平方振型加权模态参数整体识别法

D第160卷346期ssn1001053x.19915.0京科技大学学报 Vol.16 No.6 1994年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dee.1994 平方振型加权模态参数整体识别法 顾亮1)潘旭峰2)胡琪琪2) 1)北京科技大学机械工程学院，北京100083 2)北京理工大学车辆工程学院，北京100081 摘要提出了整体频响函数的新概念(GRF)·以振型平方和的形式对全部频响函数进行加权 组合，建立了多输人多输出模态参数的识别模型仿真验算的分析结果表明，该方法具有精度高，一 致性好，能分离密集模态和消除随机噪声等优点，可以应用于大型复杂结构的试验模态分析. 关键词模态参数，识别，试验模态分析 中图分类号0321,0235 Modal Parameter Global Identification Weighting with Complete Modal Shapes Gu Liang Pan Xufeng?Hu Qigi? 1)Department of Mechanical Engineering.USTB,Beijing 100083,PRC 2)Vehicle Department of Beijing Institute of Tech.Beijing 100081,PRC ABSTRACT A concept of global frequency response function(GFRF)has been presented.The MIMO modal parameter identification modal has been established,based on the weighting sum of modal shape squares.The analytical results of artificial example show that the proposed method has the advantages of accuracy,consistency,separating closely-spaced modes and eliminating random noise.This method can be used for experimental modal analysis of large or complicated structure. KEY WORDS modal parameter,identification,test modal analysis 模态参数是结构振动分析和动态设计的重要依据，理论与实际应用均表明提高模态参数 的识别精度是后续许多相关工作成败的关键.对于大型模态试验来说，干扰等原因造成的误 差是不可避免的，一般认为高信噪比频率点处的数据具有更高的可信度，现行的加权识别方 法~5姆都采用一次幅值加权的方法，对各测点分别处理，其识别结果的一致性较差，不易实现 整体识别的日标， 本文提出的方法利用了多输入多输出系统频响函数的全部测试信息，引人了整体频响函 数(GFRF)的概念，并利用重新构造的整体频响函数求出了统一的整体频响函数. 1993-04-12收稿 第一作者男36岁博士

