具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制

工程科学学报，第41卷，第9期：1176-1186,2019年9月 Chinese Journal of Engineering,Vol.41,No.9:1176-1186,September 2019 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2019.09.009;http://journals.ustb.edu.cn 具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟 踪控制 郑文昊，贾英民四 北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京100191 区通信作者，E-mail:ymjiat@buaa.cdu.cm 摘要研究了全状态约束与输入饱和情况下的全向移动机器人轨迹跟踪控制问题.首先，针对一类三轮驱动的全向移动机 器人，考虑系统存在模型参数不确定与外部扰动，建立了运动学与动力学模型：其次，利用障碍Lyapunov函数，结合反步设计 方法，有效处理全向移动机器人跟踪过程中存在的状态约束，保证所有状态变量不会超出状态约束的限制区域：然后，针对系 统参数不确定和未知有界扰动，设计相应的自适应律进行处理：同时，提出一种抗饱和补偿器保证机器人输入力矩满足饱和 约束；并且利用Lyapunov理论分析证明了当选取合适的控制参数时闭环系统中的所有信号均能保证一致有界：最后，通过与 未考虑状态约束和输入饱和的控制器以及经典比例-微分控制器进行仿真对比，验证了该方法的有效性和鲁棒性 关键词全向移动机器人；跟踪控制；自适应控制：状态约束；输入饱和 分类号TP242.6 Adaptive tracking control for omnidirectional mobile robots with full-state constraints and input saturation ZHENG Wen-hao,JIA Ying-min School of Automation Science and Electrical Engineering,Beihang University,Beijing 100191,China Corresponding author,E-mail:ymjia@buaa.edu.cn ABSTRACT The omnidirectional mobile robot (OMR),which is different from the two-wheeled differential drive mobile robots,can achieve three-degree-of-freedom motion in a plane with no non-holonomic constraint.Therefore,this type of robot has been widely used in many fields owing to its superior maneuverability and controllability.In practical applications,the trajectory tracking problem of the OMRs is a key issue that requires an urgent solution.The challenges with respect to the tracking performance can be categorized into the following:first,the parameter uncertainty of the OMR model and external disturbances affect the accuracy of the control.Second, on account of the limited workspace and the security requirements,the positions,attitudes,and speeds of the OMRs are subject to state constraints during the tracking process.Finally,the limited capability of the actuators can lead to input saturation,which will further degrade the tracking performance or even result in failure to track the desired trajectory.Thus,this study investigates the trajectory- tracking control problem of the OMRs with full-state constraints and input saturation.The kinematics and dynamics for a class of three- wheeled omnidirectional mobile robots were presented with the model uncertainties and external disturbance.Moreover,the barrier Lya- punov method was applied to handle the state constraints using the backstepping technique so that none of the state variables violated the restrictions.Meanwhile,adaptive control laws were designed to deal with the parameter uncertainties and unknown bounded dis- turbance.Moreover,an anti-windup compensator was adopted to ensure the input torque of the robot met the input constraints.The 收稿日期：2019-01-11 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61327807,61521091,61520106010,61134005)：国家重点基础研究发展规划资助项目 (2012CB821200,2012CB821201)

