第13卷第4期 智能系统学报 Vol.13 No.4 2018年8月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug.2018 D0:10.11992/tis.201705031 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180328.1811.016html 一阶惯性大时滞系统Smith预估自抗扰控制 王永帅'，陈增强2，孙明玮，孙青林 （1.南开大学计算机与控制工程学院，天津300350,2.天津市智能机器人重点实验室，天津300350) 摘要：大时滞系统是工业过程控制中的典型难题，将先进控制方法应用于大时滞系统时需要与传统的 Smith预估器相结合才能获得理想的控制效果。针对一阶惯性大时滞系统，研究了Smith预估器与线性自抗扰 控制技术相结合的设计问题，分析了系统的稳定条件和参数摄动问题。证明了当被控对象参数与Smh预估 器参数相同时，闭环控制系统稳定的结论，同时推导了参数不同时控制系统稳定的一个充分条件。另外基于数 值仿真，从暂态性能、稳定裕度和抗扰能力三方面分析了系统参数和控制参数摄动的影响作用，这些结果可用 于Smith预估器和线性自抗扰控制器参数的整定。 关键词：大时滞系统：一阶惯性系统：线性自抗扰控制：Smh预估器：稳定裕度：劳斯判据：稳定性分析：稳定可行域 中图分类号：TP272 文献标志码：A文章编号：1673-4785(2018)04-0500-09 中文引用格式：王永帅，陈增强，孙明玮，等.一阶惯性大时滞系统Smith预估自抗扰控制.智能系统学报，2018,13(4)： 500-508. 英文引用格式：WANG Yongshuai,,CHEN Zengqiang,.SUN Mingwei,,etal.Smith prediction and active disturbance rejection con- trol for first-order inertial systems with long time-delay CAAI transactions on intelligent systems,2018,13(4):500-508. Smith prediction and active disturbance rejection control for first-order in- ertial systems with long time-delay WANG Yongshuai',CHEN Zengqiang,SUN Mingwei',SUN Qinglin' (1.College of Computer and Control Engineering,Nankai University,Tianjin 300350,China;2.Key Laboratory of Intelligent Robot- ics of Tianjin,Tianjin 300350,China) Abstract:A system with long time-delay is a typical difficulty experienced in industrial process control.When an ad- vanced control method is applied to such a system,an ideal control effect can be obtained only by combining it with a traditional Smith predictor.In this paper,we address first-order inertial systems with long time-delay,investigate the combined design of a Smith predictor with the linear active disturbance rejection control(LADRC)technique,and dis- cuss the system stability conditions and parameter perturbations.We prove that the closed-loop control system is stable when the parameters of the controlled object are identical to the Smith predictor parameters.Moreover,we deduce a suf- ficient condition for maintaining the stability of the control system when these parameters differ.In addition,using nu- merical simulation,we analyze the impacts of perturbation of the system and control parameters on the transient per- formance,stability margin,and disturbance rejection ability.These results can be used to tune the parameters of the Smith predictor and LADRC controller. Keywords:systems with long time-delay;first-order inertial systems;LADRC;Smith predictor,stability margin;Routh criterion;stability analysis;stable region 收稿日期：2017-05-27.网络出版日期：2018-03-29 时滞系统广泛存在于现代过程控制工业中， 基金项目：国家自然科学基金项目(61573199,61573197)：天津 市自然科学基金项目(04 JCYBJC18700). 例如治金、化工、炼油等工业。一般认为纯迟延 通信作者：陈增强.E-mail:chenzq@nankai.edu.cn. 时间τ与过程的时间常数T之比大于0.3则说明该
