平面图 :平面图 y平面图 一平面图 60 80 40 60 20 0 20 -20 0 40 -20 老 60 40 600 2525-15 51525 -3025-15 51525 y平面图 :平面图 xy平面图 x:平面图 20 60 10 40 0 0 -10 20 0 3 20 40 40 50 40 40 6050-30-101030 6050-30-10100 500-2002040 -8040-20 20 40 d 图7a4=3(a),5.3(b),13(c),21(d),f(x)=(x)时系统(1)的xy,x平面相图 Fig.7 xy and x plane phase diagrams of system (1)when aa=3 (a),5.3 (b),13 (c),21 (d)and f()=f (x) 掉“单调”条件，令f(x)=sin(x),其为周期性可微 3对函数f(x)的进一步讨论 奇函数，取a1=4,a2=14,a3=7,a4=1,a5=4.5, 前面各节假设f(x)是单调可微奇函数，当减弱 b1=1,b2=1,b3=1,初值取(1，-1，-1,1)“，系统 对f(x)的要求时，系统相图也有可能形成四翼.去 (1)呈现相似形状的四翼图像，如图8.系统(1)的 y平面图 x平面图 60 30 0 0 20 40 50 40-200204060 606040-200 2040 60 图8f(x)=f(x)时系统(1)的xy,xs平面相图 Fig.8,xplane phase diagrams of system (1)when f()=fa (

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 7( d) ． 从图 7( d) 中也可以看出当 a4 = 21∈［13. 5， 40］时系统( 1) 的周期结构比较复杂． 图 7 a4 = 3 ( a) ，5. 3 ( b) ，13 ( c) ，21 ( d) ，f( x) = f1 ( x) 时系统( 1) 的 x-y，x-z 平面相图 Fig． 7 x-y and x-z plane phase diagrams of system ( 1) when a4 = 3 ( a) ，5. 3 ( b) ，13 ( c) ，21 ( d) and f( x) = f1 ( x) 图 8 f( x) = f4 ( x) 时系统( 1) 的 x-y，x-z 平面相图 Fig． 8 x-y，x-z plane phase diagrams of system ( 1) when f( x) = f4 ( x) 3 对函数 f( x) 的进一步讨论 前面各节假设 f( x) 是单调可微奇函数，当减弱 对 f( x) 的要求时，系统相图也有可能形成四翼． 去 掉“单调”条件，令 f4 ( x) = sin( x) ，其为周期性可微 奇函数，取 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 4. 5， b1 = 1，b2 = 1，b3 = 1，初值取( 1，－ 1，－ 1，1) '，系统 ( 1) 呈现相似形状的四翼图像，如图 8． 系统( 1) 的 · 486 ·