则幅频特性表达式为 A(o)=l/√(1-7o2)2+(2o)2=o2/√(o2-2)2+(2o,o) 相频特性表达式为 0(o)=-g[2o/1-72o)=g[25oo/(2-o2) 由上两式可见,振荡环节幅相频率特性曲线的准确形状, 与阻尼比ξ的值有关,下面仅讨论0<5<1情况下的曲线 是从(10)点开始.当=1=(0)=0与5取值无关,曲线总 形状.当O=0时4(0) 时 A(1/7)=1/25,(1/7)=-7/2,曲线与负虚轴相交,交点处 的频率=1/T=n,交点离坐标原点的距离即A(1/7)随5 而变化,5越大模越小,反之越大,当→∞时, A(∞)→>0,(∞)>-丌,曲线与负实轴相切于坐标原点.随5 的不同,振荡环节幅相频率特性曲线有一簇
则幅频特性表达式为 相频特性表达式为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 () 1/ (1 ) (2 ) / ( ) (2 ) A = −T + T = n n − + n ( ) 2 /(1 ) 2 /( ) 1 2 2 1 2 2 = − − = − − − − n n tg T T tg 由上两式可见, 振荡环节幅相频率特性曲线的准确形状, 与阻尼比 的值有关, 下面仅讨论 0 1 情况下的曲线 形状. 当 = 0 时 A(0) =1,(0) = 0 与 取值无关, 曲线总 是从(1,j0)点开始. 当 = T = n 1/ 时 A(1/T) =1/ 2,(1/T) = − / 2 ,曲线与负虚轴相交, 交点处 的频率 = T = n 1/ ,交点离坐标原点的距离即 A(1/T) 随 而变化, 越大模越小, 反之越大, 当 → 时, A() →0,() →− ,曲线与负实轴相切于坐标原点. 随 的不同, 振荡环节幅相频率特性曲线有一簇
其概略曲线见下图. ImG(o) →∞,A(∞)→>0,(∞)→>-丌 GOo O=0,4(0)=1,g(0)=0 ReG(jo) 0.707 4 由上图可见,当ξ小于某一个数值时,4()有一个大于 A(0)(在此A(0)=1)的峰值,4()为峰值时的频率叫谐 振频率,用O,表示,并定义M1=A(O,)A(O)为谐振峰 值,下面推导O与和5间的关系,为此对A(O)关于 Q求一次导,并令其导函数为零,有: d4()272o(1-To2)-(22m)2O (1-ro2)2+(2ro)于 B/2
其概略曲线见下图. 由上图可见, 当 G( j) ImG( j) ReG( j) 0 n = 0, A(0) =1,(0) = 0 1 n 2 = 0.707 n 3 n 4 →, A() →0,() → − 1 2 3 4 小于某一个数值时, A() 有一个大于 A(0) (在此 A(0) =1 )的峰值, A() 为峰值时的频率叫谐 振频率, 用 r 表示, 并定义 M A( )/ A(0) r = r 为谐振峰 值, 下面推导 r 与 n 和 间的关系, 为此对 A() 关于 求一次导, 并令其导函数为零, 有: 0 (1 ) (2 ) ( ) 2 (1 ) (2 ) 3/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + − − = T T T T T d d A
令上式分子等于零,得: o(1-7o2)-22]=0,o=o1-252 由上式看出,当5=√2/2≈0.707时o=0,说明AOo) 的峰值出现在O=0处,当>√2/2时,O为虚数说明 O不存在,A()的最大值也出现在O=0处,在上述情 况下,随着O从0→>+∞,4()的数值单调减小但应 指出,虽然当0.707≤5<1时,从极坐标图上反映不出 峰值,但对于阶跃响应,仍是振荡性质的,具有超调量 但这种振荡特性具有良好的阻尼特性 当0<5<070时,O=On√1-252,小于欠阻尼 时的振荡频率O=on√1-52,将O,代入4()得: A(O) 25 1-52 2cosBsin B sin 2B 因为A(0)=1,所以M=A(O,)
令上式分子等于零, 得: 由上式看出, 当 2 2 2 2 (1−T ) − 2 = 0, r = n 1− 2 = 2 / 2 0.707 时 r = 0 , 说明 A() 的峰值出现在 = 0 处,当 2 / 2 时, r 为虚数,说明 r 不存在, A() 的最大值也出现在 = 0 处, 在上述情 况下, 随着 从 0 → +, A() 的数值单调减小. 但应 指出, 虽然当 0.707 1 时, 从极坐标图上反映不出 峰值, 但对于阶跃响应, 仍是振荡性质的, 具有超调量 但这种振荡特性具有良好的阻尼特性. 当 0 0.707 时, 2 r = n 1− 2 , 小于欠阻尼 时的振荡频率 2 d = n 1− , 将 r 代入 A() 得: sin 2 1 2cos sin 1 2 1 1 ( ) 2 = = − A r = 因为A(0) =1, 所以 ( ) M r = A r
将O代入()可得: 2 g +sin 由A(o)及(o,)可见,当5→>0时, Qn→On,4(,)→∞,9(1)>-丌/2 此时振荡环节以无阻尼自然振荡角频率进行等幅振荡. 振荡环节的幅频曲线如下图: A(@) A(o)减小到0.7074(0)时的频率 O称为截止频率,O>Db,A(O) 0.707卜 锐减,将0<<,称为系统的 带宽,对于二阶振荡环节Pb可由 O下式求出 O =0.707A(0) √(1-T2o2)2+(2To) √1-2+√1-2)+
将 r 代入 () 可得: 2 1 2 1 1 sin 2 1 2 ( ) − = − + − = − − − r tg 由 ( ) A r 及 ( ) r 可见, 当 →0 时, r → n , A( r ) → ,( r ) → − / 2 此时振荡环节以无阻尼自然振荡角频率进行等幅振荡. 振荡环节的幅频曲线如下图: ( ) A r A() 1 0.7070 r b A() 减小到 0.707A(0) 时的频率 b 称为截止频率, , A() b 锐减, 将 0 b , 称为系统的 带宽, 对于二阶振荡环节, b 可由 下式求出: 1 2 (1 2 ) 1 2 2 0.707 (0) (1 ) (2 ) 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 = − + − + = = − + = b n b b b A T T A