第7章目标规划 7.1目标规划在管理决策中的意义 管理决策问题有难有简,有大有小。随着科学技术的发展,企业规模的不断扩大, 人们在生产管理中和各种经济中,所遇到的问题,越来越大,越来越复杂,相应地要做 出一个科学的决策,涉及的因素也越来越多 在建筑管理,经济活动和工程设计中,经常碰到一些需要决策的问题。例如,需要 判别某个住宅设计方案的优劣,某个施工计划的好坏等,当只考虑一个主要指标,决策 个数不多时,可用单目标优化方法找出最优决策,线性规划和非线性规划就是处理单目 标优化问题行之有效的方法。但在现实应用中,对一个决策方案进行评价时,往往需要 对多个指标进行综合评价,例如,在住宅方案的评价中需要考虑平面布置、空间利用、 安全可靠性以及厨房布置、造价等指标。在施工计划方案的考察中需要考虑工期短、造 价低、质量好等。由于因素多,问题复杂,有时使决策者很难轻易地拍案定案。尤其在 现代化生产和管理中,人们已经认识到由于轻率而不科学的决策所带来的结果和危害是 极其严重的。对于这类经营和计划管理中的多目标决策问题,由于同时要对许多相互矛 盾的各个目标进行优化分析,而且随着目标的增多,约束条件以及决策变量也增多。而 想利用线性规划来处理这类问题就显得很困难。正因为如此,美国学者查恩斯(A charnes)和库伯(W. Wcoopor)于1961年首次在《管理模型和线性规划的工业应用》 书中提出了目标规划的有关概念和数学模型,当时作为解一个没有可行解的线性规划 的一种方法而引入的。1965年尤吉·艾吉(Ruji· IjirI)在处理多目标问题分类各类目 标的重要性时,进一步完善了目标规划的数学模型。表达和求解目标规划问题的方法是 由杰斯基莱恩和桑·李改进的。 本章所讲的目标规划仅是线性目标规划,它是在线性规划的基础上进行讨论的。 72目标规划的基本概念及引例 721引入目标偏离变量的概念 为了解决管理决策中遇到的有关互相矛盾目标的优化问题,可以引入目标偏离变量 的概念,对系统的优化目标事先给予一个目标值,把目标实际可能达成的值与预定值之 间产生的偏差定义为目标的偏离变量:然后,把对目标求极值问题转化为对目标的偏离 变量求极值的问题进行解决。偏离变量有超过和不足两种情况,用dˆ表示可能实现值 超过规定指标值的超过量,称为正偏离量,当正偏离量是未知数时,称它为正偏离变量
第 7 章 目标规划 7.1 目标规划在管理决策中的意义 管理决策问题有难有简，有大有小。随着科学技术的发展，企业规模的不断扩大， 人们在生产管理中和各种经济中，所遇到的问题，越来越大，越来越复杂，相应地要做 出一个科学的决策，涉及的因素也越来越多。 在建筑管理，经济活动和工程设计中，经常碰到一些需要决策的问题。例如，需要 判别某个住宅设计方案的优劣，某个施工计划的好坏等，当只考虑一个主要指标，决策 个数不多时，可用单目标优化方法找出最优决策，线性规划和非线性规划就是处理单目 标优化问题行之有效的方法。但在现实应用中，对一个决策方案进行评价时，往往需要 对多个指标进行综合评价，例如，在住宅方案的评价中需要考虑平面布置、空间利用、 安全可靠性以及厨房布置、造价等指标。在施工计划方案的考察中需要考虑工期短、造 价低、质量好等。由于因素多，问题复杂，有时使决策者很难轻易地拍案定案。尤其在 现代化生产和管理中，人们已经认识到由于轻率而不科学的决策所带来的结果和危害是 极其严重的。对于这类经营和计划管理中的多目标决策问题，由于同时要对许多相互矛 盾的各个目标进行优化分析，而且随着目标的增多，约束条件以及决策变量也增多。而 想利用线性规划来处理这类问题就显得很困难。正因为如此，美国学者查恩斯（A﹒ charnes）和库伯（W﹒Wcoopor）于 1961 年首次在《管理模型和线性规划的工业应用》 一书中提出了目标规划的有关概念和数学模型，当时作为解一个没有可行解的线性规划 的一种方法而引入的。