DOI: 10.11992/tis.201705031 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180328.1811.016.html 一阶惯性大时滞系统 Smith 预估自抗扰控制 王永帅1 ，陈增强1,2，孙明玮1 ，孙青林1 （1. 南开大学 计算机与控制工程学院，天津 300350; 2. 天津市智能机器人重点实验室，天津 300350） 摘 要 ：大时滞系统是工业过程控制中的典型难题，将先进控制方法应用于大时滞系统时需要与传统的 Smith 预估器相结合才能获得理想的控制效果。针对一阶惯性大时滞系统，研究了 Smith 预估器与线性自抗扰 控制技术相结合的设计问题，分析了系统的稳定条件和参数摄动问题。证明了当被控对象参数与 Smith 预估 器参数相同时，闭环控制系统稳定的结论，同时推导了参数不同时控制系统稳定的一个充分条件。另外基于数 值仿真，从暂态性能、稳定裕度和抗扰能力三方面分析了系统参数和控制参数摄动的影响作用，这些结果可用 于 Smith 预估器和线性自抗扰控制器参数的整定。 关键词：大时滞系统；一阶惯性系统；线性自抗扰控制；Smith预估器；稳定裕度；劳斯判据；稳定性分析；稳定可行域 中图分类号：TP272 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2018)04−0500−09 中文引用格式：王永帅, 陈增强, 孙明玮, 等. 一阶惯性大时滞系统 Smith 预估自抗扰控制[J]. 智能系统学报, 2018, 13(4): 500–508. 英文引用格式：WANG Yongshuai, CHEN Zengqiang, SUN Mingwei, et al. Smith prediction and active disturbance rejection control for first-order inertial systems with long time-delay[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2018, 13(4): 500–508. Smith prediction and active disturbance rejection control for first-order inertial systems with long time-delay WANG Yongshuai1 ，CHEN Zengqiang1,2 ，SUN Mingwei1 ，SUN Qinglin1 (1. College of Computer and Control Engineering, Nankai University, Tianjin 300350, China; 2. Key Laboratory of Intelligent Robotics of Tianjin, Tianjin 300350, China) Abstract: A system with long time-delay is a typical difficulty experienced in industrial process control. When an advanced control method is applied to such a system, an ideal control effect can be obtained only by combining it with a traditional Smith predictor. In this paper, we address first-order inertial systems with long time-delay, investigate the combined design of a Smith predictor with the linear active disturbance rejection control (LADRC) technique, and discuss the system stability conditions and parameter perturbations. We prove that the closed-loop control system is stable when the parameters of the controlled object are identical to the Smith predictor parameters. Moreover, we deduce a sufficient condition for maintaining the stability of the control system when these parameters differ. In addition, using numerical simulation, we analyze the impacts of perturbation of the system and control parameters on the transient performance, stability margin, and disturbance rejection ability. These results can be used to tune the parameters of the Smith predictor and LADRC controller. Keywords: systems with long time-delay; first-order inertial systems; LADRC; Smith predictor; stability margin; Routh criterion; stability analysis; stable region τ 时滞系统广泛存在于现代过程控制工业中， 例如冶金、化工、炼油等工业。