不确定广义系统的保性能控制：LMI方法

D0I:10.13374/j.issn1001053x.2006.01.022 第28卷第1期 北京科技大学学报 Vol.28 No.1 2006年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2006 不确定广义系统的保性能控制：LMI方法 顾则全)廖福成)刘贺平2) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要针对一类含有时变、范数有界参数不确定广义系统，结合一个二次型性能指标，研究了使 闭环系统保持正则、稳定和无脉冲，且闭环性能指标值不超过某个确定界的保性能控制律的设计 问题，通过短阵不等式给出了保性能控制律存在的一个充分条件，进而用线性矩阵不等式给出了 保性能控制器的一个参数化表示. 关键词广义系统；不确定性；保性能控制；线性矩阵不等式 分类号TP13 在：实际的控制问题中，系统不确定性的存在 FT(t)F(t)≤I,HtER 往往是难以避免的.1972年，Chang和Peng提出 D,E。和E。是具有适当维数的已知实矩阵 了不确定系统保性能控：制（亦称保成本控制）的思 若不考虑不确定性，则得系统 想1川，目的是对不确定系统设计一个控制器，使 Ex(t)=Ax(t)+Bu(t). 得其闭环系统不仅是稳定的，而且相应的性能指 称这一系统为不确定广义系统的标称广义系统 标不超过某个确定的上界，然而，对目前于这类 由于rank(E)=r<n,不失一般性，假设广 系统的研究大多数还仅局限在正常系统上[24] 义系统(1)中的矩阵E具有如下形式： 本文对一类含有时变、范数有界参数不确定的广 义系统，结合一个二次型性能指标，研究了系统的 g-681 保性能控制问题 其中I,是r×r阶单位矩阵. 1问题的描述与概念 对广义系统(1)，定义二次型性能指标： J=[xT(t)Qx(r)+u()Ru(t)]dt (2) 考虑下面不确定线性广义系统： Ex()=(A+AA(t))x(t)+(B+ 其中，Q和R是给定的对称正定矩阵 △B(t))u(t),x(0)=xo (1) 定义15】如果存在常数矩阵P∈R”×n和 其中，x(t)∈R”是系统的状态向量，u(t)∈Rm 对称正定矩阵Q使得广义系统(1)(u(t)=0),对 是控制输入，E,A∈R”x”,B∈R”Xm为实数矩 于所有允许的不确定项△A(t)满足 阵，E为奇异矩阵，rank(E)=r<n,不确定矩阵 A(t)P+PTAo(t)≤-Q (3) △A(t)和△B(t)分别表示状态和输入中的实有 则称不确定广义系统(1)二次稳定.其中，Ao(t) 「x10 =A+△A(t),矩阵P具有下面的形式 界参数矩阵通数：」∈R是系统的 「P107 P= (4) 初始状态，假设允许的不确定项△A(t)和△B(t) LP2P3」 有如下形式： 且P1∈Rrxr,P1=PT>0,P2∈Rm-r)xr,P3∈ [△A(t)△B(t)]=DF(t)[E。Eb]. Rn-)×(n-r可逆， 其中，F(t)∈Rx是时变不确定矩阵，满足 注16]：若不确定广义系统(1)二次稳定，则 必容许（即正则、稳定且无脉冲） 收搞日期：2004-11-16修回日期：200501-17 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N0.60374032) 关于广义系统(1)的保性能控制，引进定义： 作者筒介：顾则全(1981一】，男，博士研究生：刘贺平(1951一)， 定义2对广义系统(1)和性能指标(2)，如 男.教授，博士生导师 果存在一个控制律u“(t)和一个正数J”,使得 对所有允许的不确定性，闭环系统是渐近稳定的