1965 年尤吉·艾吉（Ruji﹒Ijiri）在处理多目标问题分类各类目 标的重要性时，进一步完善了目标规划的数学模型。表达和求解目标规划问题的方法是 由杰斯基莱恩和桑·李改进的。 本章所讲的目标规划仅是线性目标规划，它是在线性规划的基础上进行讨论的。 7.2 目标规划的基本概念及引例 7.2.1 引入目标偏离变量的概念 为了解决管理决策中遇到的有关互相矛盾目标的优化问题，可以引入目标偏离变量 的概念，对系统的优化目标事先给予一个目标值，把目标实际可能达成的值与预定值之 间产生的偏差定义为目标的偏离变量；然后，把对目标求极值问题转化为对目标的偏离 变量求极值的问题进行解决。偏离变量有超过和不足两种情况，用 表示可能实现值 超过规定指标值的超过量，称为正偏离量，当正偏离量是未知数时，称它为正偏离变量。 d +
用dˉ表示可能实现值为能达到规定指标值的偏离量,称为负偏离量,当负偏离量未知时 称为负偏离变量。用d,d’表示第i个目标的正、负偏离变量。显然,在同一个问题 中,d,d是互补的;即d与d之中至少有一个为零。 当现实值超过规定值时,d>0,d=0 当现实值未达到规定值时,d->0,d+=0 当现实值恰好完成规定值时,dˉ,dt=0 以上三种情况可用一个数学式表示为: d×d#=0 722引例 为了说明问题,这里举例说明之。 例71某预制厂生产A,B两种预制构件,需要三种原材料C1,C2,C3,已知各种 原材料的库存量及单位预制件的所获利润如表71所示。问该厂的决策者应如何安排A, B的产量,才使工厂的利润最大。 表71 单位产品所需要材料 库存量 kg/件 A B 800 300 单位利润件 60 70 解:设A,B的产量分别为x,x2件,则得线性规划: axf(x)=60x1+70 20x1+30x2≤1200 40x,+20x、<800 x2≤300 x1,x2≥0 经求解,得出优解x=(30,20),f(x’)=3200元,即当产品A生产30件,产品B 生产20件时,工厂所得利润3200元为最大利润 在生产实际中,利润指标往往是由上级部门或工厂计划部门下达,如在本问题中, 假定计划部门下达的利润指标为3100元,这时车间领导又应如何组织生产呢?此时的 问题利用线性规划就无法解决了,据目标规划的偏离变量的概念,我们假定利润的现实 值与指标值之间的正偏离变量为d,负偏离为d。可将利润函数等价地表示为:
用 表示可能实现值为能达到规定指标值的偏离量，称为负偏离量，当负偏离量未知时 称为负偏离变量。用 ，d ，表示第 个目标的正、负偏离变量。显然，在同一个问题 中， ， 是互补的；即 与 d − d i d + i − i d + i i + i d − i d −之中至少有一个为零。 i + i d − d 2 2 1 2 ) ≤ x f 当现实值超过规定值时，d ＞0， i d − =0 当现实值未达到规定值时， ＞0， i d + =0 当现实值恰好完成规定值时， i d −， i d + =0 以上三种情况可用一个数学式表示为： i −× i d + =0 7.2.2 引例 为了说明问题，这里举例说明之。 例 7.1 某预制厂生产 A，B 两种预制构件，需要三种原材料 C1，C2，C3，已知各种 原材料的库存量及单位预制件的所获利润如表 7.1 所示。问该厂的决策者应如何安排 A， B 的产量，才使工厂的利润最大。 表 7.1 单位产品所需要材料 产 品 kg/件 A B 库 存 量 C1 C2 C3 20 40 — 30 20 10 1200 800 300 单位利润/件 60 70 解：设 A，B 的产量分别为 1 x , x 件，则得线性规划： 1 2 1 2 1 2 max ( 60 70 20 30 1200 40 20 800 . 