一般认为纯迟延 时间 与过程的时间常数 T 之比大于 0.3 则说明该 收稿日期：2017−05−27. 网络出版日期：2018−03−29. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61573199，61573197)；天津 市自然科学基金项目 (14JCYBJC18700). 通信作者：陈增强. E-mail: chenzq@nankai.edu.cn. 第 13 卷第 4 期 智 能 系 统 学 报 Vol.13 No.4 2018 年 8 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug. 2018
第4期 王永帅，等：一阶惯性大时滞系统Smith预估自抗扰控制 ·501· 过程是具有大迟延的工艺过程。滞后时间越大， d1) 系统越难控，而且对控制品质极为不利，因此，大 时滞系统受到了理论和应用领域的广泛关注。 0.J.M.Smith于1957年提出了著名的针对纯滞后 系统的Smith预估器-)，有效解决了控制量不能 LESO 及时作用于被控对象的问题。但是，Smith预估 图1一阶系统线性自抗扰控制结构 器不具备任何抑制扰动的能力，当存在外界干扰 Fig.1 Diagram of LADRC for first-order systems 时，控制性能将会大大下降。由此出现了自适应 下面以一阶系统为例，假定不含时滞的一阶 控制、预测控制算法6-刀、鲁棒控制算法和各 被控对象用微分方程表示为 种智能算法等。但是只能解决时滞时间较小 y=f(y,d)+bu (1) 的控制问题。 式中：y和分别为系统的输出量和控制量，d为未 20世纪80年代末，韩京清研究员提出了自抗 知的外部扰动，b为不确定的模型参数，f)为总扰 扰技术，由于能够实时估计和补偿扰动，受到了 动，包含了对象不确定性造成的内部扰动和外部 控制领域的广泛关注，并成功应用于各种不确定 扰动d。 系统。针对时滞系统，韩京清研究员提出了无 式(1)所描述系统的状态方程为 ∫=AX+Bu+Ef 视时滞法、一阶惯性环节近似法、输入预测法和 y=CX (2) 输出预测4种方法，但是随着时滞增大控制效果 根据式(2)设计的线性扩张状态观测器为 变差。由于自抗扰技术的各种实用优点和需调参 立=AZ+Bu+Ly-) 数太多等原因，美国克利夫兰州立大学的高志强 i=CZ (3) 教授提出了线性自抗扰方法，大大简化了调参 工作量，而且线性自抗扰的分析相对容易，现在 式中：A=8B=.c=8E= 已经有很多文献对此进行了理论分析。 Z=[Z12T为LESO的状态估计输出；L=B,B, 为LESO的增益。 因此，将具有实时估计补偿扰动能力的线性 自抗扰技术与解决纯时滞问题的Smith预估器相 控制量为 k(r-2)-2 结合，来解决大时滞系统的控制问题。已有学者 l= (4) bo 进行了一些相关研究，文献[17刀在模型大约已知 式中：r为给定的参考输入值，k为比例控制器增 的条件下，将ADRC-Smith与基于时滞的扰动补 益，b为b的估计值。对于一阶LADRC,系统的观 偿观测器、PI-Smith在鲁棒性能和抗扰能力方面 测器和控制器带宽分别选择为回 进行了比较，并进行频域分析，说明了ADRC-Smith L=[BB,=[2w。w2],k=w (5) 控制性能更好，并对化学反应器浓度控制进行了 仿真测试，对锅炉的氧浓度控制进行了仿真测试 2大时滞系统的LADRC-Smith设计 和实际结果的对比；文献[I8]分析了ADRC-Smith 通常，一阶大时滞被控对象的数学模型为 的性能，并通过改进差分算法整定控制参数，最后 K 与ADRC、PI-Smith、PI3种控制器进行仿真比较。 G,(s)=Ts+Te".K.T.>0 (6) 在上述基础上，本文研究了在被控对象准确 式中：T为时间常数，τ为时滞时间。在控制量的 已知和大约已知两种情况下，LADRC-Smith控制 作用下，式(6可用微分形式表示为 方法的稳定条件和Smith预估器参数选择问题， i=f(y,d)+bu(t-T) (7) 通过MATLAB仿真进行了验证，并仿真分析了参 可以看出，由于时滞的存在，进入LESO的输 数摄动对系统各个性能指标的影响。 出量y(t-τ)和控制量u()在时间轴上不重合。为了 得到有效的估计状态输出，必须对状态观测器的 1线性自抗扰的基本原理 两个输人信号进行同步性处理。因此，引入 Smith预估器，消除时滞对被控输出的影响，使得 线性自抗扰以线性扩张状态观测器((linear ex- 进入LESO的两个信号为y()和u(0,在时间轴上实 tended state observer,LESO)为核心，包含了状态 现一致。Smith预估器表达式为 和扰动估计、误差反馈和扰动补偿几部分，结构 如图1所示。 Gm(s)= (1- (8)
