D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.06.0☒ 第30卷第6期 北京科技大学学报 Vol.30 No.6 2008年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2008 仿射非线性系统状态方程的任意阶近似解 曹少中12)刘贺平2) 涂序彦) 1)北京印刷学院信息与机电工程学院，北京1026002)北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要针对典型的仿射非线性系统，采用常微分方程理论对其进行求解.首先将系统在平衡点附近进行展开，求得其齐次 方程的解，然后利用常数变易法将非线性微分方程变为等价的第二类非线性Vtra积分方程.采用逐次逼近法，求得任意 阶近似解，并证明解的收敛性· 关键词非线性系统：状态方程；常微分方程；Volterra积分方程；逐次逼近法：近似解 分类号TP273 Any order approximate solution of the state equation for an affine nonlinear sys- tem CAO Shaoshong).LIU Heping2).TU Xuyan? 1)College of Information Mechanical Engineering.Beijing Institute of Graphic Communication.Beijing 102600,China 2)School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT The state equation of an typical affine nonlinear system was solved with the ordinary differential equation theory.By utilizing the expansion expression of equilibrium point of the system.the homogeneous equation's solution was obtained.and then the nonlinear differential equation was equivalent to its nonlinear Volterra s integral equation of the second kind by the constant variation method.Any order approximate solution of the equation was presented,and its convergence was mathematically proved by the succes- sive approximation method. KEY WORDS nonlinear system:state equation:ordinary differential equation:Volterra's integral equation:successive approxima- tion method:approximate solution 由于非线性控制理论的复杂性，人们在研究过 结构)的系统外，往往很难得到所需的非线性变换； 程中，逐渐从以常微分方程理论作为主要数学工具， 因此研究非线性系统的近似处理方法具有相当的理 转到以拓扑学、微分几何等现代数学工具为主，从而 论与应用意义，近年来也一直同样受到人们的高度 在近几十年，使得非线性控制理论特别是对仿射非 重视.近似线性化方法5-]被证明在平衡点的某一 线性系统的研究取得了长足的发展)，以微分几 邻域内是有效的，误差可以接受，所以广泛地应用于 何为主要工具发展起来的精确线性化方法，为解决 实际系统中，但是这些近似线性化方法误差较大， 仿射非线性控制系统的分析与综合问题提供了强有 在精度要求较高的情况下不能满足要求。本文拟采 力的手段，由于精确线性化方法必须满足苛刻的条 用传统的常微分方程和积分方程理论，给出一种求 件，且结构复杂，除了某些具有特殊结构（如三角形 解仿射非线性系统的近似线性化方法，本方法可使 结果达到任意阶近似， 收稿日期：2007-04-12修回日期：2007-07-25 本文采用传统的常微分方程和积分方程理论， 基金项目：国家自然科学基金资助项目(No,60374032,No 60673101):北京市教有委员会科技发展计划面上项目(No, 对仿射非线性系统进行求解，首先将系统在平衡点 KM200810015003):北京市属市管高等学校人才强教计划资助项目 x=0附近进行展开，求得其齐次方程的解；然后利 (N。.TXM2007-014223-044661):北京印刷学院引进人才科技研究 用常数变易法将非线性微分方程变为等价的第二类 项目(Na.09170107019) 非线性Volterra积分方程，采用逐次逼近法，求得 作者简介：曹少中(1965一)，男，副教授，博士， 任意阶近似解，并证明解的收敛性， E-mail:cszh6502@163.com