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 侧打 价劝 叨 不确定广义系统的保性能控制 方法 顾 贝， 全‘ 廖福 成 ‘ 文， 贺 平 北京科技大学 应用科学学院 ， 北京 北京科技大学信息工程学院 ， 北京 摘 要 针对一类含有时变 、 范数有界参数不确 定广义 系统 ， 结合一 个 二 次型性 能指标 ， 研究 了使 闭环 系统保持正则 、 稳定和无脉冲 ， 且 闭环性 能指 标值不 超过 某个 确定界 的保性 能控制律 的设计 问题 通 过矩 阵 不等式给 出 了保性能控制律存在 的一 个 充分条件 ， 进而 用 线性矩 阵不等式给 出了 保性 能控制器的一 个参数化表示 关键词 广义 系统 不 确定性 保性 能控制 线性矩 阵不 等式 分类号 在实际 的控 制问题 中 ， 系统 不 确 定性 的存在 往往是难 以避免的 年 ， 和 提 出 了不确定 系统保性能控制 亦称保成本控制 的思 想川 ， 目的是 对 不 确 定 ， 系 统设 计 一 个 控 制 器 ， 使 得其 闭环 系统 不仅 是 稳 定 的 ， 而 且相 应 的性 能指 标不超过 某个 确 定 的上 界 然而 ， 对 目前 于 这类 系统的研 究大 多 数还 仅 局 限 在 正 常 系统 上 〔 一 〕 本文对一类含 有 时变 、 范 数 有 界 参数 不 确 定 的广 义 系统 ， 结合一 个二次型性能指标 ， 研 究 了系统 的 保性能控制 间题 问题的描述与概念 考虑下面不确定线性 广义 系统 二 △ △丑 ， 其 中 ， 任 ” 是 系统 的状 态 向量 ， 任 是控制 输 入 ， ， 任 刀 ” ， 丑 “ 阴 为 实 数 矩 阵 ， 为奇异矩 阵 ， 不确定矩 阵 △ 和 △ 分别表 示 状 态 和 输入 中的 实 有 镇 ， 任 ， 。 和 是具 有适 当维数的 已知实矩 阵 若不考虑 不确 定性 ， 则得 系统 无 称这 一 系统为不确定广义 系统的标称广义 系统 由于 。 ， 不 失一 般性 ， 假设 广 义系统 中的矩 阵 具有如下形式 「 二 〕 二 目 界参数矩 阵函“ 二 二 ， 一 。 是 系统 的 其中 二 是 阶单位矩 阵 对 广义系统 ， 定义二次型性 能指标 的 厂 ， 、 。 ， 、 ， 、 一 】 一 工 【 ， “ “ 其 中 ， 和 是给定的对称正定矩 阵 定义 囚 如 果 存 在 常数矩 阵 任 ” “ ” 和 对称正 定矩 阵 使得 广义 系统 二 ， 对 于所有允许的不确定项 △ 满足 ， 尸 。 簇 一 则称不确定广义 系统 二 次 稳 定 其 中 ， 。 △ ， 矩 阵 具有下面 的形式 初始状 态 假设允许 的不确 定项 △ 和△ 有如下形式 △ △ 卜 。 〕 其 中 ， 任 ， 走是 时变不确定矩 阵 ， 满足 收稿日期 一 一 修回 日期 一 一 墓金项 目 国家 自然 科学 基金 资助 项 目 作者简介 顾 则全 一 ， 男 ， 博士 研 究生 刘 贺平 一 ， 男 ， 教授 ， 博士 生导师 弓乙 尸︼ 一 且 〔 · “ ‘ ， 万 ， 〔 ” 一 “ · ， 任 刀 一 ‘ ” 一 可逆 注 “ 〕 若不确定广 义 系统 二 次稳 定 ， 则 必容许 即正 则 、 稳定且无脉 冲 关 于 广义 系统 的保性 能控制 ， 引进定 义 定义 对 广 义 系统 和性 能指标 ， 如 果存在一个 控 制律 “ ’ 和 一个 正 数 ’ ， 使 得 对所有允 许的不确定性 ， 闭环 系统是渐近稳定的 ， DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2006．01．022

·94 北京科技大学学报 2006年第1期 且闭环性能指标满足J≤J“,则称J“为不确定 V(x)=x(t)[A+BK+DF(E+ 广义系统(1)的一个性能上界，而称u·(t)为不 ELK)]TPx(t)+xT(t)PT[A+ 确定广义系统(1)的一个保性能控制律 引理1】给定适当维数的矩阵Y,D和E, BK+DF(E+EK)]x(t)= 其中Y是对称的，则 xT(t)PT[A+BK+DF(E。+ Y+DFE+ETFTDT<O (5) EbK)]+[A+BK+(E。+ 对所有满足FTF≤I的矩阵F成立，当且仅当存 EK)]TPx(t). 在一个常数ε>0，使得 根据条件(6)，对所有的不确定性， Y+EDDT+e-1ETE<0. V(x)<-x(Q+KTRK)x<0 (8) 2保性能控制 由Lyapunov稳定性理论，闭环广义系统(7)是鲁 棒渐近稳定的. 