过程是具有大迟延的工艺过程。滞后时间越大， 系统越难控，而且对控制品质极为不利，因此，大 时滞系统受到了理论和应用领域的广泛关注。 O.J.M.Smith[1]于 1957 年提出了著名的针对纯滞后 系统的 Smith 预估器[2-3] ，有效解决了控制量不能 及时作用于被控对象的问题。但是，Smith 预估 器不具备任何抑制扰动的能力，当存在外界干扰 时，控制性能将会大大下降。由此出现了自适应 控制[4-5] 、预测控制算法[6-7] 、鲁棒控制算法[8]和各 种智能算法等[9-10]。但是只能解决时滞时间较小 的控制问题。 20 世纪 80 年代末，韩京清研究员提出了自抗 扰技术，由于能够实时估计和补偿扰动，受到了 控制领域的广泛关注，并成功应用于各种不确定 系统。针对时滞系统，韩京清[11]研究员提出了无 视时滞法、一阶惯性环节近似法、输入预测法和 输出预测 4 种方法，但是随着时滞增大控制效果 变差。由于自抗扰技术的各种实用优点和需调参 数太多等原因，美国克利夫兰州立大学的高志强 教授[12]提出了线性自抗扰方法，大大简化了调参 工作量，而且线性自抗扰的分析相对容易，现在 已经有很多文献对此进行了理论分析[13-16]。 因此，将具有实时估计补偿扰动能力的线性 自抗扰技术与解决纯时滞问题的 Smith 预估器相 结合，来解决大时滞系统的控制问题。已有学者 进行了一些相关研究，文献[17]在模型大约已知 的条件下，将 ADRC-Smith 与基于时滞的扰动补 偿观测器、PI-Smith 在鲁棒性能和抗扰能力方面 进行了比较，并进行频域分析，说明了 ADRC-Smith 控制性能更好，并对化学反应器浓度控制进行了 仿真测试，对锅炉的氧浓度控制进行了仿真测试 和实际结果的对比；文献[18]分析了 ADRC-Smith 的性能，并通过改进差分算法整定控制参数，最后 与 ADRC、PI-Smith、PI 3 种控制器进行仿真比较。 在上述基础上，本文研究了在被控对象准确 已知和大约已知两种情况下，LADRC-Smith 控制 方法的稳定条件和 Smith 预估器参数选择问题， 通过 MATLAB 仿真进行了验证，并仿真分析了参 数摄动对系统各个性能指标的影响。 1 线性自抗扰的基本原理 线性自抗扰以线性扩张状态观测器 (linear extended state observer，LESO) 为核心，包含了状态 和扰动估计、误差反馈和扰动补偿几部分，结构 如图 1 所示。 + + LESO + − e − + y(t) Gp d(t) u(t) 1/b0 z2 z1 k1 r(t) 图 1 一阶系统线性自抗扰控制结构 Fig. 1 Diagram of LADRC for first-order systems 下面以一阶系统为例，假定不含时滞的一阶 被控对象用微分方程表示为 y˙ = f(y,d)+bu (1) y u d b f(·) d 式中： 和 分别为系统的输出量和控制量， 为未 知的外部扰动， 为不确定的模型参数， 为总扰 动，包含了对象不确定性造成的内部扰动和外部 扰动 。 式 (1) 所描述系统的状态方程为 { X˙ = AX + Bu+ E ˙f y = CX (2) 根据式 (2) 设计的线性扩张状态观测器为 { Z˙ = AZ + Bu+ L(y−yˆ) yˆ = CZ (3) A = [ 0 1 0 0 ] ,B = [ b0 0 ] ,C = [ 1 0 ]T ,E = [ 0 1 ] 式中： 。 Z = [z1 z2] T L = [β1 β2] 为 T LESO 的状态估计输出； 为 LESO 的增益。 控制量u为 u = k1(r −z1)−z2 b0 (4) r k1 b0 b 式中： 为给定的参考输入值， 为比例控制器增 益， 为 的估计值。对于一阶 LADRC，系统的观 测器和控制器带宽分别选择为[12] L = [ β1 β2 ]T = [ 2wo w 2 o ]T , k1 = wc (5) 2 大时滞系统的 LADRC-Smith 设计 通常，一阶大时滞被控对象的数学模型为 Gp(s) = K T s+1 e −τs , K,T,τ > 0 (6) 式中： T 为时间常数，τ为时滞时间。在控制量u的 作用下，式 (6) 可用微分形式表示为 y˙ = f(y,d)+bu(t−τ) (7) y(t−τ) u(t) y(t) u(t) 可以看出，由于时滞的存在，进入 LESO 的输 出量 和控制量 在时间轴上不重合。为了 得到有效的估计状态输出，必须对状态观测器的 两个输入信号进行同步性处理。因此，引 入 Smith 预估器，消除时滞对被控输出的影响，使得 进入 LESO 的两个信号为 和 ，在时间轴上实 现一致。Smith 预估器表达式为 Gm(s) = Km Tm s+1 (1−e −τm s ) (8) 第 4 期 王永帅，等：一阶惯性大时滞系统 Smith 预估自抗扰控制 ·501·
·502· 智能系统学报 第13卷 Smith预估器原理结构图如图2所示。 Go=C(s)H(s)Gp(s)= [(2k1w。+w2)s+k1w2]GP(s) T s+l (12) {b[s2+(2w。+k1)+ [(2k1w。+w2)s+k1w2]Gm(s}- K yF) C(s)G(s) Ga=1+C()H()G.(= 图2 Smith预估器结构 [kI(s+wo)Gp(s)].{bo[s2+ (13) Fig.2 Diagram of Smith predictor (2w。+k1)s+[(2k1w。+w2)s+ 这样，当Smith预估器参数与被控对象相同 k1w2][Gm()+G(s}- 时，进入LESO的被控输出y=y0,y和u在时间上 3.1条件分析 同步，从而得到一阶系统的整个LADRC-Smith结 下面从被控对象模型准确已知和大约已知两 构图如图3所示。 个方面分析LADRC-Smith的条件稳定性。 d(t) 3.11被控模型准确已知 命题1当被控对象模型准确已知时，Smith 88-8 回8 预估器与被控模型参数完全相同，只要3个控制 参数为正，系统输出是稳定的。 证明 此时，将k1=we,Km=K,Tm=T,Tm=T代入式 LESO (13)得到： 图3 LADRC-Smith系统结构 Ga We(s+w)2Ke-r. Fig.3 Diagram of the LADRC-Smith system {b(Ts+1)[s2+(2w。+w)s+ (14) K[(2wew。