解:1.因为x符号不限,以x-x=x代入目标函数和所有约束条件中,其中,x3 x3均为非负变量 2.对第一个约束条件加上松弛变量x化为等式 3.对后两个约束条件分别减去剩余变量x和x6化为等式 4.为了保持目标函数不变,使x4,x和x的目标系数均为零。得到的标准形式线 性规划为: maxf(x)=2x1-x2+x3-x3+0x+0x5+0 x+3x2-x3+x2+x4=20 +x. 12 x1-4x2-4x3+4x3-x6=2 Ix,x2, x, 3, x20,x3,20 例1.7将下列线性规划问题化为标准形式: min f(x)=x,+2x,+4x, 2x1+x2+3x3=20 s{3x1+x2+4x2=25 x,x2≥0,2≤x3≤6 解:1.给目标函数两端同乘(-1),令f(x)=-f(x) 2.令x3=x2-2代入,问题化为: maxf(x)=-x1-2x2-4x2-8 x2+3x3 x+x2+4x2=17 4 x,x2,x3≥0 将变量x的上限约束化为等式,的标准形式为 maxf(x)=-x1-2x2-4x3-8+0x4 x1+x2+3x3 3x+x2+4x=17 x2+x1=4 x1,x2,x3,x4≥0 由以上可看出,任何一个线性规划问题都可以化成等价的标准形式的线性规划问 题。因此,以后如没有特殊声明,我们讲的线性规划都是指标准形式的线性规划
解：1．因为 x3 符号不限，以 ' " x − x = x 3 3 3 代入目标函数和所有约束条件中，其中， ' x3 ， " x3 均为非负变量。 2．对第一个约束条件加上松弛变量 x4 化为等式。 3．对后两个约束条件分别减去剩余变量 x5 和 x6 化为等式。 4．为了保持目标函数不变，使 x4 ， x5 和 x6 的目标系数均为零。得到的标准形式线 性规划为： ' " ' " ' " ' " . , , , , , , x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x + − + + − + − − = − − + − 1 2 3 3 4 1 2 3 3 5 1 2 3 3 1 2 4 5 6 3 3 2 2 1 4 4 4 ' " max f (x) x x x x x x x x = − + − + + + = = ≥ ≥ 1 2 3 3 4 5 6 3 2 0 0 0 2 2 0 0 6 0 例 1.7 将下列线性规划问题化为标准形式： 解：1．给目标函数两端同乘（-1），令 ' f ( ) x f = − ( ) x 2．令 x x 3 3 ' = − 2代入，问题化为： 将变量 ' x3 的上限约束化为等式，的标准形式为： ' ' ' ' ' ' max ( ) . , , f x x x x x x x x x x s t x x x x = − − − − + + = + + = ≤ ≥ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 248 2 3 14 3 4 17 4 0 ' ' ' ' ' ' max ( ) . , , , f x x x x x x x x x x s t x x x x x x = − − − − + + + = + + = + = ≥ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 4 1 2 3 4 248 0 2 3 14 3 4 17 4 0 min ( ) . , , f x x x x x x x s t x x x x x x = + + + + = + + = ≥ ≤ ≤ 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 2 3 20 3 4 2 0 2 6 3 5 x4 由以上可看出，任何一个线性规划问题都可以化成等价的标准形式的线性规划问 题。因此，以后如没有特殊声明，我们讲的线性规划都是指标准形式的线性规划
1.3线性规划的基本概念及其基本原理 这一节主要介绍有关线性规划问题解的基本概念及性质,为下节线性规划的单纯形 法作好理论上的准备工作 13.1线性规划问题的解的基本概念 由12节知线性规划的标准形式为 max r(x anx1=b,(i=1,2…,m) x20(=12…m) 定义1称满足线性规划的约束条件(2)和(3)的解x=(x1,x,…x),为线性规 划问题的可行解。所有可行解组成的集合称为可行域(可行解集)。 定义2称满足线性规划目标函数的可行解为线性规划的最优解,即使目标函数达到 极大的可行解称为最优解。 定义3设A=(an)m是约束方程组(2)的系数矩阵,其秩为m(m<n)。若B是矩 阵A中m×n阶非奇异子阵(B≠0),则称B是线性规划问题的一个基。 由线性代数知,如果B是线性规划问题的一个基,那么它一定是由A的m个线性 无关的列向量组成的,为了不失一般性以下设 B =,p2…Pn)P 定义4设B是线性规划问题的一个基,则称B的列向量p(=12…m)为线性规 划问题的基向量。与基向量p对应的决策变量x(=1,2,…m)称为线性规划问题的基变 量,否则称为非基变量 为了进一步讨论线性规划问题的解,我们先要研究方程组(2)的求解问题。 已知(2)的系数矩阵A的秩为m(m<n),故由线性代数的知识知方程组(2)有无 穷多个解。不失一般性,不妨假设方程组的前m个变量的系数列向量是线性无关的,于 是方程组(2)可改写为
1.3 线性规划的基本概念及其基本原理 这一节主要介绍有关线性规划问题解的基本概念及性质，为下节线性规划的单纯形 法作好理论上的准备工作。 1.3.1 线性规划问题的解的基本概念 由 1.2 节知线性规划的标准形式为： 定义 1 称满足线性规划的约束条件（2）和（3）的解 ( , , , ) T X n = x x x 1 2 " ，为线性规 划问题的可行解。所有可行解组成的集合称为可行域（可行解集）。 max ( ) ,( , , , ) . ( , , , ) n j j j n ij j i j j f x c x a x b i m s t x j n = = = = = ≥ = ∑ ∑ " " 1 1 1 2 0 1 2 定义 2 称满足线性规划目标函数的可行解为线性规划的最优解，即使目标函数达到 极大的可行解称为最优解。 定义 3 设 是约束方程组（2）的系数矩阵，其秩为m m 。若 B 是矩 阵 A 中 阶非奇异子阵（ ( ) A a = ij mn ( < n) m× n B ≠ 0），则称 B 是线性规划问题的一个基。 由线性代数知，如果 B 是线性规划问题的一个基，那么它一定是由 A 的 m 个线性 无关的列向量组成的，为了不失一般性以下设 , , =( , ), = m j m j m j m m mn mj a a a a a a a a B p p p a a a a P = 1 11 12 1 21 22 2 2 1 2 1 2 " " G G G G " ### # # " 定义 4 设 B 是线性规划问题的一个基，则称 B 的列向量 ( , , , j p j =1 2 m) G " 为线性规 划问题的基向量。与基向量 j p G 对应的决策变量 ( , , , j x j =1 2 " m) 称为线性规划问题的基变 量，否则称为非基变量。 为了进一步讨论线性规划问题的解，我们先要研究方程组（2）的求解问题。 已知（2）的系数矩阵 A 的秩为m m( < n) ，故由线性代数的知识知方程组（2）有无 穷多个解。不失一般性，不妨假设方程组的前 m 个变量的系数列向量是线性无关的，于 是方程组（2）可改写为：