8-2-1斜截面上的应力(续) 方法:(1)解析法; (2)应力圆法。 1.解析法 应用截面法,沿截面将单元体 截为两部分,取三角形微体为研 U τ dacos a da 究对象。设截面的面积为,则截 da 面和的面积分别为,如图b示。 汇 dasin a 根据力的平衡方程∑Fn=0,∑F=0,有 o dAsin a o,dA+t dA cos asin a-(o, dA cos a)cosa+(t dA sin a cosa-I0, dA sIn a sina=U tadA-( da cos a) cos a-(o, dA cos a)sina+(t, da sin a sina+(o dA sin a cosa=0
ᮍ⊩˖˄˅㾷ᵤ⊩˗ ǂǂǂ˄˅ᑨ⫣DŽ ǂᑨ⫼䴶⊩ˈ⊓䴶ᇚऩܗԧ Ўϸ䚼ߚˈপϝ㾦ᔶᖂԧЎⷨ おᇍ䈵DŽ䆒䴶ⱘ䴶⿃Ўˈ߭ 䴶ⱘ䴶⿃߿ߚЎ ˈབb⼎DŽ ( ) ( ) ( ) ( ) d ( d cos )cos ( d cos )sin ( d sin )sin ( d sin )cos 0 d d cos sin d cos cos d sin cos d sin sin 0 − − + + = + − + − = τ τ α α σ α α τ α α σ α α σ τ α α σ α α τ α α σ α α α α A A A A A A A A A A xy x yx y xy x yx y 8-2-1 ໜࠉੋ౨ԅॏ ༣ ˍ㾷ᵤ⊩ ḍⱘᑇ㸵ᮍ Fn = 0 , Ft = 0 ˈ᳝
8-2-1斜截面上的应力(续) 由切应力互等定理矿=及三角公式 I+cos 2a -cos 2a CoS C= 化简得 +0.0-0 coS 2a-T sin 2a (8-1) sin 2a+t cos 2a (8-2) 由于 0 +o y a+909 cos 2a+t sin 2a 2 ny 从而有0a+o a+906.+O, (8-3) 这表明,在平面应力状态下,两相互垂直面上的正应力之 和是一个不变量
2 1 cos 2 , sin 2 1 cos 2 cos 2 2 α α α α − = + = ㅔᕫ࣪ α τ α σ σ σ σ σ α cos 2 sin 2 2 2 xy x y x y − − + + = ˄˅ α τ α σ σ τ α sin 2 cos 2 2 xy x y + − = ˄˅ α τ α σ σ σ σ α α cos2 sin 2 2 2 0 90 xy x y x y + − − + = + Ң㗠᳝ σ α +σ α +900 = σ x +σ y ˄˅ 䖭㸼ᯢˈᑇ䴶ᑨ⢊ᗕϟˈϸⳌѦൖⳈ䴶ϞⱘℷᑨП ᰃϔϾϡব䞣DŽ 8-2-1 ໜࠉੋ౨ԅॏ ༣ ⬅ߛᑨѦㄝᅮ⧚τ xy τ yxঞϝ㾦݀ᓣ ⬅Ѣ
例8-1已知某点的应力状态,如图图中所示,应力的单位 为MPa。求图示斜截面的应力。 (单位MPa)
՟ Ꮖⶹᶤ⚍ⱘᑨ⢊ᗕབЁ᠔⼎ˈᑨⱘऩԡ Ў M P a DŽ∖⼎᭰䴶ⱘᑨDŽ
解:由图已知 60 0=-40MPa 0=60MPa 583 50MPaa=-300 18.3 0° 将数据代入式(8-1)和(8-2),得 (单位MPa) (-40+60)(-40-60) COs(-60)-(-50)sin(-60)=58.3MPa (-40-60 300 sin(-60)+(-50)c0s(-60)=18.3MPa 在图中标出应力的大小及真实方向
㾷˖⬅Ꮖⶹ = −40MPa σ x = 60MPa σ y = −50MPa xy τ 0 α = −30 ᇚ᭄ҷܹᓣ˄8-1˅˄8-2˅ˈᕫ cos( 60 ) ( 50)sin( 60 ) 58.3MPa 2 ( 40 60) 2 ( 40 60) 0 0 300 − − − − = − − + − + = − σ sin( 60 ) ( 50) cos( 60 ) 18.3MPa 2 ( 40 60) 0 0 300 − + − − = − − = − τ ЁᷛߎᑨⱘᇣঞⳳᅲᮍDŽ
8-21斜截面上的应力(续) 2.应力圆法 式(8-1)和式(8-2)表明an,τ均是以a为参数的 参数方程。为了消去参变量a,将两式改写 o+0.0-0 cos 20-t sin 2a 0 sin 2a+t cos 2a r 将上两式等号两边平方后相加,得 0 +o +7 (8-4)
⫣ᑨ α τ α σ σ σ σ σ α cos 2 sin 2 2 2 xy x y x y − − = + − α τ α σ σ τ α sin 2 cos 2 2 0 xy x y + − − = ᇚϞϸᓣㄝোϸ䖍ᑇᮍৢⳌࡴˈᕫ ( ) 2 2 2 2 2 0 2 xy x y x y τ σ σ τ σ σ σ α α + − + − = + − ˄˅ 8-2-1 ໜࠉੋ౨ԅॏ ༣ ᓣ˄˅ᓣ˄˅㸼ᯢσ α ˈταഛᰃҹαЎখ᭄ⱘ খ᭄ᮍDŽЎњ⍜এখব䞣α ˈᇚϸᓣᬍݭ