+w2)s+ww2]}- 3 稳定性分析 只有分子中包含时滞，不会影响系统的最终 根据式(3)和式（⑤），可以得到表达式： 稳定性，因此可以利用劳斯判据对系统特征方程 5z1=z2+bou+2w.0y-z1) 进行稳定性分析。 (9) 5z2=w2y-zi) D(5)=a3s3+2s2+a1s+a0 (15) 求解式(9)，可以得到估计状态1、2的传递函 式中：a3=bT,a2=bo[1+(2w。+wc)T],a1=bo(2w。+we)+ 数表示，y=yp+ym: K(2wowe+w2),ao=Kwewio 2wos+w2 bos 可以看出：a3,a2,a1,a>0 z1(S)= (ty 6+ (10) a1a2-a0a3= =（gw-（ao bo[bo(2w。+w)+K(2wew。+w2)](1+2Tw。+Tw)- 结合状态误差反馈控制率式(4)，可以得到系 boKTwew2= 统的典型单回路反馈控制结构框图如图4。 bol(2bowo+bowe+2Kwewa)[(1+2Two)+Twe]+ Kw(1+2Tw)}>0 d 证毕。 3.1.2被控模型大约已知 假设： H(s) K.-ak.T--BT.t-yr-@.B.Y.4>0) 图4 LADRC-Smith单回路结构 命题2当被控对象模型大约已知，时间常 Fig.4 The single loop diagram of LADRC-Smith 数T和时滞时间τ摄动较小，下列条件满足时，闭 其中： 环系统是稳定的。 C(s)=k(s+w)2.{bo[s2+(2w。+k)s+ 1)y<l; [【(2k1w。+w23)s+k1w2]Gm(s)}-1 2)2y>15 (11) H句=(2kw+ws+kw 3)ad(1-y)-y>0。 k1(s+w)2 证明 从而可以得到系统的开环和闭环传递函数： 闭环特征方程为
Smith 预估器原理结构图如图 2 所示。 − Km + Tms+1 Km Tms+1 ym(t) ym ym(t−τm) e −τms 图 2 Smith 预估器结构 Fig. 2 Diagram of Smith predictor y = y(t) y u 这样，当 Smith 预估器参数与被控对象相同 时，进入 LESO 的被控输出 ， 和 在时间上 同步，从而得到一阶系统的整个 LADRC-Smith 结 构图如图 3 所示。 + + LESO + − e − + − + + + r(t) z1 z2 k1 1/b0 u(t) d(t) K Ts+1 Km Tms+1 yp y(t) ym e −τs e −τms 图 3 LADRC-Smith 系统结构 Fig. 3 Diagram of the LADRC-Smith system 3 稳定性分析 根据式 (3) 和式 (5)，可以得到表达式： { sz1 = z2 +b0u+2wo(y−z1) sz2 = w 2 o (y−z1) (9) z1、z2 y = yp +ym 求解式 (9)，可以得到估计状态 的传递函 数表示， ： z1 (s) = 2wo s+w 2 o (s+wo) 2 y+ b0 s (s+wo) 2 u(s) z2(s) = ( wo s+wo ) 2 sy−( wo s+wo ) 2 b0u(s) (10) 结合状态误差反馈控制率式 (4)，可以得到系 统的典型单回路反馈控制结构框图如图 4。 + − + + r d e yp Gp u(s) C(s) z1 H(s) 图 4 LADRC-Smith 单回路结构 Fig. 4 The single loop diagram of LADRC-Smith 其中： C(s) = k1(s+wo) 2 · {b0 [ s 2 +(2wo +k1)s ] + [ (2k1wo +w 2 o )s+k1w 2 o ] Gm(s)} −1 H(s) = (2k1wo +w 2 o )s+k1w 2 o k1(s+wo) 2 (11) 从而可以得到系统的开环和闭环传递函数： Gol = C(s)H(s)Gp(s) = [(2k1wo +w 2 o )s+k1w 2 o ]GP(s)· {b0[s 2 +(2wo +k1)s] + [(2k1wo +w 2 o )s+k1w 2 o ]Gm(s)} −1 (12) Gcl = C(s)Gp(s) 1+C(s)H(s)Gp(s) = [k1(s+wo) 2Gp(s)]· { b0[s 2+ (2wo +k1)s]+[(2k1wo +w 2 o )s+ k1w 2 o ][Gm(s)+Gp(s)]} −1 (13) 3.1 条件分析 下面从被控对象模型准确已知和大约已知两 个方面分析 LADRC-Smith 的条件稳定性。 3.1.1 被控模型准确已知 命题 1 当被控对象模型准确已知时，Smith 预估器与被控模型参数完全相同，只要 3 个控制 参数为正，系统输出是稳定的。 证明 k1 = wc 此时，将 ,Km = K,Tm = T,τm = τ 代 入 式 (13) 得到： Gcl = wc(s+wo) 2Ke −τs · {b0(T s+1)[s 2 +(2wo +wc)s]+ K[(2wcwo +w 2 o )s+wcw 2 o ]} −1 (14) 只有分子中包含时滞，不会影响系统的最终 稳定性，因此可以利用劳斯判据对系统特征方程 进行稳定性分析[19]。 D(s) = a3 s 3 +a2 s 2 +a1 s+a0 (15) a3 =b0T,a2 =b0[1+(2wo +wc)T],a1 =b0(2wo +wc)+ K(2wowc +w 2 o ),a0 = Kwcw 2 o 式中： 。 可以看出：a3,a2,a1,a0 > 0 a1a2 −a0a3 = b0[b0(2wo +wc)+K(2wcwo +w 2 o )](1+2Two +Twc)− b0KTwcw 2 o = b0{(2b0wo +b0wc +2Kwcwo)[(1+2Two)+Twc]+ Kw2 o (1+2Two)} > 0 证毕。 3.1.2 被控模型大约已知 假设： Km = αK,Tm = βT,τm = γτ, τm Tm = λ(α, β, γ, λ > 0) T τ 命题 2 当被控对象模型大约已知，时间常 数 和时滞时间 摄动较小，下列条件满足时，闭 环系统是稳定的。 1) γ < 1 ； 2) 2α γ > 1 ； 3) αλ(1−γ)−γ > 0。 证明 闭环特征方程为 ·502· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷
第4期 王永帅，等：一阶惯性大时滞系统Smith预估自抗扰控制 ·503· D)=bls2+(2w。+k1)s+[(2k1w。+w2)s+k1w2] 1.2r 1.0 0.8 40.6 (16) 0.4 对被控系统特性进行仿真发现，针对大惯性 0.2 环节，当时间密数了摄动较小时（御8=小7和 0 4 6 80×10 +输出非常接近：当较小时，可以进行 (a)b=2×0.85/1200,w=0.0024;w。=3×0.0024 Taylor展开，但对于大时滞对象，Taylor展开不适 2.0 用，而Pade近似更精确。所以，为了能够定性分 1.5 析，作如下近似： .0 eus2-rs e-1=1-(y-1)r3,T≈Tm=βT 0.5 2+Ts 则Gp+Gm可以写作： 4 。680×10 K 2-TS Gp+Gm≈ BTs+1 2+Ts (b)b。=2:w=10:w。=10 l--g-r训 aK (17) 图5被控对象准确已知时的阶跃响应 Fig.5 Step response when plant is accurately known 从而，式(16)可以转化为 1.2 D(s)=aas+ass+azs+ais'+ao 1.0 (18) 0.8 式中 40.6 a=BboTr 0.4 0.2 a3=bo[BTT(2w。+we)+(2BT+T】- 0 1 3 4 56×10 K(2w-w。+w2)ar(y-1)r2 (a)K.=6.4K,T=0.95T,tm=0.9x,b=3x0.85/1200; a2=bo[(2wo+we)(2BT+)+2]+ w=0.0024;w。=0.008 K(2w.w。+w2)2ay-1)r-ww2a(y-1)r2] 1.2 a1 2b0(2wo+we)+K[wew(2ay-1)T+ 1.0 wwwwwwwninmwruimiiin 0.8 2(2ww。+w] 0.6 ao=2Kwew 0.4 0.2 根据劳斯判据，定性得到了一个近似的稳定 0 充分条件： 123456×10 1)ao~aa>0=y<1 and 2ay>1 (b)K=4KTm=1.1T,tm=0.8x,b。=4×0.851200 w=0.0024,1w.=3×0.0024 2)a2a3-a1a4>0→ad(1-y)-y>0 3)a1a2a3-aia4-a>0→ad1-y）-y>0 图6被控对象大约已知时的阶跃响应 证毕。 Fig.6 Step response when plant is approximately known 可以看出，当Smith预估器参数与被控对象 3.2仿真验证 0.85 不相同时，根据命题2选择参数，由于是近似条 被控对象为，G,=12003+1m。 件，系统最终可能不稳定，与控制参数选择也相 3.2.1 Smith预估器参数与被控对象相同 关，所以，命题2有一定的局限性，但也有一定的 由图5可以看出，当Smith预估器的参数与 参考意义，控制参数与性能的关系将在下面分析。 被控对象完全相同时，只要3个被调参数为正，系 4参数分析与设计原则 统输出最终是稳定的，但是动态过程跟参数选择 0.85 十分密切，参数调节与性能关系将在下面讨论。 同样，选择一阶系统：G,=200m,从 系统参数和控制参数两个角度分析参数变化对系 3.2.2 Smith预估器参数与被控对象不同 统的影响。 当Smith预估器参数与被控对象参数不相同 系统的动态性能指标中比较重要的是最大超 时，按照命题2的近似充分条件选择Smith预估 调量M和调整时间1，(2%)；系统的稳态性能指标 器参数，控制参数随意给定，然后进行仿真验证， 主要有幅值裕度GM、相角裕度PM和时滞裕度 如图6所示。 DM;系统的抗扰性能方面比较重要的指标是扰
D(s) = b0[s 2 +(2wo +k1)s]+[(2k1wo +w 2 o )s+k1w 2 o ]· [ K T s+1 e −τs +(1−e −τm s ) Km Tm s+1 ] (16) β ≈ 1 K T s+1 K Tm s+1 τ 对被控系统特性进行仿真发现，针对大惯性 环节，当时间常数 T 摄动较小时 (即 )， 和 输出非常接近；当 较小时，可以进 行 Taylor 展开，但对于大时滞对象，Taylor 展开不适 用，而 Pade 近似更精确。所以，为了能够定性分 析，作如下近似： e −τs = 2−τs 2+τs , e −(γ−1)τs = 1−(γ−1)τs,T ≈ Tm = βT 则 Gp +Gm可以写作： Gp +Gm ≈ K βT s+1 · 2−τs 2+τs + αK βT s+1 [1− 2−τs 2+τs (1−(γ−1)τs)] (17) 从而，式 (16) 可以转化为 D(s) = a4 s 4 +a3 s 3 +a2 s 2 + a1 s 1 +a0 (18) 式中 a4 = βb0Tτ a3 = b0[βTτ(2wo +wc)+(2βT +τ)]− K(2wcwo +w 2 o )α(γ−1)τ 2 a2 = b0[(2wo +wc)(2βT +τ)+2]+ K[(2wcwo +w 2 o )(2αγ−1)τ−wcw 2 oα(γ−1)τ 2 ] a1 = 2b0(2wo +wc)+K[wcw 2 o (2αγ−1)τ+ 2(2wcwo +w 2 o )] a0 = 2Kwcw 2 o 根据劳斯判据，定性得到了一个近似的稳定 充分条件： 1) a0 ∼ a4 > 0 ⇒ γ < 1 and 2αγ > 1 2) a2a3 −a1a4 > 0 ⇒ αλ(1−γ)−γ > 0 a1a2a3 −a 2 1 a4 −a0a 2 3) 3 > 0 ⇒ αλ(1−γ)−γ > 0 证毕。 