仿射非线性系统状态方程的任意阶近似解 曹少中12） 刘贺平2） 涂序彦2） 1） 北京印刷学院信息与机电工程学院北京102600 2） 北京科技大学信息工程学院北京100083 摘 要 针对典型的仿射非线性系统采用常微分方程理论对其进行求解．首先将系统在平衡点附近进行展开求得其齐次 方程的解然后利用常数变易法将非线性微分方程变为等价的第二类非线性 Volterra 积分方程．采用逐次逼近法求得任意 阶近似解并证明解的收敛性． 关键词 非线性系统；状态方程；常微分方程；Volterra 积分方程；逐次逼近法；近似解 分类号 TP273 Any order approximate solution of the state equation for an affine nonlinear system CA O Shaoz hong 12）LIU Heping 2）TU Xuyan 2） 1） College of Information ＆ Mechanical EngineeringBeijing Institute of Graphic CommunicationBeijing102600China 2） School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he state equation of an typical affine nonlinear system was solved with the ordinary differential equation theory．By utilizing the expansion expression of equilibrium point of the systemthe homogeneous equation’s solution was obtainedand then the nonlinear differential equation was equivalent to its nonlinear Volterra’s integral equation of the second kind by the constant variation method．Any order approximate solution of the equation was presentedand its convergence was mathematically proved by the successive approximation method． KEY WORDS nonlinear system；state equation；ordinary differential equation；Volterra’s integral equation；successive approximation method；approximate solution 收稿日期：2007-04-12 修回日期：2007-07-25 基金项目：国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ No．60374032No． 60673101）；北 京 市 教 育 委 员 会 科 技 发 展 计 划 面 上 项 目 （ No． KM200810015003）；北京市属市管高等学校人才强教计划资助项目 （No．TXM2007－014223－044661）；北京印刷学院引进人才科技研究 项目（No．09170107019） 作者简介：曹少中（1965－）男副教授博士 E-mail：cszh6502＠163．com 由于非线性控制理论的复杂性人们在研究过 程中逐渐从以常微分方程理论作为主要数学工具 转到以拓扑学、微分几何等现代数学工具为主从而 在近几十年使得非线性控制理论特别是对仿射非 线性系统的研究取得了长足的发展［1－4］．以微分几 何为主要工具发展起来的精确线性化方法为解决 仿射非线性控制系统的分析与综合问题提供了强有 力的手段．