工程科学学报,第 41 卷,第 9 期:1176鄄鄄1186,2019 年 9 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 41, No. 9: 1176鄄鄄1186, September 2019 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2019. 09. 009; http: / / journals. ustb. edu. cn 具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟 踪控制 郑文昊, 贾英民苣 北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院, 北京 100191 苣通信作者, E鄄mail: ymjia@ buaa. edu. cn 摘 要 研究了全状态约束与输入饱和情况下的全向移动机器人轨迹跟踪控制问题. 首先,针对一类三轮驱动的全向移动机 器人,考虑系统存在模型参数不确定与外部扰动,建立了运动学与动力学模型;其次,利用障碍 Lyapunov 函数,结合反步设计 方法,有效处理全向移动机器人跟踪过程中存在的状态约束,保证所有状态变量不会超出状态约束的限制区域;然后,针对系 统参数不确定和未知有界扰动,设计相应的自适应律进行处理;同时,提出一种抗饱和补偿器保证机器人输入力矩满足饱和 约束;并且利用 Lyapunov 理论分析证明了当选取合适的控制参数时闭环系统中的所有信号均能保证一致有界;最后,通过与 未考虑状态约束和输入饱和的控制器以及经典比例鄄鄄微分控制器进行仿真对比,验证了该方法的有效性和鲁棒性. 关键词 全向移动机器人; 跟踪控制; 自适应控制; 状态约束; 输入饱和 分类号 TP242郾 6 收稿日期: 2019鄄鄄01鄄鄄11 基金项目: 国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 ( 61327807, 61521091, 61520106010, 61134005 ); 国 家 重 点 基 础 研 究 发 展 规 划 资 助 项 目 (2012CB821200, 2012CB821201) Adaptive tracking control for omnidirectional mobile robots with full鄄state constraints and input saturation ZHENG Wen鄄hao, JIA Ying鄄min 苣 School of Automation Science and Electrical Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China 苣Corresponding author, E鄄mail: ymjia@ buaa. edu. cn ABSTRACT The omnidirectional mobile robot (OMR), which is different from the two鄄wheeled differential drive mobile robots, can achieve three鄄degree鄄of鄄freedom motion in a plane with no non鄄holonomic constraint. Therefore, this type of robot has been widely used in many fields owing to its superior maneuverability and controllability. In practical applications, the trajectory tracking problem of the OMRs is a key issue that requires an urgent solution. The challenges with respect to the tracking performance can be categorized into the following: first, the parameter uncertainty of the OMR model and external disturbances affect the accuracy of the control. Second, on account of the limited workspace and the security requirements, the positions, attitudes, and speeds of the OMRs are subject to state constraints during the tracking process. Finally, the limited capability of the actuators can lead to input saturation, which will further degrade the tracking performance or even result in failure to track the desired trajectory. Thus, this study investigates the trajectory鄄 tracking control problem of the OMRs with full鄄state constraints and input saturation. The kinematics and dynamics for a class of three鄄 wheeled omnidirectional mobile robots were presented with the model uncertainties and external disturbance. Moreover, the barrier Lya鄄 punov method was applied to handle the state constraints using the backstepping technique so that none of the state variables violated the restrictions. Meanwhile, adaptive control laws were designed to deal with the parameter uncertainties and unknown bounded dis鄄 turbance. Moreover, an anti鄄windup compensator was adopted to ensure the input torque of the robot met the input constraints. The