10 300 , 0 f x x x x x x s t x x x = + x + ≤ + ≤ ≥ (1) (2) (3) (4) 经求解，得出优解 * = (30,20)T , * (x ) =3200 元，即当产品 A 生产 30 件，产品 B 生产 20 件时，工厂所得利润 3200 元为最大利润。 在生产实际中，利润指标往往是由上级部门或工厂计划部门下达，如在本问题中， 假定计划部门下达的利润指标为 3100 元，这时车间领导又应如何组织生产呢？此时的 问题利用线性规划就无法解决了，据目标规划的偏离变量的概念，我们假定利润的现实 值与指标值之间的正偏离变量为 1 d + ，负偏离为 1 d −。可将利润函数等价地表示为：
60x1+70x2-d*+d1=3100 它与线性规划的约束条件相比具有相同的意义,所以我们称它为目标规划的目标约 束,而称原线性规划的约束条件(2),(3),(4)为目标规划的环境约束。至于目标规划的 目标函数可依照以下方式来建立,据决策者的要求分为三种情况,相对于每种要求的目 标函数为: 1.要求现实值超过或完成规定的利润指示,或完成3100元时,d=d=0;若超 过时,d=0,d>0,两种情况同时满足。工厂不希望利润低于3100元,即出现 d'=0,d>0的情况。一旦出现这种情况,也希望d尽可能小,因而在这种情况下目标 函数可表示为: minZ=di 2.若要求实现值不超过规定指标时,目标函数应为正偏离变量d越小越好或为零, mIn 3.若要求现实值恰好为规定的指标值时,目标函数应为正、负偏离变量的和为最小 或为零,即 Z=(d,+dj 现假定例71中的决策者要求完成或超额完成利润指标3100元,则得目标规划: minz= 60x1+70x2-d+d=3100 20x1+30x2≤1200 40x1+20x2≤800 10x2≤300 x1,x2,d7,d≥0 称以上的目标规划为单目标规划的目标规划,若目标多于一个时,称为多目标规划 的目标规划。 例7.2在例71中,若车间领导除考虑完成3100元的利润外,还要求恰好将C3原 材料用完。这时原环境约束条件10x2≤300就要改为目标约束条件: x2+d2-d2 原单目标规划变成一个二目标问题 其第一目标的目标函数为minz1=d 第二目标的目标规划为minZ2=d2+ad2 目标约束条件为 60x1+70x2-d*+d=3100 x2+d2-d2=300 环境约束条件为
1 2 1 1 60x x 70 d d 3100 + − + − + = 它与线性规划的约束条件相比具有相同的意义，所以我们称它为目标规划的目标约 束，而称原线性规划的约束条件(2)，(3)，(4)为目标规划的环境约束。至于目标规划的 目标函数可依照以下方式来建立，据决策者的要求分为三种情况，相对于每种要求的目 标函数为： 1.要求现实值超过或完成规定的利润指示，或完成 3100 元时， ；若超 过时， ，两种情况同时满足。工厂不希望利润低于 3100 元，即出现 的情况。一旦出现这种情况，也希望 1 1 d d 0 − + = = 1 1 d 0,d 0 − + = > 1 d 0 − d1 0, > + = 1 d −尽可能小，因而在这种情况下目标 函数可表示为： mi 1 n Z d − = 2.若要求实现值不超过规定指标时，目标函数应为正偏离变量 越小越好或为零， 即 1 d + mi 1 n Z d + = 3.