由于精确线性化方法必须满足苛刻的条 件且结构复杂除了某些具有特殊结构（如三角形 结构）的系统外往往很难得到所需的非线性变换； 因此研究非线性系统的近似处理方法具有相当的理 论与应用意义近年来也一直同样受到人们的高度 重视．近似线性化方法［5－7］被证明在平衡点的某一 邻域内是有效的误差可以接受所以广泛地应用于 实际系统中．但是这些近似线性化方法误差较大 在精度要求较高的情况下不能满足要求．本文拟采 用传统的常微分方程和积分方程理论给出一种求 解仿射非线性系统的近似线性化方法本方法可使 结果达到任意阶近似． 本文采用传统的常微分方程和积分方程理论 对仿射非线性系统进行求解．首先将系统在平衡点 x＝0附近进行展开求得其齐次方程的解；然后利 用常数变易法将非线性微分方程变为等价的第二类 非线性 Volterra 积分方程．采用逐次逼近法求得 任意阶近似解并证明解的收敛性． 第30卷 第6期 2008年 6月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．6 Jun．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．06．023
第6期 曹少中等：仿射非线性系统状态方程的任意阶近似解 .691 即为式(3)中的高次项部分，于是式(3)可写为： 1 仿射非线性系统的任意阶近似解 一个有限n维的控制系统可以描述为： f(x)= 宫e(.0 (5) x=f(x,u) 同理，9(x)可写为线性和非线性两部分： x∈M,u∈U (1) y=h(x,u) 9(x)=b(t)+G:(x(t),t) (6) 其中，M是一个n维流形，U是容许控制集合 其中，b(t)与x无关，G(x(t),t)为高次项部分， 系统(1)的一个常用的特殊情况是仿射非线性 将式(5)及(6)代入方程(2)，则原方程变为下面 系统，它是对状态x非线性而对u是线性的，实际 的形式： 上，仿射非线性系统可由如下方程描述]： i(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)+ x=f(x)+g(x)wx∈M,u∈U (2) (x(t).t)G(x(t),t)u(t) (7) 、y=h(x) 其中， 其中， a11(t)a2(t） f（x)=(f1(x),f2(x),…,f(x)I, ain(t) a21(t) a22(t) …a2n(t) 9n(x)g12(x).g1m(x) A(t)= 9(x)= g21(x)g2z(x)…g2m(x) Lan1(t) an2(1) ann(t） b1I(t) b12(t) b1m(t】 gnl(x）9n2(x）…9m(x）y b21(t)b22(t) … x=(x1,x2,…,xn)为状态向量，u=(,u2,…, B(t)= b2m(t) um)为控制向量，y=(y1,y2,…,yp)为输出向 Lbnl(t)bn2(t)… bnm(t) 量，h(x)=(h1(x),hz(x),…,hp(x)为输出函 Ψ(x(t),t)= 数向量， 通常∫是光滑向量场，并且f(O)=0在h(x)= (Ψ1(x(t),t),Ψ2(x(t),t),…Ψ(x(t),t), (h1(x),h2(x),,h,(x)中的h:(x)满足 G(x(t),t)= :(0)=0(i=1,2,…,p),且它们是光滑的，另外在 Gu(x(t),t) G2(x(t),t)...GIm(x(t),t) 系统(2)中的9(x)(=1,2,…,n:j=1,2,…,m) Ga(x(t),t)G22(x(t),t)..G2m(x(t),t) 也是M上光滑的向量场.易知，x=0是该系统的 平衡点（设u=0)· Gn(x(t),t)Gn2(x(t),t)..Gam(x(t),t) 将f(x)和g(x)在平衡点x=0(u=0)附近展 首先求解式(7)的齐次方程， 开有： x(t)=A(t)x(t) (8) )会(0+2 明.(0.十 初始条件为x(t=0)=x(O) 该方程早已被人们采用Picad递归积分法或时 23+叶 变距阵指数法分别给出如下形式的解： x(t)=R(t)x(0) (9) 宫一宫四+-间 R(A(d+ 令 A()AC a时a(t)x1x2十 j=1j2=1 A()AC) 之之空()n++ A(tn)dtndtn-1..dt2dt+... (10) j1=1j2=1j3=1 或 宫@%+国 Ra)=eA(a时 (11)