郑文吴等：具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 ·1177· Lyapunov theory was used to prove that all the signals in the closed-loop system were uniformly bounded when the control parameters were selected suitably.Finally,using numerical simulations,the proposed robust adaptive controller was compared with other control- lers,and the results verify the effectiveness and robustness of the proposed method. KEY WORDS omnidirectional mobile robot;tracking control;adaptive control;state constraints;input saturation 全向移动机器人是不同于传统两轮差分机器人 期望的跟踪性能，甚至导致机器人碰撞损毁或人员 的一类特殊机器人，其在平面能够实现三自由度无 受伤，因此在实际应用中，必须研究具有状态约束和 约束运动，不存在非完整约束，因而具有更强的机动 输人饱和的全向移动机器人轨迹跟踪控制方法 性和更好的可控性.近年来，随着移动机器人技术 目前针对状态受限系统，障碍Lyapunov函数是 的飞速发展，全向移动机器人获得了广泛关注，已经 一种有效处理状态约束与输出约束的工具4)]：针对 被应用于工业生产、物流运输、军事侦察、环境探测 一类具有全状态约束的单输入单输出非线性系统， 等各个方面.针对全向移动机器人的运动学与动 Liu等[s]提出了基于反步法与障碍Lyapunov函数 力学建模问题，已进行了广泛研究2-)；文献[5]考 法的自适应控制方法：进一步，在文献[16]中，Lu 虑了一类四轮全向移动机器人运动学与动力学模 等将结果扩展到一类非线性纯反馈系统；Bai[)]针 型，提出了轨迹生成方法和控制器设计思路：Lu 对一类直流电机驱动系统，基于神经网络技术，提出 等[6)建立了三轮驱动的机器人动力学模型，并基于 了满足全状态约束的自适应控制器：文献[18]基于 轨迹线性化方法设计了控制器：Indiveri]研究了运 径向基神经网络设计了自适应控制器，实现了多输 动学模型及其控制方法：此外，一种基于动力学模型 入多输出非线性系统的时变状态约束；Dig等[u)通 的P-模糊控制器在文献「8]中被提出：然而上述文 过神经网络逼近未知的轮式机器人模型，提出了一 献并未考虑在实际系统中广泛存在的参数不确定和 种全状态受限的自适应神经网络控制器，能够实现 外部干扰问题，这会使得控制器在实际应用中无法 两轮差分移动机器人对参考轨迹的有效跟踪；Wang 实现期望的控制性能. 与Wu20]基于反步法提出了一种有限时间跟踪控制 全向移动机器人的轨迹跟踪是机器人在实际应 器，保证了一类严格反馈非线性系统的全状态约束， 用中需要解决的基本问题，目前多种控制策略如自 并且实现了闭环系统中所有信号的有限时间一致有 适应技术、滑模控制、智能控制、模型预测控制以及 界.在真实系统中，电机等执行器的物理性能有限， 多种方法的综合形式已经被广泛研究.例如，Huang 机器人的输入力矩受限，需要在设计控制器考虑输 与Tsai9]提出了一种具有参数变化和摩擦滑移不确 入饱和.Chen等[2]面向非完整约束机器人运动学 定性的全向轮式移动机器人轨迹跟踪与稳定的自适 特性，提出了速度菱形输入饱和限制，通过向量分解 应反步控制方法：王明明等o基于运动学模型提出 和时变反馈参数设计，实现了输入饱和情况下的机 了全向移动机器人的自适应滑模跟踪控制方法，具 器人轨迹跟踪，相比传统矩形输入限制，提高了跟踪 有较好的跟踪性能；Alakshendra与Chiddarwar利 速度和性能：文献[22]提出了基于模型预测的输入 用二阶滑模与自适应技术的结合，提出了一种新的 约束跟踪控制器：Chen等[)]通过设计辅助系统分 自适应鲁棒二阶滑模控制方法，首次将高阶滑模控 析输入约束影响，基于命令滤波器提出了针对多输 制方法应用到轮式移动机器人的轨迹跟踪控制中， 入多输出系统的抗饱和自适应控制方法；Wen等2] 并能有效处理摩擦、外力扰动和参数不确定：X如 通过引入Nussbaum函数补偿输入饱和产生的非线 等[]采用神经网络逼近机器人的未知参数模型，提 性项，提出了两种鲁棒自适应控制算法.综上所述， 出了一种自适应神经网络滑模控制器：康升征与吴 到目前为止，尚未有全向移动机器人在状态约束和 洪涛[]提出了一种基于全向移动机器人动力学模 输入饱和下轨迹跟踪控制的相关研究报道.本文综 型的自适应模糊滑模控制器，通过设计模糊自适应 合考虑了在实际应用中全向移动机器人存在的状态 律调整增益参数，有效缓解了控制输入抖振现象. 约束与输入饱和问题，一方面，针对全向移动机器人 但是，状态约束和输入饱和问题在上述文献中均未 在轨迹跟踪过程中的安全性和运动空间要求，通过 得到研究.在实际系统中，由于机器人运动空间限 将状态约束条件引入到控制器设计过程中，保证了 制、安全速度限制、电机执行器输入受限等问题，机 机器人的位置、姿态、速度等运动状态始终位于规定 器人的状态约束与输入饱和是广泛存在的现象，忽 约束边界内，进而使得机器人能够高效安全作业：另 略此类限制约束，会导致所设计的控制器无法完成 一方面，通过设计抗饱和补偿器在满足状态约束情