3.2 仿真验证 Gp = 0.85 1 200s+1 e 被控对象为 −1 800s [18] ： 。 3.2.1 Smith 预估器参数与被控对象相同 由图 5 可以看出，当 Smith 预估器的参数与 被控对象完全相同时，只要 3 个被调参数为正，系 统输出最终是稳定的，但是动态过程跟参数选择 十分密切，参数调节与性能关系将在下面讨论。 3.2.2 Smith 预估器参数与被控对象不同 当 Smith 预估器参数与被控对象参数不相同 时，按照命题 2 的近似充分条件选择 Smith 预估 器参数，控制参数随意给定，然后进行仿真验证， 如图 6 所示。 0 2 4 6 8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 yp t/s (a) b0=2×0.85/1 200;wc=0.002 4;wo=3×0.002 4 0 2 4 6 8 10 0.5 1.0 1.5 2.0 yp t/s (b) b0=2;wc=10;wo=10 ×103 ×103 图 5 被控对象准确已知时的阶跃响应 Fig. 5 Step response when plant is accurately known 0 1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 ×104 t/s yp (a) Km=6.4K; Tm=0.95T; τm=0.9τ; b0=3×0.85/1 200; wc=0.002 4; wo=0.008 0 1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 ×104 t/s yp (b) Km=4K; Tm=1.1T; τm=0.8τ; b0=4×0.85/1 200; wc=0.002 4; wo=3×0.002 4 图 6 被控对象大约已知时的阶跃响应 Fig. 6 Step response when plant is approximately known 可以看出，当 Smith 预估器参数与被控对象 不相同时，根据命题 2 选择参数，由于是近似条 件，系统最终可能不稳定，与控制参数选择也相 关，所以，命题 2 有一定的局限性，但也有一定的 参考意义，控制参数与性能的关系将在下面分析。 4 参数分析与设计原则 Gp = 0.85 1 200s+1 e 同样，选择一阶系统： −1 800s，从 系统参数和控制参数两个角度分析参数变化对系 统的影响。 Mp tr(2%) 系统的动态性能指标中比较重要的是最大超 调量 和调整时间 ；系统的稳态性能指标 主要有幅值裕度 GM、相角裕度 PM 和时滞裕度 DM；系统的抗扰性能方面比较重要的指标是扰 第 4 期 王永帅，等：一阶惯性大时滞系统 Smith 预估自抗扰控制 ·503·
·504· 智能系统学报 第13卷 动偏离量（定义为M)和扰动恢复时间（定义为 1.6 1.4 ):下面将从系统参数、控制参数进行比较分析。 12 4.1系统参数 1.0 0.8 Smith预估器参数为 0.6 0.7K 0.4K 1.6K Km=0.85,Tm=1200,Tm=1800: 0.4 控制参数为b=2×0.85/1200,w.=0.0024,w。= 0.2 3×0.0024。利用奈氏曲线（如图7）得到系统稳定 0.51.01520253035404550×10 的K、T、摄动边界值如表1所示： (a)Bode图 15 50 10 50 0.4K0.7K -100 0 -10 -1440 0.4 -15 -2880 -1 0 2 3 456 -4320 实轴 10 10 10310-2 10- 100 频率/(rads) 图7 LADRC-Smith奈氏曲线图 b)阶跃响应（带扰动） Fig.7 Nyquist diagram of LADRC-Smith 表1被控对象参数摄动的稳定边界值 图8K变化的阶跃响应（带扰动）和Bode图 Table 1 Stable boundary when parameters perturbation Fig.8 Step response with disturbance and Bode diagram for K 摄动参数 女 T 最大倍数 1.950 很大 412T变化对系统的影响 0.740 最小倍数 很小 0.405 1.235 如表3和图9可以看出： 1)相对于T'<T,T'>T系统超调更小，调节时 4.1.1K变化对系统的影响 间更短，不会出现振荡： 如表2和图8可以看出： 2)随着T的增大，穿越频率减小，系统响应 1)与K>K相比，K<K时，系统响应慢，调节 变慢； 时间短，无超调； 3)随着T的增大，增益裕度增大，相位裕度略 2)随着K的增大，穿越频率增大，系统响应 有减小，时滞裕度略有增加： 变快； 4)随着T的增大，扰动偏离减小，相对于 3)随着的增大，增益裕度、时滞裕度和相 T'<T,扰动恢复时间偏小。 位裕度都减小： 4)随着K的增大，扰动偏离更大，相对于 所以，相对于T'<T,T值偏大对系统性能更 <K,扰动恢复时间偏长。 有利，即进行Smith设计时，Tm值可以适当偏小。 所以，相对于K>K,K值变小对系统更有利， 表3T变化的性能指标 Table 3 Performance index when Tchanges 即进行Smith设计时，K值可以适当偏大。 