1 仿射非线性系统的任意阶近似解 一个有限 n 维的控制系统可以描述为： x ·＝ f（ xu） y＝ h（ xu） x∈ Mu∈U （1） 其中M 是一个 n 维流形U 是容许控制集合． 系统（1）的一个常用的特殊情况是仿射非线性 系统它是对状态 x 非线性而对 u 是线性的．实际 上仿射非线性系统可由如下方程描述［1－2］： x ·＝ f（ x）＋g（ x） u y＝ h（ x） x∈ Mu∈U （2） 其中 f（ x）＝（ f1（ x）f2（ x）…f n（ x）） T g（ x）＝ g11（ x） g12（ x） … g1m（ x） g21（ x） g22（ x） … g2m（ x） g n1（ x） g n2（ x） … g nm（ x） x＝（ x1x2…x n） T 为状态向量u＝（ u1u2… um） T 为控制向量y＝（ y1y2…yp ） T 为输出向 量h（ x）＝（ h1（ x）h2（ x）…hp （ x）） T 为输出函 数向量． 通常 f 是光滑向量场并且 f（0）＝0在 h（ x）＝ （ h1（ x）h2（ x）…hp （ x）） T 中的 hi （ x） 满足 hi（0）＝0（ i＝12…p）且它们是光滑的另外在 系统（2）中的 gij（ x）（ i＝12…n；j＝12…m） 也是 M 上光滑的向量场．易知x＝0是该系统的 平衡点（设 u＝0）． 将 f（ x）和 g（ x）在平衡点 x＝0（ u＝0）附近展 开有： f i（ x）＝ ∑ n j＝1 aij（ t） xj＋ ∑ n j1＝1∑ n j2＝1 aij1 j2 （ t） xj1 xj2＋ ∑ n j1＝1∑ n j2＝1∑ n j3＝1 aij1 j2 j3 （ t） xj1 xj2 xj3＋…＋ ∑ n j1＝1∑ n j2＝1 … ∑ n j k＝1 aij1 j2… j k （ t） xj1 xj2 xj3… xj k＋…（3） 令 Ψi（ x（ t）t）＝ ∑ n j1＝1∑ n j2＝1 aij1 j2 （ t） xj1 xj2＋ ∑ n j1＝1∑ n j2＝1∑ n j3＝1 aij1 j2 j3 （ t） xj1 xj2 xj3＋…＋ ∑ n j1＝1∑ n j2＝1 …∑ n j k＝1 aij1 j2… j k （ t） xj1 xj2… xj k＋… （4） 即为式（3）中的高次项部分于是式（3）可写为： f i（ x）＝ ∑ n j＝1 aij（ t） xj＋Ψi（ x（ t）t） （5） 同理gij（ x）可写为线性和非线性两部分： gij（ x）＝bij（ t）＋ Gi（ x（ t）t） （6） 其中bij（ t）与 x 无关G（ x（ t）t）为高次项部分． 将式（5）及（6）代入方程（2）则原方程变为下面 的形式： x · （ t）＝ A（ t） x（ t）＋B（ t） u（ t）＋ Ψ（ x（ t）t）＋ G（ x（ t）t） u（ t） （7） 其中 A（ t）＝ a11（ t） a12（ t） … a1n（ t） a21（ t） a22（ t） … a2n（ t） an1（ t） an2（ t） … ann（ t） B（ t）＝ b11（ t） b12（ t） … b1m（ t） b21（ t） b22（ t） … b2m（ t） bn1（ t） bn2（ t） … bnm（ t） Ψ（ x（ t）t）＝ （Ψ1（ x（ t）t）Ψ2（ x（ t）t）… Ψn（ x（ t）t）） T G（x（t）t）＝ G11（x（t）t） G12（x（t）t） … G1m（x（t）t） G21（x（t）t） G22（x（t）t） … G2m（x（t）t） Gn1（x（t）t） Gn2（x（t）t） … Gnm（x（t）t） ． 首先求解式（7）的齐次方程 x ＾ （ t）＝ A（ t） x（ t） （8） 初始条件为 x（ t＝0）＝x（0）． 该方程早已被人们采用 Picad 递归积分法或时 变距阵指数法分别给出如下形式的解： x（ t）＝ R（ t） x（0） （9） R（ t）＝ I＋∫ t 0 A（ t1）d t1＋ ∫ t∫0 t1 0 A（ t1） A（ t2）d t2d t1＋…＋ ∫ t∫0 t1 0 …∫ t n－1 0 A（ t1） A（ t2）… A（ t n）d t nd t n－1…d t2d t1＋… （10） 或 R（ t）＝exp∫ t 0 A（τ）dτ （11） 第6期 曹少中等： 仿射非线性系统状态方程的任意阶近似解 ·691·