郑文昊等: 具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 Lyapunov theory was used to prove that all the signals in the closed鄄loop system were uniformly bounded when the control parameters were selected suitably. Finally, using numerical simulations, the proposed robust adaptive controller was compared with other control鄄 lers, and the results verify the effectiveness and robustness of the proposed method. KEY WORDS omnidirectional mobile robot; tracking control; adaptive control; state constraints; input saturation 全向移动机器人是不同于传统两轮差分机器人 的一类特殊机器人,其在平面能够实现三自由度无 约束运动,不存在非完整约束,因而具有更强的机动 性和更好的可控性. 近年来,随着移动机器人技术 的飞速发展,全向移动机器人获得了广泛关注,已经 被应用于工业生产、物流运输、军事侦察、环境探测 等各个方面[1] . 针对全向移动机器人的运动学与动 力学建模问题,已进行了广泛研究[2鄄鄄8] ;文献[5]考 虑了一类四轮全向移动机器人运动学与动力学模 型,提出了轨迹生成方法和控制器设计思路;Liu 等[6]建立了三轮驱动的机器人动力学模型,并基于 轨迹线性化方法设计了控制器;Indiveri [7] 研究了运 动学模型及其控制方法;此外,一种基于动力学模型 的 PI鄄鄄模糊控制器在文献[8]中被提出;然而上述文 献并未考虑在实际系统中广泛存在的参数不确定和 外部干扰问题,这会使得控制器在实际应用中无法 实现期望的控制性能. 全向移动机器人的轨迹跟踪是机器人在实际应 用中需要解决的基本问题,目前多种控制策略如自 适应技术、滑模控制、智能控制、模型预测控制以及 多种方法的综合形式已经被广泛研究. 例如,Huang 与 Tsai [9]提出了一种具有参数变化和摩擦滑移不确 定性的全向轮式移动机器人轨迹跟踪与稳定的自适 应反步控制方法;王明明等[10]基于运动学模型提出 了全向移动机器人的自适应滑模跟踪控制方法,具 有较好的跟踪性能;Alakshendra 与 Chiddarwar [11] 利 用二阶滑模与自适应技术的结合,提出了一种新的 自适应鲁棒二阶滑模控制方法,首次将高阶滑模控 制方法应用到轮式移动机器人的轨迹跟踪控制中, 并能有效处理摩擦、外力扰动和参数不确定;Xu 等[12]采用神经网络逼近机器人的未知参数模型,提 出了一种自适应神经网络滑模控制器;康升征与吴 洪涛[13]提出了一种基于全向移动机器人动力学模 型的自适应模糊滑模控制器,通过设计模糊自适应 律调整增益参数,有效缓解了控制输入抖振现象. 但是,状态约束和输入饱和问题在上述文献中均未 得到研究. 在实际系统中,由于机器人运动空间限 制、安全速度限制、电机执行器输入受限等问题,机 器人的状态约束与输入饱和是广泛存在的现象,忽 略此类限制约束,会导致所设计的控制器无法完成 期望的跟踪性能,甚至导致机器人碰撞损毁或人员 受伤,因此在实际应用中,必须研究具有状态约束和 输入饱和的全向移动机器人轨迹跟踪控制方法. 目前针对状态受限系统,障碍 Lyapunov 函数是 一种有效处理状态约束与输出约束的工具[14] ;针对 一类具有全状态约束的单输入单输出非线性系统, Liu 等[15]提出了基于反步法与障碍 Lyapunov 函数 法的自适应控制方法;进一步,在文献[16] 中,Liu 等将结果扩展到一类非线性纯反馈系统;Bai [17] 针 对一类直流电机驱动系统,基于神经网络技术,提出 了满足全状态约束的自适应控制器;文献[18]基于 径向基神经网络设计了自适应控制器,实现了多输 入多输出非线性系统的时变状态约束;Ding 等[19]通 过神经网络逼近未知的轮式机器人模型,提出了一 种全状态受限的自适应神经网络控制器,能够实现 两轮差分移动机器人对参考轨迹的有效跟踪;Wang 与 Wu [20]基于反步法提出了一种有限时间跟踪控制 器,保证了一类严格反馈非线性系统的全状态约束, 并且实现了闭环系统中所有信号的有限时间一致有 界. 在真实系统中,电机等执行器的物理性能有限, 机器人的输入力矩受限,需要在设计控制器考虑输 入饱和. Chen 等[21] 面向非完整约束机器人运动学 特性,提出了速度菱形输入饱和限制,通过向量分解 和时变反馈参数设计,实现了输入饱和情况下的机 器人轨迹跟踪,相比传统矩形输入限制,提高了跟踪 速度和性能;文献[22]提出了基于模型预测的输入 约束跟踪控制器;Chen 等[23] 通过设计辅助系统分 析输入约束影响,基于命令滤波器提出了针对多输 入多输出系统的抗饱和自适应控制方法;Wen 等[24] 通过引入 Nussbaum 函数补偿输入饱和产生的非线 性项,提出了两种鲁棒自适应控制算法. 综上所述, 到目前为止,尚未有全向移动机器人在状态约束和 输入饱和下轨迹跟踪控制的相关研究报道. 本文综 合考虑了在实际应用中全向移动机器人存在的状态 约束与输入饱和问题,一方面,针对全向移动机器人 在轨迹跟踪过程中的安全性和运动空间要求,通过 将状态约束条件引入到控制器设计过程中,保证了 机器人的位置、姿态、速度等运动状态始终位于规定 约束边界内,进而使得机器人能够高效安全作业;另 一方面,通过设计抗饱和补偿器在满足状态约束情 ·1177·

·1178 工程科学学报，第41卷，第9期 况下进一步保证了执行器力矩始终满足输入饱和限 证明了所提出的自适应抗饱和跟踪控制器能够保证 制，避免了因执行器饱和导致的轨迹跟踪性能退化 闭环系统中所有信号有界，最后，通过仿真计算与其 甚至于无法跟踪期望轨迹.同时，本文为全向移动 他控制器比较，验证了所提出算法的鲁棒性和可 机器人高性能轨迹跟踪的实际应用提供了理论 靠性 基础. 1全向移动机器人模型 根据以上文献介绍，本文在基于文献[17-19] 基础上，推导了三轮全向移动机器人的运动学与动 如图1(a)所示，本文主要针对一类三轮驱动的 力学模型，并考虑其存在参数不确定和外部扰动情 全向移动机器人进行研究.不同于传统两轮差分机 况，利用障碍Lyapunov函数与反步法，保证在跟踪 器人存在非完整约束的情况，此类移动机器人通过 期望轨迹过程中，机器人运动状态始终不会违反系 三组全向轮，可以实现平面三自由度的无约束运动， 统状态约束，同时，设计了饱和补偿器，通过辅助系 能够进行横向、纵向及旋转运动，具有更好的机动性 统补偿输人饱和产生的影响，并利用Lyapunov理论 与可控性 (a) 0 图1三轮全向移动机器人与受力分析.(a)机器人示意图：(b)受力分析 Fig.I Three-wheeled omnidirectional mobile robot and force analysis:(a)schematic of the robot;(b)force analysis 1.1运动学模型 电机的输人力矩ī，(i=1,2,3)与驱动力之间的关系 全向移动机器人的运动学模型如下式所示： 可由直流电机方程导出，如式(3)所示： cos 0 sin 0 L.ù：+cw:=nT:-f (3) sin A cos (1) 式中，L.