第 卷 第 期 北 京 科 技 大 学 学 报 望“ 年 月 。 民 望玛 平方振型 加权模态参数整 体识别法 顾 亮 潘旭 峰 胡琪琪 北 京科技大 学机械工 程 学 院 ， 北京 仪刀 北 京理 工大学 车辆工 程 学 院 ， 北 京 仪刃 摘要 提出 了整 体频 响函数的新概念 以振型平方 和 的形式 对全部频 响 函 数进行加权 组合 ， 建立 了多输人多输 出模态参数的识别模型 仿真验算的分析结果表 明 ， 该方法具有精 度 高 ， 一 致性好 ， 能分离密集模态和 消除 随机噪声等优点 ， 可 以应用 于大 型复 杂结构 的试验模态分析 关健词 模态参数 ， 识别 ， 试验模态分析 中图分类号 ， 份 亡 诚 翻 加 ， 恤 众 叭 祀 拍司 吧 ， ， 峋 为 块 ℃” 价 侧洲〕 ， ， ， 闰 心 口 心 喇 坦 ， 电 五 二 币 ， ， 一 “ 沮 兹苗朋 止旧 囚 】万 坦 ， 饭 ， 模 态参数是 结构振 动分析和 动态设计的重要 依据 ， 理论 与实 际 应 用 均 表 明提 高 模 态 参 数 的 识别 精度 是 后 续许多相 关工 作成败 的关键 对 于 大 型 模 态 试 验 来 说 ， 干 扰 等 原 因 造 成 的误 差 是 不 可 避 免 的 ， 一 般 认 为 高信噪 比频率 点处 的 数 据 具 有 更 高 的 可 信 度 ， 现 行 的 加 权 识 别 方 法 一 ’， 都采 用 一次幅值加权的方法 ， 对各测点分别处理 ， 其识别结 果 的一致 性较差 ， 不 易 实现 整 体识别 的 目标 本文提 出的方 法利 用 了多输人 多输 出系 统频响 函数 的全部测 试 信 息 ， 引 人 了整 体频 响 函 数 的概念 ， 并利用 重新构造 的整 体频 响 函数求 出 了统一 的整 体频 响函 数 卯 一 以 一 收稿 第一作 者 男 岁 博士 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1994．06．012

·562· 北京科技大学学报 1994年No.6 1平方振型加权实模态参数整体识别法理论分析 在多输人多输出模态试验中，对于有k个激励力，n个拾振点的实模态系统，不论是采用 单点依次激励，多次拾振；还是多点同时激励，一次拾振的试验方法，总可以得到频响函数矩 阵田nx 对频响函数矩阵H联于行求和，构造一k维行向量{Gx,定义其中元素G,为关于第p个激 励的整体频响函数，它的虚部可以由下式给出： G-2,-2（-25,99k,01-y+45} =r=1 (1) 对上式按等精度拟合法将各阶模态分开，仅取第？阶模态则有： G.-2(-0,p·25,1-2+45=s2-02k20,回 式中：S(元，)=4，/[(1-)2+45] 根据式(2)易得： [pp2pk,】=[GrG,:GJ (3) 这样就求出了激励点处的第r阶振型比， 对于频响函数矩阵[H川]x,其元素H,对各阶模态参数的描述是不同的.对某一阶模态参数可能 描述的比较充分，即： 1Hipriorp,prfp.lor|prl (4) 从上式可以看出，响应点I与激励点p之间的第r阶频响函数与该阶模态振型在！与p点 的幅值均成正比，显然以激励点的振型幅值对整个频响函数矩阵进行加权处理，必然会提高 函数的信噪比，因而对提高整体模态参数的识别精度是有利的.我们采用以下的形式进行加 权： Hinr=pHip (5) 其中H由等精度拟合法求出，并设已按给定的￡精度排除了其余模态的影响，这样就形成了新 的函数矩阵： 9,i,,H, &,Hise [HT= 91H,93H5 ,Hk (6) .Hi p2,H, x.Hk 对上式按列求和，构造一n维列向量.使： {2店p…2o,Hn小r =1 (7) 其中元素R为第1个响应关于k个激励的第阶整体激励频响函数，可由下式给出： R1,--25,0ok,1-+45}=s2,-o,12,k,20 ,(⑧)