针对给定的不确定广义系统(1)和性能指标 进一步，式(8)两边对时t间从0到∞积分， (2),在基于线性矩阵不等式处理方法上，给出了 并利用系统的渐近稳定性，得到 保性能控制律的一个存在条件. [x(t)Qx(t)+xKTRKx(t)]dt 定理1对不确定广义系统(1)和性能指标， 如果存在矩阵K和形如(4)的矩阵P,使得对所 v(x(t))dt. Jo 有允许的不确定性，有 因此有 Q+KRK+PT[A +BK+DF (E,+EpK)]+ [A+BK+DF(E+EK)]P<0 (6) J-0[xr)0r()+w)Rula≤ 则u(t)=Kx(t)是系统(1)的一个保性能控制 -(0-V(x(0))=V(x(0)=x0P1x10: 律，相应的一个系统性能上界是J·=x0P1x10· 所以，根据定义2，u(t)=Kx(t)是系统(1)的一 证明：如果存在矩阵K和形如(4)的矩阵P, 个保性能控制律，且J'=x0P1x1是相应的闭环 使得对所有允许的不确定性，矩阵不等式(6)成 性能指标的一个上界，由此，定理得证. 立，取控制律u(t)=Kx(t),则相应的闭环广义 注2：定理1中得到的闭环广义系统性能指 系统是 标上界是依赖初始状态的，而在实际应用中，很难 Ex(t)=[A+BK+DF(E+EpK)]x(t) 精确确定系统的初始状态.为了克服这一困难， (7) 假定x10是一个满足E{x10x10}=I的零均值随 考虑到 机向量，此时闭环广义系统性能指标的期望值为： J=EJExi0P10=Trace(P1)=J* PT[A+BK+DF(E+EK)]+[A+BK+ 定理1的条件(6)中包含了不确定矩阵F,因 DF(E+EK)]P<-KTRK-Q<0, 此要检验对所有允许的不确定矩阵F,矩阵不等 由定义1知，闭环广义系统是二次稳定的 式(6)都成立仍然是一件很困难的工作. 选取Lyapunov函数V(r)=xETPx,其中 矩阵P具有形如(4)式的形式，且满足不等式 3保性能控制器的设计 (6),易知ETP=PTE,V(x)关于时间t的导数 定理2如果存在标量e>0,矩阵W和形 ⑧ 如式(4)的矩阵X,使得 AX+BW+(AX+BW)T+eDDT (E,X+EW)T X WT E.X+EW -el 0 0 <0 (9) 0 -Q1 0 W 0 0 -R1 则u'(t)=WX-1x(t)是系统(1)的一个状态反 (A+BK)TP,则矩阵不等式(6)可以写成： 馈保性能控制律，相应的系统性能上界是j≤ Y+PTDF(E,+EbK)+(E+ Trace(X)=J*. ELK)TFT(PTD)T<0. 证明：定义Y+Q+KTRK+PT(A+BK)+ 根据引理1，以上矩阵不等式对所有满足FTF≤

北 京 科 技 大 学 学 报 年第 期 且 闭环性 能 指 标 满 足 镇 ’ ， 则 称 ’ 为 不 确 定 广义系统 的一 个性 能上 界 ， 而 称 “ ’ 为 不 确定广义 系统 的一个保性 能控制律 引理 〕 给定适 当维数的矩 阵 ， 和 ， 其 中 是对 称的 ， 则 刀 对所有满足 板 的矩 阵 成立 ， 当且仅 当存 在一个常数 。 ， 使得 。 。 一 保性能控制 针对给 定 的不 确 定 广 义 系统 和 性 能 指 标 ， 在基于线性 矩 阵不 等式 处理 方法 上 ， 给 出 了 保性能控制律的一个存在条件 定理 对 不确定广义 系统 和性 能指 标 ， 如果存在矩 阵 和形 如 的矩 阵 ， 使得 对 所 有允许的不确定性 ， 有 ‘ 只‘ 丑‘ 刀 。 兀 万 份 ‘ 尸 则 “ 二 是 系 统 的 一 个 保性 能控 制 律 ， 相应的一个 系统性能上界是 ’ 二 孤 ，二 。 证明 如果存在矩 阵 和形如 的矩 阵 ， 使得 对所 有允 许 的 不 确 定性 ， 矩 阵不 等 式 成 立 ， 取控制律 ， 则相应 的闭环 广 义 系统是 戈 。 考虑 到 尸 丑‘ 刀 ‘ 」 丑‘ 。 ‘ 一 ‘ ‘ 一 ， 由定义 知 ， 闭环广义 系统是二 次稳定的 选取 函 数 入 ， 其 中 矩 阵 具 有 形 如 式 的形 式 ， 且 满 足 不 等 式 ， 易知 ， 关 于 时 间 的导 数 是 幸 ， 丑‘ 。 ‘ 〕 凡 仁 丑 。 ‘ 」 〔 丑‘ 刀 。 〔 丑 。 ‘ 根据条件 ， 对所有的不确定性 ， 亏 一 ‘ ‘ 由 稳定性理 论 ， 闭环 广 义 系统 是 鲁 棒渐近稳定的 进一步 ， 式 两 边 对 时 间从 到 积分 ， 并利用 系统的渐近稳定性 ， 得到 一 「二 ， 二 二 、 。 ，越 一 幸 ‘ “ ‘ · 因此 有 一 一 仁二 ， 。 二 才 。 ， ，。 ， ，簇 一 一 一 二 二 几 所 以 ， 根据定 义 ， “ ‘ 公 是 系统 的一 个保性 能控制律 ， 且 ’ 二 二 孤 二 ，。 