是轮子的转动惯量，c是粘滞摩擦系数，n表 0 0 示电机减速器的减速倍数.假设所有驱动电机和全 向轮具有相同的物理特性 式中，元，少，0是x,y,9的微分，且x,y,0分别表示图 类似文献[2]的推导过程，机器人的受力分析 1(b)所示的世界坐标系XyOwY下机器人质心Os 如下式所示： 的横纵坐标以及与机器人坐标系X.O.Y.所成的夹 角，心，，ω表示机器人的纵向速度、横向速度和旋 m(,-,)=-2f-2+5 转角速度.进一步，机器人本体运动速度与三轮转 (4) 速的变换关系可由下式给出. 1 2 2 Ig=L(f+) 1 5 式中，m和1。分别表示机器人本体的质量和转动惯量 2 0 (2) 综合式(1)~(4)，可得动力学模型如下所示： 1 avs a2w", L L -a,@v 式中，ω，(i=1,2,3)表示轮子i的转动角速度，r是 0 轮子半径，L是机器人质心到轮子中心的垂线距离. -b1 2b1 1.2动力学模型 对全向移动机器人受力分析如图1(b)所示，f 3b. -5b, 0 T+d (5) (i=1,2,3)表示第i个驱动轮产生的驱动力，驱动 b2 b

工程科学学报,第 41 卷,第 9 期 况下进一步保证了执行器力矩始终满足输入饱和限 制,避免了因执行器饱和导致的轨迹跟踪性能退化 甚至于无法跟踪期望轨迹. 同时,本文为全向移动 机器人高性能轨迹跟踪的实际应用提供了理论 基础. 根据以上文献介绍,本文在基于文献[17鄄鄄 19] 基础上,推导了三轮全向移动机器人的运动学与动 力学模型,并考虑其存在参数不确定和外部扰动情 况,利用障碍 Lyapunov 函数与反步法,保证在跟踪 期望轨迹过程中,机器人运动状态始终不会违反系 统状态约束,同时,设计了饱和补偿器,通过辅助系 统补偿输入饱和产生的影响,并利用 Lyapunov 理论 证明了所提出的自适应抗饱和跟踪控制器能够保证 闭环系统中所有信号有界,最后,通过仿真计算与其 他控制器比较,验证了所提出算法的鲁棒性和可 靠性. 1 全向移动机器人模型 如图 1(a)所示,本文主要针对一类三轮驱动的 全向移动机器人进行研究. 不同于传统两轮差分机 器人存在非完整约束的情况,此类移动机器人通过 三组全向轮,可以实现平面三自由度的无约束运动, 能够进行横向、纵向及旋转运动,具有更好的机动性 与可控性. 图 1 三轮全向移动机器人与受力分析. (a)机器人示意图;(b)受力分析 Fig. 1 Three鄄wheeled omnidirectional mobile robot and force analysis: (a) schematic of the robot; (b) force analysis 1郾 1 运动学模型 全向移动机器人的运动学模型如下式所示: x · y · 兹 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ · ÷ = cos 兹 - sin 兹 0 sin 兹 cos 兹 0 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 0 0 1 vx vy æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 棕 (1) 式中,x · ,y · ,兹 · 是 x,y,兹 的微分,且 x,y,兹 分别表示图 1(b)所示的世界坐标系 XW OW YW 下机器人质心 OR 的横纵坐标以及与机器人坐标系 XRORYR 所成的夹 角,vx,vy,棕 表示机器人的纵向速度、横向速度和旋 转角速度. 进一步,机器人本体运动速度与三轮转 速的变换关系可由下式给出. vx vy æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 棕 = r - 1 2 - 1 2 1 3 2 - 3 2 0 1 L 1 L 1 æ è ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ L 棕1 棕2 棕 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 3 (2) 式中,棕i(i = 1,2,3)表示轮子 i 的转动角速度,r 是 轮子半径,L 是机器人质心到轮子中心的垂线距离. 1郾 2 动力学模型 对全向移动机器人受力分析如图 1( b)所示,f i (i = 1,2,3)表示第 i 个驱动轮产生的驱动力,驱动 电机的输入力矩 子i(i = 1,2,3)与驱动力之间的关系 可由直流电机方程导出,如式(3)所示: Iw棕 · i + c棕i = n子i - rf i (3) 式中,Iw 是轮子的转动惯量,c 是粘滞摩擦系数,n 表 示电机减速器的减速倍数. 假设所有驱动电机和全 向轮具有相同的物理特性. 类似文献[2] 的推导过程,机器人的受力分析 如下式所示: m( v · x - vy 兹 · ) = - 1 2 f 1 - 1 2 f 2 + f 3 m( v · y + vx 兹 · ) = 3 2 f 1 - 3 2 f 2 IR 兹 ·· = L(f 1 + f 2 + f 3 ì î í ï ï ï ï ï ï ) (4) 式中,m 和 IR 分别表示机器人本体的质量和转动惯量. 综合式(1) ~ (4),可得动力学模型如下所示: v · x v · y 棕 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ · = - a1 vx a1 vy a3 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 棕 + a2棕vy - a2棕vx æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 0 + - b1 - b1 2b1 3b1 - 3b1 0 b2 b2 b æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 2 子 + d * (5) ·1178·