.692 北京科技大学学报 第30卷 在求得齐次方程解的基础上，采用常数变易法 意阶近似解，因此，综合以上结果，可以构造迭代函 将非线状态方程(7)变为等价的积分方程，设式(7) 数形式如下： 的解的形式为： x()=R(t)x(0)+R(t)R()B()u()d x(t)=R(t)C(t) (12) 其中，C(t)为待求函数列向量，根据R(t)的初始条 x(m()=R()x(0)+R()R() 件R(O)=I(nXn单位矩阵)，可知C(t)的初始条 1Ψ(xm-)(,)十[B()十 件为C(0)=x(0) G(x(m(),)]u()ldt,m21 把式(12)代入式(7)，有 (16) Lc()+RoG=Ae)R(e)ce)+ 对于自由状态，即控制向量u=0,则式(16)就 dt 简化为文献[89]的结果， B(t)u(t)(x(t).t)G(x(t).t)u(t). x()(t)=R(t)x(0) 利用dR-A()R(),则上式变为下面的形式： dt xm(t)=R(t)x(0)+R(t)R()· R)6= 平(x(m-(t),t)dt (17) (x(t).t)(B(t)G(x(t),t))u(t). 方程两边左乘以R(t)的逆R(t),并从0到t区 2任意阶近似解的收敛性 间进行积分，可得C(t)的表达式如下： 上面采用逐次逼近法获得仿射非线性系统的状 C)=x(0)+J。R([Ψ(x(),)+ 态方程的任意阶近似解.下面从非线性积分方程 (14)出发，根据积分方程理论讨论任意阶近似解的 (B()+G(x(),))u(t)]dt (13) 收敛性，令 把式(13)代入式(12)，则得与微分方程(7)等价的积 (=R(r(O)十R()J。R'()B()u(Ht, 分方程如下： F(x,u,t,)= ()=R()r(0+R()。R()平x(,)十 R(t)R()[Ψ(x,)+G(x,)u(r)], 则式(14)可以写成以下形式： [B()+G(x(),)]u(t)idt (14) 「t 方程(14)是第二类非线性Volterra积分方程， ()=()+JF(x.t)d (18) 该积分方程可采用逐次逼近法进行求解： 根据逐次逼近法，构造迭代函数序列如下： x9(e)=R()x(o)+R()0R'()B()u(edt x((t)=P(t) x(m)()=(t)+F(x,u.t,)dt,m1 xr四()=R(e)x0+R(R()1Ψ(x9(,)+ (19) [B(t)+G(x(r),)]u()dr 若上述迭代函数序列一致性收敛于某极限，亦 x()）=R()r(+R()R()1Ψ(x().)+ 即当m→∞时xm)(t)的极限存在，则该极限就是 积分方程(14)的解. [B()+G(x().)]u()ld: 现对9(t)和F(x,,t,)作如下假定： (1)”:(t)在自变量t的有限变化区间0≤t≤ xm()=R()x(0)+R()nR'()· d上连续且有界，即9(t)<C; (2)F(x,u,t,)关于全部变量在区间0≤t≤ 1Ψ(xm-)(),)+[B()+ d,0≤≤t,a≤x:≤b,c≤u:≤ei上连续且有界， G(xm-(),)]u()dt lF:(x,u,t,t)|<M:且a<9:(t)<b,以及 (15) F:(x,u,t,c)满足Lipschit条件 显然式(15)是一个递推迭代公式，只要求得线 IFi(x,u,t,)-F:(x,u.t,) 性方程的解，就可以逐次求得非线性方程(14)的任
在求得齐次方程解的基础上采用常数变易法 将非线状态方程（7）变为等价的积分方程．设式（7） 的解的形式为： x（ t）＝ R（ t） C（ t） （12） 其中C（ t）为待求函数列向量根据 R（ t）的初始条 件 R（0）＝ I（ n× n 单位矩阵）可知 C（ t）的初始条 件为 C（0）＝x（0）． 把式（12）代入式（7）有 d R（ t） d t C（ t）＋ R（ t） d C（ t） d t ＝ A（ t） R（ t） C（ t）＋ B（ t） u（ t）＋Ψ（ x（ t）t）＋ G（ x（ t）t） u（ t） 利用 d R（ t） d t ＝ A（ t） R（ t）则上式变为下面的形式： R（ t） d C（ t） d t ＝ Ψ（ x（ t）t）＋（B（ t）＋ G（ x（ t）t）） u（ t）． 方程两边左乘以 R（ t）的逆 R －1（ t）并从0到 t 区 间进行积分可得 C（ t）的表达式如下： C（ t）＝x（0）＋∫ t 0 R －1（τ）［ Ψ（ x（τ）τ）＋ （B（τ）＋ G（ x（τ）τ）） u（ t）］dτ （13） 把式（13）代入式（12）则得与微分方程（7）等价的积 分方程如下： x（t）＝R（t）x（0）＋R（t∫） t 0 R －1（τ）｛Ψ（x（τ）τ）＋ ［ B（τ）＋ G（ x（τ）τ）］ u（τ）｝dτ （14） 方程（14）是第二类非线性 Volterra 积分方程 该积分方程可采用逐次逼近法进行求解： x （0） （ t） ＝ R（ t） x（0）＋ R（∫t） t 0 R －1（τ） B（τ） u（τ）dτ x （1） （ t） ＝ R（ t） x（0）＋ R（∫t） t 0 R －1（τ）｛Ψ（ x （0） （τ）τ）＋ ［ B（τ）＋ G（ x （0） （τ）τ）］ u（τ）｝dτ x （2） （ t） ＝ R（ t） x（0）＋ R（∫t） t 0 R －1（τ）｛Ψ（ x （1） （τ）τ）＋ ［ B（τ）＋ G（ x （1） （τ）τ）］ u（τ）｝dτ x （ m） （ t） ＝ R（ t） x（0）＋ R（∫t） t 0 R －1（τ）· ｛Ψ（ x （ m－1） （τ）τ）＋ ［ B（τ）＋ G（ x （ m－1） （τ）τ）］ u（τ）｝dτ （15） 显然式（15）是一个递推迭代公式只要求得线 性方程的解就可以逐次求得非线性方程（14）的任 意阶近似解．