北 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 平方振型加权实模态参数整体识别 法理论分析 在 多输 人 多输 出模态试验 中 ， 对于 有 个激 励力 ， 个拾振 点 的实模态系 统 ， 不 论是 采 用 单 点依次激 励 ， 多次拾 振 还 是多 点 同时激 励 ， 一 次拾振 的试验方法 ， 总可 以 得 到 频 响 函 数 矩 阵 【州 。 、 、 对频响函数矩阵 厅王关于行求和 ， 构造一 维行 向量 ， ， 定义其中元素 ，为关于第 个激 励 的 整 体频 响 函数 ， 它 的虚部 可 以 由下式 给 出 月 八 门 一 万 ， 一 落奥‘ 一 七 · “ ， · 甲尸· “ 护 ’ 一 ‘ ’ 十 着“ 对上 式按等 精度拟 合法 将各 阶模 态分 开 ， 仅取第 阶模态则有 二一 落 一 ，， ，， · 着 。 “ “ · “ 一 又 ’ 亡子“ 一 “ ， 一 切二 “ 七 落 毋 式 中 位 灯只 ’ 一 衬 灯衬〕 根 据 式 易 得 【切 。 叭 … 切 。」 … 这样 就 求 出 了 激 励点处的第 阶振 型 比 对于频 响函数矩 阵因 。 、 ， 其元素氏对各阶模态参数的描述是不 同的 对某一 阶模态参数可能 描 述 的 比较 充分 ， 即 ， 笑 甲， 切， 艾 切， 义 中 从 上 式 可 以 看 出 ， 响应 点 与激 励 点 之 间的第 。 阶频 响 函 数 与 该 阶模 态振 型 在 与 点 的 幅值 均 成 正 比 ， 显 然 以 激 励 点 的振 型 幅值对 整 个 频 响 函 数 矩 阵 进 行 加 权 处理 ， 必 然 会 提 高 函 数 的信 噪 比 ， 因而 对提 高 整 体模态 参数 的识 别 精 度 是 有 利 的 我 们 采 用 以 下 的形 式 进 行 加 权 ， 一 甲， ，。 其 中 风 由等精度拟 合法求出 ， 并设 已按给定的 ￡ 精度排除了其余模态的影 响 ， 这样就形成 了新 的 函数矩 阵 ︸ 毋甲汽民卜左 万 ‘ ‘ 。 、 甲， 万 ， 价 、 ， 万 ， 甲 ， 甲 叭 甲 川 ， 对 上式 按列 求 和 ， 构造 一 ， 维列 向量 使 。 、 ， 一 工中 万 ， ， 艺甲， ￡ ， ， ‘ ” ，落 ，中一 尸 其 中元 素 鑫为芋 个 响应 关于 个激 励的第 阶整体激 励 频 响 函数 ， 可 由下 艺 一 省几 厂 沪，。 切 一 几 亡又 又 一 毋， 亡 切

Vol.16 No.6 顾亮等：平方振型加权模态参数整体识别法 563. 根据式(8)可得到全部响应点的振型比： {p92,pn,}T={R1,(2,=1):Rz,(2,=1):R(2.=1}T (9) 令R=pR,构造新的加权函数： {R月}={p,Ri.pnR.…pn,R,}T (10) 对式(10)按列求和，得到下列整体频响函数： 0,-s-1M25k2o2oi (11) 我们将式(11)中的Q,定义为第r阶整体频响函数，并假定p1,9,均已按原点导纳 统一归-一化.根据式(11)识别出的a,,k,m,显然具有良好的一致性，多次加权的结 果，使整体函数中的振型因子全部变成了平方和的形式，显著突出了大幅值振型处的频响函 数，大大提高了整体频响函数的信噪比，故能大幅度地提高模态参数的识别精度， 2平方振型加权复模态参数整体识别法理论分析 复模态频响函数比实模态情况要复杂的多，如果完全沿用实模态方法，则将会由于引人复 模态振型而使问题更加复杂，引进实模态多重加权总体频响函数的目的，就是要突出高信噪 比的数值，并将有关项的代数和转换为平方和，用以突出待识别参数，这种思路仍然可以用于 复模态参数的识别. 设已经通过试验求出了复模态系统频响函数矩阵[川，其中元素H,为： ,=21-2,hm-25,d,1[1-9+452 (12) 而 H(,=1)=-dp,/25, (13) 即H(心，=1)的峰值与h无关，(13)式如果不考虑dn的内涵，则与实模态的表达式在形式 上完全相同，仿照实模态中d的定义，令： dipr=pr/kr hr=p'np'pr/k,了 (14) 将式(12)改写成： Hi,=[元(1-)p',p'p-25,p,ppJ/{k,[(1-)+4]} (15) H,=[(1-)p,p,+25,,p',p'J/{k,[(1-)+45]} (16) 对频响函数矩阵Hx按行求和，并构造一k维行向量{G}xk,将其实部与虚部分开写成： G=222 (17) G-22略2 (18) 其中元素G和G分别为： G时=三22(1-9pp。-2,Ap0,1k,1-+4} (19)