是相应 的闭环 性 能指标的一个上界 由此 ， 定理得证 注 定理 中得 到 的闭环 广 义 系统性 能指 标上界是依赖初始状态的 ， 而在实际应用 中 ， 很难 精确 确 定 系统 的初 始状 态 为 了克服这一 困难 ， 假定 二 ，。 是 一 个 满 足 二 。 二 孔 一 的零 均值 随 机 向量 ， 此时 闭环广义 系统性能指标的期望值为 了 簇 孔 ‘ 定理 的条件 中包含 了不确定矩 阵 ， 因 此要检验对所有允 许 的不 确定矩 阵 ， 矩 阵不 等 式 都成立仍然是一件很 困难的工作 保性能控制器的设计 定理 如果 存在 标 量 。 ， 矩 阵 和 形 如式 的矩 阵 ， 使得 ﹃ … 。 。 一 已 一 一 一 一 广 … ﹄ 则 “ ’ 二 一 ‘ 是 系统 的一个 状 态反 馈保性 能 控 制律 ， 相 应 的 系 统 性 能 上 界 是 蕊 ’ 证明 定义 ‘ 尸 ‘ 十 ， 则矩 阵不等式 可以 写成 。 ‘ 。 尸 根据 引理 ， 以上 矩 阵不 等式 对 所 有 满 足 镇

Vol.28 No.1 顾则全等：不确定广义系统的保性能控制：LMⅢ方法 ·95· I的不确定矩阵F成立当且仅当存在标量ε>0， EpK)T(E,+EpK)<0. 使得 应用矩阵的Schur补性质，上式进一步等价于 Y+ePTDDTP+e1(E+ PT(A+BK)+(A+BK)TP+ePTDDTP (E+EpK)T KT E+EpK -eI 0 0 <0 (10) 1 0 Q-1 0 中 0 0 -R1 对矩阵不等式(10)分别左乘矩阵diagP~T, 参考文献 I,I,I,右乘矩阵diag{P-1,l,1,I,并记X= [1]Chang S S L,Peng T K C.Adaptive guaranteed cost control P-1,其中X1=P1>0,W=KP-1,即可得到 of systems with uncertain parameters.IEEE Trans Autom Control,1972(4):474 (9).由定理1知，u“(t)=WX-1x(t)是系统 「2]俞立.不确定离撤系统的最优保成本控制.控制理论与应 (1)的一个保性能控制律，相应的系统性能上界是 用，1999,16(5)：639 J=EJI<ElxoXix10l=Trace(Xi)=J'. [3]Yang G H,Wang J L,Soh Y C.Reliable guaranteed cost con- 定理得证 trol for uncertain nonlinear systems.IEEE Trans Autom Con- trol,2000.45(11):2188 4 结论 [4]Yu L.Optimal guaranteed cost control of linear uncertain systems: an LMI approech.Control Theory Appl,2000,17(3):423 本文针对一类不确定广义系统，结合一个二 [5]张庆灵，杨冬梅.不确定广义系统的分析与综合，沈阳：东 北大学出版杜，2003：139 次型性能指标，通过矩阵不等式给出了不确定广 [6]陈跃鹂，张庆灵，姚波.广义系统具有完整性的鲁棒二次稳 义系统保性能控制律存在的一个充分条件，进而 定，自动化学报，2002,28(4)：615 用一组线性矩阵不等式的可行解给出了所有保性 [7]Petersen I R.A stabilization algorithm for a class of uncertain linear systems.Syst Control Lett,1987,8(4):351 能控制律的参数化表示.与以往的结果相比，由 [8】俞立.鲁棒控制一线性矩阵不等式处理方法.北京：清华 于LMI能够很高效地利用内点法得到全局最优 大学出版杜，2002：122 解，所以本文给出的控制器的设计方法，不仅弥补 [9】陈跃鹏，张庆灵，覆丁，等.