若要求现实值恰好为规定的指标值时，目标函数应为正、负偏离变量的和为最小 或为零，即 mi 1 1 n Z (d d ) + − = + 现假定例 7.1 中的决策者要求完成或超额完成利润指标 3100 元，则得目标规划： mi 1 n Z d − = 1 2 1 1 60x x 70 d d 3100 + − + − + = 1 2 20x x + 30 ≤1200 1 2 40x x + 20 ≤ 800 2 10x ≤ 300 1 2 1 1 x x, , d ,d 0 − + ≥ 称以上的目标规划为单目标规划的目标规划，若目标多于一个时，称为多目标规划 的目标规划。 例 7.2 在例 7.1 中，若车间领导除考虑完成 3100 元的利润外，还要求恰好将 C3原 材料用完。这时原环境约束条件10 2 x ≤ 300 就要改为目标约束条件： 2 2 2 x d d 300 − + + − = 原单目标规划变成一个二目标问题。 其第一目标的目标函数为mi 1 1 n Z d − = 第二目标的目标规划为mi 2 2 n Z 2 d d − + = + 目标约束条件为 1 2 1 1 60x x 70 d d 3100 + − + − + = 2 2 2 x d d 300 − + + − = 环境约束条件为
20x1+30x2≤1200 40x1+20x,≤800 x2,d1,d1,d2,d2≥0 723目标函数的优先级与权系数 由于各个优化目标的量纲和取值范围各不相同,若把一个多目标的问题化为一个单 目标问题,将所有目标对应的偏离变量加起来,作为一个目标函数处理,往往不会得到 理想的结果,甚至无可行解。为了得到使决策者比较满意的解,我们需将目标的重要程 度分为等级,即给各目标冠以不同的优先级,最重要的目标给予第一优先级。目标的优 先级别的高低分别用优先因子P1,P2,…,Pk,…表示,规定Pk>Pk+1,即目标的优先 级是一个定性概念,不同的优先级之间无法用数量衡量,仅仅表示优化过程中目标考虑 的先后顺序。例如,在72中,利润目标和原材料C3目标加在一起考虑是欠妥的,因为 他们的量纲不同,主次地位也不同。若给利润目标赋予一级优先因子P1,材料目标放为 次要地位,赋予二级优先因子P2。上述问题的两个目标函数可以合为 Pdi, p(d2+d2) 对于同一优先级的不同目标,按其重要程度可分别赋予不同的权系数。权系数是一 种可以用数量表示的指标,因此对于一个具体的目标规划问题,它是一个数字 7.3目标规划的数学模型 73.1数学模型 由前引例可知目标规划的基本特征是: 1.对每个优化目标预先规定了一个目标值。 2.对每个优化目标需要引入偏离变量的概念,并且目标函数是以偏离为变量为自变 量,且都要求极小化 3.将目标分为若干不同的优先级。在同一优先级下不同目标可以赋予不同权系数 设有L个目标,K个优先级(K≤L)的一个目标规划问题。第l个目标的偏离变量 为d,矿,在K级优先因子下,偏离变量的权系数为石与砧。第l个目标的指定值 为g,这时得到一般目标规划的数学模型为: 目标函数极小化Z=P∑(4团+2d) 日标约束∑Cx,可d+d=8(=1,2,,L 环境约束 anx≤(2,=) (i=1,2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 20 30 1200 40 20 800 , , , , , 0 x x x x x x d d d d − + − + + ≤ + ≤ ≥ 7.2.3 目标函数的优先级与权系数 由于各个优化目标的量纲和取值范围各不相同，若把一个多目标的问题化为一个单 目标问题，将所有目标对应的偏离变量加起来，作为一个目标函数处理，往往不会得到 理想的结果，甚至无可行解。为了得到使决策者比较满意的解，我们需将目标的重要程 度分为等级，即给各目标冠以不同的优先级，最重要的目标给予第一优先级。