郑文吴等：具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 ·1179 式中，d°=(d,d,d)T是机器人受到的未知有 2,3),其中6,6，是正常数：且参考模型的状态约束 界扰动，：=（红1,72,73）”是机器人输人力矩向量. 界应小于跟踪机器人的状态约束界，即满足δ：< 令q1=(x,y,0)T和q2=(u,巴，ω)，则全向移 B1:,82<B2:(i=1,2,3)条件. 动机器人模型(1)和(5)可写成： 假设2：全向移动机器人模型(6)存在物理参数 (91=J(8)q2 未知情况，参数a1,a2,a3,b1,b2未知但有界. (6) (92=Aq2+a2S(q2)+Br+d 假设3：在实际系统中，机器人的运动速度)， 模型中各参数表示如下所示： 巴，ω存在未知上界满足条件：18.I<P1,IU,I<P2, Iωl<P,其中p1P2P3是未知有界正常数.系统受 A=diag{-a1,-a1,-a3}, 到的未知有界扰动满足‖d°‖<d,其中d是未知 a1=3c/(31.+2mm2), 正常数 a2=2mr2/(31.+2mr2), 值得注意的是，在假设3中对运动速度的未知 a3=3cl/(31.L2+12), 有界假设，是表示机器人的运动速度不可能无限大， b1=r/(3L.+2mr2), 必然存在某个未知上界，而状态受限约束(8)中是 b2=hrL/(31L2+Ig2), 由于运动空间约束及安全性等原因而人为规定的约 cos 0 -sin 00 束界.实际上，运动速度的未知上界P:必然大于状 J(8)= sin 0 cos 00 态约束界B2 0 0 本文的控制目标是：在假设1~3下，考虑存在 (-b -b1 2b, OV, 参数不确定和未知有界扰动情况，通过设计控制器 B=5b-5b, 0 ,S(q2)= 使得机器人系统(6)能够实现对参考轨迹的跟踪， b2 b2 0 并满足输入饱和(7)和状态约束(8)，且所有闭环系 统的信号均能保证有界 式中，a1,a2,a3,b1,b2是正常数；需要注意的是，由 于机器人系统的物理参数如转动惯量、黏滞摩擦系 2控制器设计 数等测量具有误差，因此系统具有模型不确定性 为了设计满足状态约束和输入饱和的自适应跟 1.3控制目标 踪控制器，先提出以下引理 在实际机器人系统中存在输入饱和现象，即机 引理1：对于任意正常数ε>0和x∈R,不等式 器人的输入力矩必须在有界范围内，可由如下公式 0≤lxl-xtanh(ex)≤l/e恒成立，其中l是常数，且 表示： 满足等式l=e-(1+),l≈0.2785. T0>Timax 引理2]：对于任意正常数k∈R+,当Ix|<k T:=Ta -Tmin≤T0≤Tmxi=1,2,3(7) 、-Timin Ti0<-Timin 时不等式山终收立 式中，Tms,一Tn分别表示饱和约束的上界和下界， 引理3[]：如果一个连续正定的Lyapunov函数 To(i=1,2,3)是需要设计的控制输入，记T:=sat V(x)满足K(Ix‖)≤V(x)≤K2(IxⅡ)，其中K1, (T0). K2是K类函数，且V(x)满足V(x)≤-aV(x)+b, 此外，在实际机器人运动过程中，由于空间限制 其中a,b是正常数，则对于任意有界初始状态 或安全性考虑，机器人的运动范围和运动速度往往 x(t),解x(t)必将一致有界 需要受到约束，即机器人存在状态受限情况，需要 考虑全向移动机器人系统模型(5)，其给定参 满足： 考轨迹为q.=(x水，0)I,定义变量如下所示： I911<Bi,192:I<B2i(i=1,2,3) (8) 31=91-91.=(1,12,21g)T 式中，B:,B2是正常数，表示状态的约束界限 (9) z2=92-=(,n,3)r 为方便跟踪控制器设计，以下提出三条合理的 其中a=(a1,4,a)「是虚拟变量，其数学表达式 假设 随后给出. 假设1：对于给定的参考轨迹q.=(x,y.,0.)T 利用反步法，首先取障碍Lyapunov函数如下： 及其相应参考速度q.=(u,心.，ω，)T,需要满足相 3 应的状态约束关系，即1q1m|<6:,|q2m|<δ2：(i=1, (10)

郑文昊等: 具有状态约束与输入饱和的全向移动机器人自适应跟踪控制 式中,d * = (d * 1 ,d * 2 ,d * 3 ) T 是机器人受到的未知有 界扰动,子 = (子1 ,子2 ,子3 ) T 是机器人输入力矩向量. 令 q1 = (x,y,兹) T 和 q2 = (vx,vy,棕) T ,则全向移 动机器人模型(1)和(5)可写成: q · 1 = J(兹)q2 q · 2 = Aq2 + a2S(q2 ) + B子 + d { * (6) 模型中各参数表示如下所示: A = diag{ - a1 , - a1 , - a3 }, a1 = 3c/ (3Iw + 2mr 2 ), a2 = 2mr 2 / (3Iw + 2mr 2 ), a3 = 3cL 2 / (3Iw L 2 + IR r 2 ), b1 = nr/ (3Iw + 2mr 2 ), b2 = krL / (3Iw L 2 + IR r 2 ), J(兹) = cos 兹 - sin 兹 0 sin 兹 cos 兹 0 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 0 0 1 , B = - b1 - b1 2b2 3b1 - 3b1 0 b2 b2 b æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 2 ,S(q2 ) = 棕vy - 棕vx æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ 0 式中,a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 是正常数;需要注意的是,由 于机器人系统的物理参数如转动惯量、黏滞摩擦系 数等测量具有误差,因此系统具有模型不确定性. 1郾 3 控制目标 在实际机器人系统中存在输入饱和现象,即机 器人的输入力矩必须在有界范围内,可由如下公式 表示: 子i = 子imax 子i0 > 子imax 子i0 - 子imin臆子i0臆子imax - 子imin 子i0 < - 子i ì î í ï ï ï ï min i = 1,2,3 (7) 式中,子imax, - 子imin分别表示饱和约束的上界和下界, 子i0 (i = 1,2,3) 是需要设计的控制输入,记 子i = sat (子i0 ). 此外,在实际机器人运动过程中,由于空间限制 或安全性考虑,机器人的运动范围和运动速度往往 需要受到约束,即机器人存在状态受限情况,需要 满足: | q1i | < 茁1i, | q2i | < 茁2i (i = 1,2,3) (8) 式中,茁1i,茁2i是正常数,表示状态的约束界限. 为方便跟踪控制器设计,以下提出三条合理的 假设. 假设 1:对于给定的参考轨迹 q1r = (xr,yr,兹r) T 及其相应参考速度 q2r = (vxr,vyr,棕r) T ,需要满足相 应的状态约束关系,即 | q1ri | < 啄1i, | q2ri | < 啄2i ( i = 1, 2,3),其中 啄1i,啄2i是正常数;且参考模型的状态约束 界应小于跟踪机器人的状态约束界,即满足 啄1i < 茁1i,啄2i < 茁2i(i = 1,2,3)条件. 