石 顾 亮等 平方振型加权模态参数整体识别法 根据式 可得 到全 部 响应 点的振 型 比 切 甲 一 甲 一 ， 又 ， 一 ， 又 ， 一 … ， 又 一 令 砚 叭迟么 ， 构造新 的加权 函 数 一 甲， ， 沪 ， … 甲 。 尺 对式 按列 求 和 ， 得 到下 列 整体频 响函数 一 “ ，‘ 一 ‘ ’ ‘ 省“ 冥 切 落 甲急 我 们 将 式 中 的 定 义 为第 阶整 体 频 响 函 数 ， 并 假 定 甲，、 毋，。 均 已 按 原 点 导 纳 统 一 归 一 化 根 据 式 川 识 别 出 的 山 ，， 七 ， ， ， 显 然 具 有 良好 的 一 致 性 ， 多 次 加 权 的 结 果 ， 使整 体 函数 中的振 型 因子全部 变成 了平方 和 的形 式 ， 显 著 突 出 了大 幅 值 振 型 处 的频 响 函 数 ， 大大提高 了 整体频 响 函 数 的信噪 比 ， 故能大 幅度地提 高模态参数 的 一 识别 精度 平方振型加权复模态参数整体识别 法理论 分析 复模态频 响 函数 比实模态情况要复杂 的多 ， 如果完全沿 用 实模态方法 ， 则将 会 由于 引人 复 模 态振 型而 使 问题更加复 杂 引进 实模态 多重 加 权 总 体 频 响 函 数 的 目 的 ， 就 是 要 突 出高 信 噪 比 的数值 ， 并将有 关项 的代 数和转换 为平方 和 ， 用 以 突 出待识别参数 这种 思 路 仍 然 可 以 用 于 复模 态参数的识别 设 已 经通过 试验求 出 了复模 态系统频 响函数矩 阵 川 。 、 ， 其 中元 素 风 为 月 ， 一 落 “ · ‘ 一 ‘ ” ，， 一 七“ “ 渭 ‘ 一 “ ’ 老只 而 又 一 ，， 老 即 九位 一 的 峰 值 与 ， 无 关 ， 式如 果 不 考 虑 ， 的 内涵 ， 则 与 实 模 态 的 表 达 式 在 形 式 上 完 全相 同 ， 仿照 实模 态 中 二 的定义 ， 令 产、 、、 、 ，， ︺亡、 产 产 、侣了了、 ，， ，， 一 毋‘ · 切 护 火 工 价 ‘ ， 中 ‘ ， 将式 改 写成 态 元 。 一 几 甲 ’ ， 甲 ‘ ， 一 老又 甲，。 甲， 一 又 睿又 急 。 一 一 之 甲， 甲， 老又 甲 ‘ ， 切 ‘ ， 一 又 老元 对频 响 函数矩 阵 闭 ” 、 、 按行 求和 ， 并构造一 维行 向量 ‘ ， ， 将其 实部 与虚部 分 开 写成 ， 月 内 ’ 】 一 落 落 …落 ， 人 月 月 月 “ 从 一 落 、 汽落 今 · 落 幼 其 中元 素 二和 ‘ 梦分 别 为 一 艺 艺 只 。 一 只 价 ’ ， 切 ’ ， 一 老又 切， 中， 一 只 ， 着又

·564· 北京科技大学学报 1994年No.6 G时-宫20-p,0+25.,ppk0-+4g》 (20) 利用等精度拟合法将上式中的各阶模态分开，可得： G=-2p2o。-2Ao2o1-+4 65=0-0,20+25Ap,2ok1-29+4号 (21) 由上式可得激励点的振型比为： 【p1ppl={G1(2,=1):G2,(,=1)…:G,(,=10}入 [p'φ'2，…p'k]={G,(2,=1):G(2,=1):G,(2,=1)} (22) 令： Hip'=PpHr入 Hr'=ppr'H,了 (23) 将矩阵H]和矩阵[H,门份别按列相加，构成n维列向量{R和{R,},使： {=g0n立p,Hn0,,” p=I (24) 购=go,脱套p,…含o (25) 其中元素R和R可以用下式给出： R-宫=61-02p-2502.k-7+4 p=1 (26 