广义系统可靠保成本控制，东北 大学学报：自然科学版，2004,25(5)：471 了利用Riccati方程求解控制问题时的不足，同时 [10]Dai L.Singular Control Systems.Berlin:Springer-Verlag, 也更具实际意义 1989:102 Guaranteed cost control of uncertain descriptor systems:an LMI approach GU Zequan,LIAO Fucheng,LIU Heping2 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Information Engineering School.University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT The problem of guaranteed cost control was dealt with for a class of uncertain descriptor sys- tems,whose class is with parameter uncertainties and norm-bounded.The purpose of the problem was to design a state feedback controller such that,for all admissible uncertainties,the closed-loop descriptor sys- tems keep regular,impulse-free and stable.At the same time an adequate level of a quadratic cost index can be guaranteed.A sufficient condition for the existence of guaranteed cost controllers was derived.It was shown that a group of linear matrix inequalities provided a parameterized representation of guaranteed const controllers. KEY WORDS descriptor systems;uncertainty;guaranteed cost control;LMI

。 顾则全等 不确定广义系统的保性能控制 方法 的不确 定矩 阵 成 立 当且仅 当存在 标 量 。 ， 使得 ‘ 。 ‘ 应用矩 阵的 补性质 ， 上式进一步等价于 。 尸 。 一 。 ﹁‘刃 ‘ 丑‘ 。 。 尸 。 ‘ 一 一 一 ’ 一 一 献 文 匡 对矩 阵不等式 分别左乘矩 阵 一 ， 一 ， 厂 ， ， 右乘矩 阵 一 ‘ ， ， ， ， 并记 一 ‘ ， 其 中 二 「‘ ， 一 ‘ ， 即 可 得 到 由定 理 知 ， ‘ 一 ‘ 是 系 统 、 的一个保性能控制律 ， 相应 的系统性能上界是 了二 镇 孔 ‘ 。 卜 ‘ 了 ’ 定理得证 考 结论 本文针对一 类不 确 定广 义 系统 ， 结 合一 个 二 次型性能指标 ， 通过矩 阵不等式 给 出 了不 确 定 广 义系统保性能控制律 存在的一 个 充分条 件 ， 进而 用一组线性矩 阵不等式的可行解给出了所有保性 能控制律 的参 数化 表 示 与 以往 的结果 相 比 ， 由 于 能够很 高效地 利 用 内点法 得 到 全 局 最优 解 ， 所 以 本文给 出的控制器 的设计方法 ， 不仅弥补 了利用 方程求解控制 间题 时的不 足 ， 同时 也更具实际意 义 ， 哪 ” 确 胭 〔 。 。 门 ， 俞立 不确定离散系统 的最优保成本控制 控制理论与应 用 ， ， ， ， 阮 扭 因 · ， ， 伽 诉囚 山甘即 田 拍 已 山盯 巧 找犯 阅扮 比口 ， ， 张庆灵 ， 杨冬梅 不确定广义 系统 的分析与综合 沈阳 东 北大学 出版社 ， 陈跃鹏 ， 张庆灵 ， 姚波 广义 系统具有 完 整性的鲁捧二 次稳 ，一卫 门、 一 ﹄护 ，胜 定 自动化学报 ， ， 【 〕 。 ， 一 忍“ ， ， 「〕 俞立 鲁棒控制－ 线性矩 阵不等式处理方法 北京 清华 大学出版社 ， 「 陈跃鹏 ， 张庆灵 ， 翟丁 ， 等 广义 系统可靠保成本控制 东北 大学学报 自然科学版 ， ， 昭 吃 吃 ， ， 毛从。 凡认 ‘ ， 毛 两 ， 呢 ， 吃 ， 吃 段 ， 飞 ， ， 一 卯 ， ， 一 ， 一 邓