假设 2:全向移动机器人模型(6)存在物理参数 未知情况,参数 a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 未知但有界. 假设 3:在实际系统中,机器人的运动速度 vx, vy,棕 存在未知上界满足条件: | vx | < p1 , | vy | < p2 , | 棕| < p3 ,其中 p1 ,p2 ,p3 是未知有界正常数. 系统受 到的未知有界扰动满足椰d * 椰 < d,其中 d 是未知 正常数. 值得注意的是,在假设 3 中对运动速度的未知 有界假设,是表示机器人的运动速度不可能无限大, 必然存在某个未知上界,而状态受限约束(8) 中是 由于运动空间约束及安全性等原因而人为规定的约 束界. 实际上,运动速度的未知上界 pi 必然大于状 态约束界 茁2i . 本文的控制目标是:在假设 1 ~ 3 下,考虑存在 参数不确定和未知有界扰动情况,通过设计控制器 使得机器人系统(6)能够实现对参考轨迹的跟踪, 并满足输入饱和(7)和状态约束(8),且所有闭环系 统的信号均能保证有界. 2 控制器设计 为了设计满足状态约束和输入饱和的自适应跟 踪控制器,先提出以下引理. 引理 1:对于任意正常数 着 > 0 和 x沂R,不等式 0臆| x | - xtanh (着x)臆l / 着 恒成立,其中 l 是常数,且 满足等式 l = e - (l + 1) ,l抑0郾 2785. 引理 2 [17] :对于任意正常数 k沂R + ,当 | x | < k 时,不等式 ln k 2 k 2 - x 2臆 x 2 k 2 - x 2始终成立. 引理 3 [25] :如果一个连续正定的 Lyapunov 函数 V(x)满足 资1 (椰x椰)臆V(x)臆资2 (椰x椰),其中 资1 , 资2 是 资 类函数,且 V( x)满足 V · ( x)臆 - aV( x) + b, 其中 a, b 是正常数, 则对于任意有界初始 状 态 x(t 0 ),解 x(t)必将一致有界. 考虑全向移动机器人系统模型(5),其给定参 考轨迹为 q1r = (xr,yr,兹r) T ,定义变量如下所示: z1 = q1 - q1r = (z11 ,z12 ,z13 ) T z2 = q2 - 琢 = (z21 ,z22 ,z23 ) { T (9) 其中 琢 = (琢1 ,琢2 ,琢3 ) T 是虚拟变量,其数学表达式 随后给出. 利用反步法,首先取障碍 Lyapunov 函数如下: V1 = 1 2 移 3 i = 1 ln k 2 ai k 2 ai - z 2 1i (10) ·1179·

·1180· 工程科学学报，第41卷，第9期 其中K。=diag{k,k2,ka},k(i=1,2,3)是正常 数，其取值可由k=B:-δ：(i=1,2,3)确定. ∑(B本 }Bw△r (16) 保-场 台保-场： 对V,求导可得： 为了解决控制器输入饱和问题，设计辅助系统 21:21i (抗饱和补偿器)如下： (11) kai (17) 其中1=91-9.=J(8)42-91.=J(8)(32+)- :=-(k+-品 9.,设计虚拟变量a如下所示： 式中，k,和k是正常数，△T:=T:-Ta表示第i个执 a=J'(0)(91.-K31） (12) 行器饱和的控制输入与无饱和约束的控制输入之 其中K1=diag{k1,k2,k13},k:(i=1,2,3)是正 差，且辅助变量专=(5,2,5)的初始值定义为 常数. (0)=(0,0,0) 进一步，式(11)代入元，和x表达式可得公式 取Lyapunov函数如下： (13): ++立立+5(18) 经·含9 3 J(0)z2 V=V:+2 12y: =- (13) 式中，ya,Y(i=1,2,3,4)均为正常数. 式中，J,(0)是矩阵J(0)的第i个行向量. 结合式(13)，(16)和(17)，对式(18)求导 然后，取Lyapunov函数如下所示： 可得： V,=V+2 ≤- 燕·三 3 子J()z+ (14) 其中k(i=1,2,3)是正常数；对式(14)求导可得： Iz21(1v,10,+lav,102)1zz1(1v,10,lov,102) 品-场 品-2 2=+ 22x 启品-品 (15) 1z23110103 +1(8,+d) 根据机器人动力学模型结合式(9)可得2=Aq2+ 品- i=i 品-安 a2S(92)+Br+d°- 含ag 为处理机器人动力学模型中参数不确定和未知 品-五 扰动问题，定义未知正常数01=a1,02=a2,93=a3; 输入矩阵B中同样存在不确定参数，且由标称矩阵 名·名ai+含 i=1 Ya (19) B。与误差矩阵△B构成，满足B=B。+△B;由于机 器人存在输入饱和，故‖r‖≤37,7=max{Tms, 定义tanh(sz2）=(tanh(ez21),tanh（ez2）, Tm(i=1,2,3)}:假设川△B‖存在未知上界，则‖ tanh(czz)T,设计控制器如下： △Br‖存在未知上界04.定义0，02,0,6，分别是正 T=-B。[h1+h2+K2(z2-5)+ (8,+d)tanh(ez2）-d] (20) 常数0,62,0,0，的估计值，则估计误差定义为：8= 其中K,=diag{k,k2,k3},且k为正常数：令h,= 0-0,扰动上界的估计值定义为d,估计误差定义 (h,h2,h)T其中： 为a=d-d.此外，定义△r=T-To,T= (h=(0lv,1 +02lov,1)tanh (sza) (T1o,T0,T0)「是未饱和限制的理想输入.通过以 h2=(01v,1 +021ov,1)tanh (sz2)(21) 上分析可得：元2=Aq2+a2S(q2)+BT+B△r+ h13=03 Ioltanh (8223) △Bx+d°-d,代入式(15)可得： 令h2=(h21,h2,h2s)T其中： =成+言后产Aa:+as,+ h2=(品-) 31C0s6,212sin8 品-品品-品 BTo+B△r+△B,r+d,-d]≤V+ zusin 6 2cos 0 lll,18+lo,182+l之zl(l,18+lom,I8,）+ =(品-品)（后-乐格-品 (22) 品- 品-品 o9+8++ ,=（层-品) - 品- =1 品-五： 将式(20)~(22)代入公式(19)可得：

