证令∫(x)=ax4+bx3+cx2-(a+b+c)x 则f(x)在[0,上连续(,1)内可导 且f(0)=∫(1)=0 故由Rol定理知35∈(0,1)使∫(4)=0 即4axC3+3bx2+2cx=a+b+c在(0,1)内有一实根 例4已知f(x)在0,连续,在(0,1内可导, 且f(0)=1,∫(1)=0,证明 彐c∈(0,1)使f(c)=~J() 证记F(x)=xf(x) 则F(x)在[0,1满足Roe定理的条件 →3c∈(0,)使F(c)=0
证 令 f (x) ax bx cx (a b c)x 4 3 2 = + + − + + 则 f (x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导 且 f (0) = f (1) = 0 故由Rolle 定理知 (0,1)使 f ( ) = 0 即 4ax + 3bx + 2cx = a + b + c 3 2 在(0,1)内有一实根 例4 c f c c f c f f f x ( ) (0,1) ( ) (0) 1, (1) 0, ( ) [0,1] (0,1) = − = = 使 且 证明 已知 在 上连续，在 内可导， 证 记F(x) = xf (x) 则F(x)在[0,1]上 满足Rolle 定理的条件 c (0,1)使F(c) = 0
例5求极限lim 05/1+5x-(1+x) 解:分子关于x的次数为2 51+5x=(1+5x) 1+(5x)+ 2!55 1)·(5x)2+0(x2) =1+x-2x2+0(x2 原式+x-2x2+0(x2)-(1+x)2 lim
例 5 . 1 5 (1 ) lim 5 2 0 x x x x → + − + 求极限 解 分子关于 x 的次数为 2. 51 5 1 + 5 x = (1 + 5 x) 1) (5 ) ( ) 51( 51 2!1 (5 ) 51 1 2 2 = + x + − x + o x 1 2 ( ) 2 2 = + x − x + o x [1 2 ( )] (1 ) lim 2 2 2 0 x x o x x x x + − + − + = → 原式 . 21 = −
1+x arctan x-In 例6设im 1-x=c≠0,求 1+x 2arctanx-I 解lim →0 2arctanx-In(1+x)+In(1-x) im >0 2 =lim1+x21+x1-x2 x->0 =-lm1+x21-x Px→>0 lim =c≠0 Px→0(1-x4)xD-3 →p=3→cs4 3
例 6 c p c x xx x p x 0, , 11 2arctan ln lim0 设 − = 求 + − → 解 p x x xx x −+ − → 11 2arctan ln lim0 p x x 2arctan x ln(1 x) ln(1 x) lim0 − + + − = → ) 00 ( 1 2 0 1 1 1 1 1 2 lim − → − − + − + = p x px x x x 1 2 2 0 1 1 1 1 lim 2 − → − − + = p x x x x p 4 3 0 (1 ) 1 lim 4 − → − = − p p x x x = c 0 p = 3 34 c = −