R8=∑H=[25,1,9',∑9'2+(1-p,∑9mpn1{k,1-2+452 其中元素R和RR为第I个响应关于k个激励的加权频响函数，并利用{R}和{R,}求出{仰，}和 {φ，显然有： {p,p2x…:pn,}={Ri,(2,=1)R5n(2,=1)…:R,(2,=1)} 0'p'rp}={R(2,=1):R(2,=1):R(亿，=1)}了 (27 至此所有的振型参数都已被求出，且振型比具有整体一致性， 令R',=P,R,并对{R',}关于列求和，得整体频响函数，： e:=2eR =0-2o920,p-22遮pk,-+4 (28) p=1 利用2，'就可以识别出统一的、5，、及、k,然后结合{p}和{p'}识别出各点的 d,和h,求出全部模态参数.需要说明的是{p}和{p}之间并不完全独立，它们的归一化要根据 统一的标准来进行.例如以p点进行统一归一化，即：

北 京 科 技 大 学 学 报 哭科 年 梦一 答答 ‘ 一 心毋 · 甲，· “ ‘ · ‘ · ， ’ · 中 ’ 二 · ’ 一 “ 子 ， ‘ “ 利 用 等精度 拟合法 将上 式 中的各 阶模态分开 ， 可得 ‘ 一 ‘“ 『 “ 一 “ ’甲 了 甲 ‘ ’ 一 ‘ 『 ‘ 呀 ’ ‘ 『，“ 无 「‘’ 一 “ 子， ‘ 老‘ ，’ 尝一 ’ 一 又 中，俗 甲， 亡 ·又 ·毋 ’ ，僧 甲“ · “ · ，一 又 ‘ 古广又 由上 式可得 激励 点 的振 型 比为 【 职 中’ ‘ ” 二中 · 一 “ 林今 一 ‘ “ 铆凡一 ‘ ” ‘ 钾 一 ‘ 飞 【毋 ‘ 毋 ’ 厂” ‘ 毋 ’ 』 乳又 ， 象又 ， ” ’ 扩又 ， 令 砚 ’ 一 ，， 风 · 飞 急 ‘ 甲， ‘ 几 将 矩 阵 田参」和 矩 阵 嘿 ，分别 按列相 加 ， 构成 。 维列 向量 仔和 匀 ， 使 仁 叼 匀二 艺 一 职， ，，， 艺甲，尸 二 ， … ， 艺中， 二 ， 艺呜万急 ， 再 毋 ‘ ， 乳 ， … 艺甲 ‘ ， 分 ，， 丁 其 中元 素 会和 衅可 以 用下 式 给 出 一刃 护 一 【“ ‘ 一 “ ，毋 再 ，价 ‘ 一 价一 古 · “ · ， 群 二 艺 几 亡几 甲 ’ ， 艺甲 ’ ， ’ 一 邓知 ， 艺 中 一 又子尹 七又 中， 沪 ‘ ， 一 义 ’ 亡子义子 其 中元 素 会和 衅为第 个 响应 关于 个激励 的加权频 响 函数 ， 并 利 用 好和 产求 出 叭 和 训小 显然 有 毋 中 … 甲 ， ， 又 ， 又 … 又 职 ‘ 卫。 职 ’ ” ‘ 切 ‘ 。 ， 一 畏又 一 二 会口 ， 一 “ ‘ 分 ， 又 ， 一 至此所有 的振 型 参数都 已 被 求 出 ， 且 振 型 比具有 整 体一 致性 令 ’ ， 切， ， 并 对 ‘ ， 关于列 求 和 ， 得 整体频 响 函数 卜 艺甲， 尺 ， 甲孔艺毋二 一 “ ， 看“ 。 一 元 一 均艺中 切 ’ 艺职， 中 ’ ， 一 亡凡 卜艺 利用 仓 ‘ 就 可 以 识别 出统一 的 舫 、 吞 、 及 、 ， 然后结合 甲 和 甲 ’ 识别 出各点 的 二 和 ， ， 求出全部模态参数 需要说明的是 叫和才斌 之 间并 不 完 全独 立 ， 它们的 归一化要根据 统一 的标 准来进行 例 如 以 点进行 统一 归一 化 ， 即

Vol.16 No.6 顾亮等：平方振型加权模态参数整体识别法 565. H,=[1,(1-1)p',2-25,p3]/{k,[(1-)2+45]} (29) 且令p,=1,则： d=1/p',2或p',=(）n (30) {p按，统一归一化，{仰'按，统一归一化，这种归一化的基准可以在开始拟合时就确定. 