工程科学学报,第 41 卷,第 9 期 其中 Ka = diag{ ka1 ,ka2 ,ka3 },kai ( i = 1,2,3) 是正常 数,其取值可由 kai = 茁1i - 啄1i(i = 1,2,3)确定. 对 V1 求导可得: V · 1 = 移 3 i = 1 z1i z · 1i k 2 ai - z 2 1i (11) 其中 z · 1 = q · 1 - q · 1r = J(兹) q2 - q · 1r = J(兹) (z2 + 琢) - q · 1r,设计虚拟变量 琢 如下所示: 琢 = J T (兹)( q · 1r - K1 z1 ) (12) 其中 K1 = diag { k11 ,k12 , k13 }, k1i ( i = 1,2,3) 是正 常数. 进一步,式(11) 代入 z · 1 和 琢 表达式可得公式 (13): V · 1 = - 移 3 i = 1 k1i z 2 1i k 2 ai - z 2 1i + 移 3 i = 1 z1iJi(兹)z2 k 2 ai - z 2 1i (13) 式中,Ji(兹)是矩阵 J(兹)的第 i 个行向量. 然后,取 Lyapunov 函数如下所示: V2 = V1 + 1 2 移 3 i = 1 ln k 2 ai k 2 bi - z 2 2i (14) 其中 kbi(i = 1,2,3)是正常数;对式(14)求导可得: V · 2 = V · 1 + 移 3 i = 1 z2i z · 2i k 2 bi - z 2 2i (15) 根据机器人动力学模型结合式(9)可得 z · 2 = Aq2 + a2S(q2 ) + B子 + d * - 琢 · . 为处理机器人动力学模型中参数不确定和未知 扰动问题,定义未知正常数 兹1 = a1 ,兹2 = a2 ,兹3 = a3 ; 输入矩阵 B 中同样存在不确定参数,且由标称矩阵 B0 与误差矩阵 驻B 构成,满足 B = B0 + 驻B;由于机 器人存在输入饱和,故椰子椰臆 3 子,子 = max { 子imax, 子imin (i = 1,2,3)};假设椰驻B椰存在未知上界,则椰 驻B子椰存在未知上界 兹4 . 定义 ^ 兹1 , ^ 兹2 , ^ 兹3 , ^ 兹4 分别是正 常数 兹1 ,兹2 ,兹3 ,兹4 的估计值,则估计误差定义为:兹寛i = ^ 兹i - 兹i,扰动上界的估计值定义为 ^ d,估计误差定义 为 d寛 = ^ d - d. 此 外, 定 义 驻子 = 子 - 子0 , 子0 = (子10 ,子20 ,子30 ) T 是未饱和限制的理想输入. 通过以 上分析可得: z · 2 = Aq2 + a2S( q2 ) + B0 子0 + B0驻子 + 驻B子 + d * - 琢 · ,代入式(15)可得: V · 2 = V · 1 + 移 3 i = 1 z2i k 2 bi - z 2 2i [Aiq2 + a2S (q2 )i + B0i子0 + B0i驻子 + 驻Bi子 + d * i - 琢 · i]臆V · 1 + |z21 |( |vx |兹1 + |棕vy |兹2 ) k 2 b1 - z 2 21 + |z22 |( |vy |兹1 + |棕vx |兹2 ) k 2 b2 - z 2 22 + |z23 | | 棕| 兹3 k 2 b3 - z 2 23 + 移 3 i = 1 |z2i | (兹4 + d) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2i(B0i子0 - 琢 · i) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2iB0i驻子 k 2 bi - z 2 2i (16) 为了解决控制器输入饱和问题,设计辅助系统 (抗饱和补偿器)如下: 孜 · i = - ( k3i + k4i k 2 bi - z 2 2 ) i 孜i + 驻子i (17) 式中,k3i和 k4i是正常数,驻子i = 子i - 子0i表示第 i 个执 行器饱和的控制输入与无饱和约束的控制输入之 差,且辅助变量 孜 = (孜1 ,孜2 ,孜3 ) T 的初始值定义为 孜(0) = (0,0,0) T . 取 Lyapunov 函数如下: V = V2 + 1 2酌d d寛2 i + 移 4 i = 1 1 2酌i 兹寛2 i + 1 2 孜 T 孜 (18) 式中,酌d ,酌i(i = 1,2,3,4)均为正常数. 结合式 ( 13 ), ( 16 ) 和 ( 17 ), 对式 ( 18 ) 求 导 可得: V ·臆 - 移 3 i = 1 k1i z 2 1i k 2 ai - z 2 1i + 移 3 i = 1 z1iJi(兹)z2 k 2 ai - z 2 1i + |z21 | ( |vx | 兹1 + |棕vy | 兹2 ) k 2 b1 - z 2 21 + |z22 | ( |vy | 兹1 + |棕vx | 兹2 ) k 2 b2 - z 2 22 + |z23 | | 棕| 兹3 k 2 b3 - z 2 23 + 移 3 i = 1 |z2i | (兹4 + d) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2i(B0i子0 - 琢 · i) k 2 bi - z 2 2i + 移 3 i = 1 z2iB0i驻子 k 2 bi - z 2 2i - 移 3 i = 1 k3i 孜 2 i - 移 3 i = 1 k4i k 2 bi - z 2 2i 孜 2 i + 移 3 i = 1 孜i驻子i + 1 酌d d寛i ^ d · i + 移 4 i = 1 1 酌i 兹寛i ^ 兹 · i (19) 定义 tanh ( 着z2 ) = ( tanh ( 着z21 ),tanh ( 着z22 ), tanh (着z23 )) T ,设计控制器如下: 子0 = - B - 1 0 [h1 + h2 + K2 (z2 - 孜) + ( ^ 兹4 + ^ d)tanh (着z2 ) - 琢 · ] (20) 其中 K2 = diag{k21 ,k22 ,k23 },且 k2i为正常数;令 h1 = (h11 ,h12 ,h13 ) T 其中: h11 = ( ^ 兹1 |vx | + ^ 兹2 | 棕vy | )tanh (着z21 ) h12 = ( ^ 兹1 |vy | + ^ 兹2 | 棕vx | )tanh (着z22 ) h13 = ^ 兹3 | 棕| tanh (着z23 ì î í ïï ïï ) (21) 令 h2 = (h21 ,h22 ,h23 ) T 其中: h21 = (k 2 b1 - z 2 b1 ) ( z11 cos 兹 k 2 a1 - z 2 11 + z12 sin 兹 k 2 a2 - z 2 1 ) 2 h22 = (k 2 b2 - z 2 b2 ) ( - z11 sin 兹 k 2 a1 - z 2 11 + z12 cos 兹 k 2 a2 - z 2 ) a2 h23 = z13 (k 2 b3 - z 2 b3 ) k 2 a3 - z 2 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï a3 (22) 将式(20) ~ (22)代入公式(19)可得: ·1180·