表2K变化的性能指标 t' 0.4T 0.71 1.37 1.6T Table 2 Performance index when K changes GM/dB 0.146 3.44 5.8 7.5 8.82 0.4K0.7K 1.3K1.6K PM/() 71.5 63.9 58.5 54.2 50.8 GM/dB 13.8 8.89 5.8 3.52 1.71 PM/() 77.9 68.5 58.5 47.3 33.9 w.(x10 6.4 5.72 5.18 4.75 4.41 w(×10) 1.99 3.53 5.18 7.01 9.22 DM/s 1950 1950 1970 1990 2010 DM/s 6940 3380 1970 1180 641 M./% 0 18.91 0.18 7.81 12.76 M/ 0 0 0.18 26.78 55.68 t/s 00 9314.53753.5 8562.5 10036 小s 169328108.53753.58531.518963 M/% 62 20.6 15.93 13.02 11.04 M/% 6.51 3.32 15.93 20.71 25.91 tals 6809 5138 3804 5524 11768 s 6673 3804 4939 5272
Md td 动偏离量 (定义为 ) 和扰动恢复时间 (定义为 )；下面将从系统参数、控制参数进行比较分析。 4.1 系统参数 Smith 预估器参数为 Km = 0.85,Tm = 1 200,τm = 1 800; b0 = 2×0.85/1 200,wc = 0.002 4,wo = 3×0.002 4 K、T、τ 控制参数为 。利用奈氏曲线 (如图 7) 得到系统稳定 的 摄动边界值[17]如表 1 所示： −1 0 1 2 3 4 5 6 −15 −10 −5 0 5 10 15 实轴 虚轴 图 7 LADRC-Smith 奈氏曲线图 Fig. 7 Nyquist diagram of LADRC-Smith 表 1 被控对象参数摄动的稳定边界值 Table 1 Stable boundary when parameters perturbation 摄动参数 K T τ 最大倍数 1.950 很大 0.740 最小倍数 很小 0.405 1.235 4.1.1 K 变化对系统的影响 如表 2 和图 8 可以看出： K ′ > K K ′ 1) 与 相比， < K 时，系统响应慢，调节 时间短，无超调； K 2) 随着 ′的增大，穿越频率增大，系统响应 变快； K 3) 随着 ′的增大，增益裕度、时滞裕度和相 位裕度都减小； K ′ K ′ < K 4) 随着 的增大，扰动偏离更大，相对于 ，扰动恢复时间偏长。 K ′ > K K K 所以，相对于 ， 值变小对系统更有利， 即进行 Smith 设计时， 值可以适当偏大。 表 2 K 变化的性能指标 Table 2 Performance index when K changes K' 0.4K 0.7K K 1.3K 1.6K GM/dB 13.8 8.89 5.8 3.52 1.71 PM/(°) 77.9 68.5 58.5 47.3 33.9 wc (×10–4) 1.99 3.53 5.18 7.01 9.22 DM/s 6 940 3 380 1 970 1 180 641 Mp /% 0 0 0.18 26.78 55.68 tr /s 16 932 8 108.5 3 753.5 8 531.5 18 963 Md /% 6.51 3.32 15.93 20.71 25.91 td /s 6 809 5 138 3 804 5 524 11 768 −100 −50 0 50 幅值/dB −4 320 −2 880 −1 440 0 相位/(°) 频率/(rad·s−1) 100 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 (b) 阶跃响应(带扰动) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 yp ×104 t/s K 0.4 K 0.7 K 1.3 K 1.6 K (a) Bode 图 K 1.6 K 1.3 K 0.4 K 0.4 K 0.7 K 1.3 K K 1.6 K 0.7 K 图 8 K 变化的阶跃响应 (带扰动) 和 Bode 图 Fig. 8 Step response with disturbance and Bode diagram for K 4.1.2 T 变化对系统的影响 如表 3 和图 9 可以看出： T ′ < T T ′ 1) 相对于 , > T 系统超调更小，调节时 间更短，不会出现振荡； T 2) 随着 ′的增大，穿越频率减小，系统响应 变慢； T 3) 随着 ′的增大，增益裕度增大，相位裕度略 有减小，时滞裕度略有增加； T ′ T ′ < T 4) 随 着 的增大，扰动偏离减小，相对于 ，扰动恢复时间偏小。 T ′ < T T Tm 所以，相对于 ， 值偏大对系统性能更 有利，即进行 Smith 设计时， 值可以适当偏小。 表 3 T 变化的性能指标 Table 3 Performance index when T changes T ′ 0.4T 0.7T T 1.3T 1.6T GM/dB –0.146 3.44 5.8 7.5 8.82 PM/(°) 71.5 63.9 58.5 54.2 50.8 wc (×10–4) 6.4 5.72 5.18 4.75 4.41 DM/s 1 950 1 950 1 970 1 990 2 010 Mp /% 60 18.91 0.18 7.81 12.76 tr /s ∞ 9 314.5 3 753.5 8 562.5 10 036 Md /% 62 20.6 15.93 13.02 11.04 td /s ∞ 6 673 3 804 4 939 5 272 ·504· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