因此综合以上结果可以构造迭代函 数形式如下： x （0） （t） ＝ R（t）x（0）＋ R（t∫） t 0 R －1（τ）B（τ） u（τ）dτ x （ m） （ t） ＝ R（ t） x（0）＋ R（ t∫） t 0 R －1（τ）· ｛Ψ（ x （ m－1） （τ）τ）＋ ［ B（τ）＋ G（ x （ m－1） （τ）τ）］ u（τ）｝dτm ≥1 （16） 对于自由状态即控制向量 u＝0则式（16）就 简化为文献［8－9］的结果 x （0） （ t） ＝ R（ t） x（0） x （ m） （ t） ＝ R（ t） x（0）＋ R（ t∫） t 0 R －1（τ）· Ψ（ x （ m－1） （τ）τ）dτ （17） 2 任意阶近似解的收敛性 上面采用逐次逼近法获得仿射非线性系统的状 态方程的任意阶近似解．下面从非线性积分方程 （14）出发根据积分方程理论讨论任意阶近似解的 收敛性．令 φ（t）＝R（t）x（0）＋R（t∫） t 0 R －1（τ）B（τ） u（τ）dτ F（ xutτ）＝ R（ t） R －1（τ）［ Ψ（ xτ）＋ G（ xτ） u（τ）］ 则式（14）可以写成以下形式： x（ t）＝φ（ t）＋∫ t 0 F（ xutτ）dτ （18） 根据逐次逼近法构造迭代函数序列如下： x （0） （ t） ＝ φ（ t） x （ m） （ t） ＝ φ（ t）＋∫ t 0 F（ xutτ）dτm ≥1 （19） 若上述迭代函数序列一致性收敛于某极限亦 即当 m→∞时 x （ m） （ t）的极限存在则该极限就是 积分方程（14）的解． 现对 φi（ t）和 F（ xutτ）作如下假定： （1） φi（ t）在自变量 t 的有限变化区间0≤ t≤ d 上连续且有界即｜φi（ t）｜＜Ci； （2） Fi（ xutτ）关于全部变量在区间0≤t≤ d0≤τ≤tai≤ xi≤bici≤ ui≤ei 上连续且有界 ｜Fi （ xutτ）｜＜ Mi 且 ai ＜φi （ t ） ＜ bi以及 Fi（ xutτ）满足 Lipschit 条件 ｜Fi（ xutτ）－Fi（ xutτ）｜≤ ·692· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第6期 曹少中等：仿射非线性系统状态方程的任意阶近似解 .693 《空1动=1.2N. 1一NK,因此函数级数之[x0()-x-(】 其中，K是常数 都是绝对收敛和一致收敛的，从而证明迭代函数序 如果上述假设成立，那么根据积分方程理 列{x(m)(t)}在上述假设条件下收敛， 论[0，可以证明由式(19)所构成的迭代函数序列 对于实际问题，要判断其是否满足上述假设条 {xm)(t)}收敛，证明如下. 件有时是很困难的，往往只能根据问题的物理性质 由于 做出判断，另外，上述假设条件仅是迭代函数序列 ()=()+2[()f-(小 收敛的充分条件，并非必要条件；也就是说，对于不 满足上述假设条件的情况，迭代函数序列也有可能 因此只要证明函数合[”()一x()】收敛 收敛 即可 3结论 根据假设条件可知： 本文采用传统的微分方程及积分方程得到了仿 |x(t)-x(t)l≤ 射非线性系统状态方程的任意阶近似解，这一结果 F().)Md-Mz. 表明，用迭代函数序列逼近非线性Volterra积分方 程的解，只需迭代m一1次，即可得到m阶近似解 l()-x()l≤[E,(x(,(,- 析解，十分简便， F(xo(),u(),t,)]Ht≤ 参考文献 x空1（可-(la≤号Kw, [1]Alberto I.Nonlinear Control Systems.3rd ed.London: Springer-Verlag.1995 其中，=户斯 [2]Hong Y G.Cheng DZ.Analysis and Control on Nonlinear Sys- tems.Beijing:Science Press,2005 (洪奕光，程代展，非线性系统的分析与控制北京：科学出版 