3多输入多输出平方振型加权整体识别法的仿真验算 下面以一已知模态参数的简支梁为例，验证多输人多输出平方振型加权的有效性，已知梁 的固有频率和假设的阻尼因子及振型，只列出前4阶为： mode】 frequency=45.18 Hz damp=3.0% mode 2 frequency=124.5 Hz damp=2.0% mode 3 frequency=243.5 Hz damp=2.3% mode 4 frequency=399.7 Hz damp=1.5% 由4阶模态参数，再加5%的高斯噪声集成含32个频响函数的矩阵、，并按实模态进 行识别，首先利用单输入单输出的SSO识别法对8个测点的频响函数进行模态参数识别，并 对识别结果按下式加权综合： 8 SISO法识别结果如下： 固有频率和阻尼比分别为： mode 1 frequency=45.60 Hz damp=3.154% mode,2 frequency=124.36 Hz damp=2.224% mode 3 frequency=242.50 Hz damp=2.320% mode 4 frequency=399.20 Hz damp=1.390% 按平方振型加权法进行识别的结果如下： 固有频率和阻尼比分别为： mode 1 frequency=45.20 Hz damp =3.123% mode 2 frequency=124.45 Hz damp=2.045% mode 3 frequency=243.51 Hz damp=2.306% mode 4 frequency =399.64 Hz damp=1.471% 比较2种方法的计算结果，平方振型加权法的识别精度显然要好一些.为了进 一步验证其抗噪声能力，分别对频响函数矩阵加人12%、7%及2%高斯噪声，仿真计 算结果发现该方法对于固有频率和阻尼比的识别精度基本不变，而振型则略有变 化.可以看出，平方振型加权识别法对改善固有频率和阻尼比的效果是明显的，且具 有较强的抗噪能力，振型识别结果也优于SISO识别法， 4结论

从〕 顾 亮 等 平方振型 加权模态参数整 体识别法 · 又 一 又 职 ‘ ，’ 一 七职 一 又 ’ 看又子 且 令 甲， 则 即 ，， 一 中 ’ ， 或 切 ’ ， ，， ，， ， ， 价 按 巧 统 一 归 一 化 ， 一 训 按 心 ‘ 统 一 归 一 化 ， 这种 归一化的基准 可 以 在 开始拟合 时就 确 定 多输入 多输 出平方振型加权整体识别法 的仿真验算 下 面 以一 已 知模态参数 的简支梁 为例 ， 验证多 输人 多输 出平方振 型加 权 的有 效性 ， 已 知 梁 的 固有频 率和假设 的阻 尼 因子 及 振型 ， 只列 出前 阶为 闰 视 视 血 二 视 扭 由 阶 模 态参数 ， 再 加 的 高 斯 噪 声集 成 含 个 频 响 函 数 的 矩 阵 、 ， 并 按 实 模 态 进 行识别 ， 首先利 用单输 人单输 出的 识别法 对 个测 点 的频 响函 数进行 模态 参数 识 别 ， 并 对识别结果按下 式加权 综合 · ， 一 艺中‘ 。 ， 艺中， 着一 艺中， 。 ， 艺中， 二 台 法 识 别 结 果 如 下 固 有 频 率 和 阻 尼 比分 别 为 、 按 平 方 振 型 加 权 法 进 行 识别 的 结 果 如 下 固 有 频 率 和 阻 尼 比 分 别 为 比较 种 方 法 的 计 算 结 果 ， 平 方 振 型 加 权 法 的 识 别 精 度 显 然 要 好 一 些 为 了 进 一 步 验 证 其 抗 噪 声 能 力 ， 分 别 对 频 响 函 数 矩 阵 加 人 、 及 高 斯 噪 声 ， 仿 真计 算 结 果 发 现 该 方 法 对 于 固 有 频 率 和 阻 尼 比 的 识 别 精 度 基 本 不 变 ， 而 振 型 则 略 有 变 化 可 以 看 出 ， 平 方 振 型 加 权 识 别 法 对 改 善 固 有 频 率 和 阻 尼 比 的 效 果 是 明 显 的 ， 且 具 有 较 强 的 抗 噪 能 力 ， 振 型 识 别 结 果 也 优 于 识 别 法 结 论