目标的优 先级别的高低分别用优先因子 P1，P2，…，PK，…表示，规定 PK>>PK+1，即目标的优先 级是一个定性概念，不同的优先级之间无法用数量衡量，仅仅表示优化过程中目标考虑 的先后顺序。例如，在 7.2 中，利润目标和原材料 C3 目标加在一起考虑是欠妥的，因为 他们的量纲不同，主次地位也不同。若给利润目标赋予一级优先因子 P1，材料目标放为 次要地位，赋予二级优先因子 P2。上述问题的两个目标函数可以合为 1 1 2 2 2 Pd , ( P d d ) − − + + 对于同一优先级的不同目标，按其重要程度可分别赋予不同的权系数。权系数是一 种可以用数量表示的指标，因此对于一个具体的目标规划问题，它是一个数字。 7.3 目标规划的数学模型 7.3.1 数学模型 由前引例可知目标规划的基本特征是： 1.对每个优化目标预先规定了一个目标值。 2.对每个优化目标需要引入偏离变量的概念，并且目标函数是以偏离为变量为自变 量，且都要求极小化。 3.将目标分为若干不同的优先级。在同一优先级下不同目标可以赋予不同权系数。 设有 L 个目标，K 个优先级（K≤L）的一个目标规划问题。第l 个目标的偏离变量 为dl −， dl + ，在 K 级优先因子下，偏离变量的权系数为λkl − 与λkl + 。第l 个目标的指定值 为 gl ，这时得到一般目标规划的数学模型为： 目标函数 极小化 1 ( ) L k kl l kl l l Z P d λ λ d − − + + = = + ∑ 目标约束 1 ( 1, 2,..., ) n j j l l l j C x d d g l L + − = ∑ − + = = 环境约束 1 ( , ) ( 1,2,..., ) n ij j i j a x b i m = ∑ ≤ ≥ = =
非负约束x0=12,m) d,d≥0(=1,2,D) 732目标规划的建模步骤 在第一章,学习过的线性规划建模方法和步骤对于本章的目标规划仍是适用的。除 此之外,对于目标规划还需要考虑以下步骤: 1.根据决策者提出的问题列出各目标与条件。 2.确定各目标的优先级序列及问题的目标约束和环境约束 3.据各目标的优先级序列赋予相应的优先因子P,K=1,2,…,L。 4.对同一优先因子级中的各偏离变量,据此重要程度,赋予相应的权系数。 5.据已知目标值以及偏离的要求,做出综合的目标函数。 733目标规划与线性规划的区别与联系 将线性规划与目标规划作比较,我们不难看出以下两点: 1.线性规划与目标规划之间存在着密切的联系,但又有不同 2.线性规划是目标规划的子集 即凡是线性规划能够解决的问题用目标规划也可以解决:而许多线性规划无法解决 的问题,用目标规划却能解决,现将他们之间的比较列表,如表7-2所示
非负约束 0( 1,2,..., ) j x ≥ =j n , 0( 1,2,..., ) l l d d l L − + ≥ = 7.3.2 目标规划的建模步骤 在第一章，学习过的线性规划建模方法和步骤对于本章的目标规划仍是适用的。除 此之外，对于目标规划还需要考虑以下步骤： 1. 根据决策者提出的问题列出各目标与条件。 2. 确定各目标的优先级序列及问题的目标约束和环境约束。 3. 据各目标的优先级序列赋予相应的优先因子 Pk，K=1，2，…，L。 4. 对同一优先因子级中的各偏离变量，据此重要程度，赋予相应的权系数。 5. 据已知目标值以及偏离的要求，做出综合的目标函数。 7.3.3 目标规划与线性规划的区别与联系 将线性规划与目标规划作比较，我们不难看出以下两点： 1. 线性规划与目标规划之间存在着密切的联系，但又有不同。 2. 线性规划是目标规划的子集。 即凡是线性规划能够解决的问题用目标规划也可以解决；而许多线性规划无法解决 的问题，用目标规划却能解决，现将他们之间的比较列表，如表 7-2 所示