1()-x()l≤[E((,u(b) 社，2005) [3]Xie L L,Guo L.Adaptive control of a class of discrete time affine F(x四()，u()t,)]Ht≤ nonlinear systems.Syst Control Lett,1998.35:202 [4]Popescu M.On minimum quadratic functional control of affine K空1P()-x()dr≤2X3MNK22, nonlinear systems.Nonlinear Anal.2004.56:1165 [5]Pei H L.Zhou Q J.Approximate linearization of nonlinear sys- 利用数学归纳法，可设 tems a neural network approach.Control Theory Appl.1998.15 |xP()-x-(t)l≤MN-2KP1, (1):34 [6]Verhulst F.Nonlinear Differential Equations and Dynamical 那么， Systems.New York:Spinger-Verlag.1992 1x+(t)-x9(t)l≤ [7]Xu Z G.Hauser J.Higher order approximate feedback lineariza- |[(0((.- tion about a manifold for multiinput systems.IEEE Trans Au- tom Control,1995,40(9):833 [8]Liu C L.Xie X.Any order approximate analytical solution of the Fi(x(()u()1)]d nonlinear Volterra'sintegral equation for accelerator dynamic sys tems.Chin J Nucl Sci Eng.1992.12(2):161 x空19(-(ld≤ (刘纯亮，谢羲.加速器非线性动力系统Volterra积分方程任 意阶近似解析解.核科学与工程，1992,12(2)：161) (11)MN-IK+1 [9]Liu C L.Xie X.Chen Y B.Any order approximate analytical so- lution of the nonlinear Volterra's integral equation for accelerator 可见，从1=2开始，级数∑[x9()一x少()] dynamic systems.I Nucl Phys.1991,13:261 [10]Shen Y D.Integral Equation.Beijing:Beijing Institute of 的每一项的小于等于帮级数，头会(N的 Technology Press.2002 (沈以淡.积分方程，北京：北京理工大学出版社，2002) 相应项，而后者是收敛的，其极限为入兰[ap(Nk)
K ∑ N j＝1 ｜xj－ xj｜j＝12…N 其中K 是常数． 如果上 述 假 设 成 立那 么 根 据 积 分 方 程 理 论［10］可以证明由式（19）所构成的迭代函数序列 ｛x （ m） （ t）｝收敛证明如下． 由于 x （ m） i （ t）＝ x （0） i （ t）＋ ∑ m l＝1 ［ x （ l） i （ t）－ x （ l－1） i （ t）］ 因此只要证明函数 ∑ ∞ l＝1 ［ x （ l） i （ t）－ x （ l－1） i （ t）］收敛 即可． 根据假设条件可知： ｜x （1） i （ t）－ x （0） i （ t）｜≤ ∫ t 0 ｜Fi（ x（τ）u（τ）tτ）｜≤∫ t 0 Midτ＝ Mit ｜x （2） i （t）－x （1） i （t）｜≤∫ t 0 ［ Fi（x （1） （τ）u（τ）tτ）－ Fi（ x （0） （τ）u（τ）tτ）］dτ ≤ ∫ t 0 K ∑ N j＝1 ｜x （1） j （τ）－ x （0） j （τ）｜dτ≤ 1 2 K Mt 2 其中M＝ ∑ N j＝1 Mj． ｜x （3） i （t）－x （2） i （t）｜≤∫ t 0 ［ Fi（x （2） （τ）u（τ）tτ）－ Fi（ x （1） （τ）u（τ）tτ）］dτ ≤ ∫ t 0 K ∑ N j＝1 ｜x （2） j （τ）－ x （1） j （τ） dτ≤ 1 2×3 MNK 2 t 3 利用数学归纳法可设 ｜x （ l） i （ t）－ x （ l－1） i （ t）｜≤ 1 l！ MN l－2K l－1 t l 那么 ｜x （ l＋1） i （ t）－ x （ l） i （ t）｜≤ ∫ l 0 ［ Fi（ x （ l） （τ）u（τ）tτ）－ Fi（ x （ l－1） （τ）u（τ）tτ）］dτ ≤ ∫ t 0 K ∑ N j＝1 ｜x （ l） j （τ）－ x （ l－1） j （τ）｜dτ≤ 1 （ l＋1）！ MN l－1K l t l＋1． 可见从 l＝2开始级数∑ ∞ l＝1 ［ x （l） i （t）－x （l－1） i （t）］ 的每一项均小于等于幂级数 M N 2K ∑ ∞ l＝2 1 l！ （ NKt） l 的 相应项而后者是收敛的其极限为 M N 2K ［exp（ NKt）－ 1－ NKt ］因此函数级数 ∑ ∞ l＝1 ［ x （ l） i （ t）－ x （ l－1） i （ t）］ 都是绝对收敛和一致收敛的从而证明迭代函数序 列｛x （ m） （ t）｝在上述假设条件下收敛． 对于实际问题要判断其是否满足上述假设条 件有时是很困难的往往只能根据问题的物理性质 做出判断．另外上述假设条件仅是迭代函数序列 收敛的充分条件并非必要条件；也就是说对于不 满足上述假设条件的情况迭代函数序列也有可能 收敛． 3 结论 本文采用传统的微分方程及积分方程得到了仿 射非线性系统状态方程的任意阶近似解．这一结果 表明用迭代函数序列逼近非线性 Volterra 积分方 程的解只需迭代 m－1次即可得到 m 阶近似解 析解十分简便． 参 考 文 献 ［1］ Alberto I． Nonlinear Control Systems．3rd ed． London： Springer-Verlag1995 ［2］ Hong Y GCheng D Z．A nalysis and Control on Nonlinear Systems．Beijing：Science Press2005 （洪奕光程代展．非线性系统的分析与控制．北京：科学出版 社2005） ［3］ Xie L LGuo L．Adaptive control of a class of discrete-time affine nonlinear systems．Syst Control Lett199835：202 ［4］ Popescu M．On minimum quadratic functional control of affine nonlinear systems．Nonlinear A nal200456：1165 ［5］ Pei H LZhou Q J．Approximate linearization of nonlinear systems a neural network approach．Control Theory Appl199815 （1）：34 ［6］ Verhulst F． Nonlinear Dif ferential Equations and Dynamical Systems．New York：Spinger-Verlag1992 ［7］ Xu Z GHauser J．Higher order approximate feedback linearization about a manifold for mult-i input systems．IEEE T rans A utom Control199540（9）：833 ［8］ Liu C LXie X．Any order approximate analytical solution of the nonlinear Volterra’s integral equation for accelerator dynamic systems．Chin J Nucl Sci Eng199212（2）：161 （刘纯亮谢羲．加速器非线性动力系统 Volterra 积分方程任 意阶近似解析解．核科学与工程199212（2）：161） ［9］ Liu C LXie XChen Y B．Any order approximate analytical solution of the nonlinear Volterra’s integral equation for accelerator dynamic systems．J Nucl Phys199113：261 ［10］ Shen Y D． Integral Equation．Beijing：Beijing Institute of Technology Press2002 （沈以淡．积分方程．北京：北京理工大学出版社2002） 第6期 曹少中等： 仿射非线性系统状态方程的任意阶近似解 ·693·