第1章电子在轴对称场中的运动 29 易得到 -恶(-)=恶洁活兴-别 至此，除设E=0,4=0外未作近似处理.故此式对各种能量 和初始条件的粒子普适. 对初始动能可认为是0的低能电子，有q=一1,8°P= n一2V,式中若干物理常数恰可相互消去，即得 -发贷-劉 式中，V=V(z,)是空间的电位 引入近似条件 (1)近轴条件：空间函数皆对r展开，认为电子总离轴很近，r 是小量，不计r的2次以上项： (2)旁轴条件：粒子运动始终与轴大致平行，认为'是小 量，也不计其2次以上项。 旁轴时一般认为近轴条件亦成立.故一也认为是2阶小量 因为v=+不，旁轴条件意味着取4=c,P=P= Y3c;同时忽略了横向运动对纵向的影响. 再利用谢尔赤公式，方程变成r的齐次线性方程 w+2+v=0 或写作 ()'+vr=0 与前式皆称为高斯轨迹方程. 高斯方程是在近轴与旁轴条件下，轴对称电场中电子运动的 近似轨迹方程.求其解得到的=()称为高斯轨迹.如考虑高阶 项，可将此解看作最终解的一级近似，求出其各点的，'，代入有 高阶项的方程，（通过迭代）求精确解， 用于计算求解时，2次微商V"很难（无论是通过数值计算还是
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30 上篇电子光学 实测)精确得到.利用高斯方程是r的、也是V的齐次线性方程和 每一项中V与r的总微商阶数相同(2阶)，可以消去V"项，得到 方程的另一种形式 令变量R=VTr,它满足 +]”R=0 称为高斯轨迹方程的简正形式.此式用于计算时与高斯方程等效 其优点是：式中只有轴上电位的值和一次微商：用于某些分析时比 高斯方程原型简单；特别是可看出变量R总是被聚焦的， 推导要点设R=Vr,由r=RV广*求出r'和r”,代人前面的 公式中. 方程两边同乘以V,所得仍是R与V的齐次方程 取k=可使V”项的系数为0.有趣的是RV项“同归 于尽” 高斯轨迹方程的更一般的形式可通过对运动方程直接加近似 条件得到： Bc(Pr')'=qeE,=F(,r)=f(z)·r+… 低能电子的3和P都正比于下（来自纵向运动或能量积分）， 故可迅速得到前面高斯轨迹方程的第二种形式.略去r的高阶项、 它必是齐次线性方程一方程右边的径向力项F在r很小时必 正比于r,当r=0时横向力也为0，比例系数∫是该力对r的偏微 商，是轴上位置x的函数.对于低能电子，其形式恰极为简单. 所以，无论其他条件如何变化，考虑相对论性与否，此类“高斯 型”齐次线性方程的一般形式总可写作 (P(z)r')+Q(z)r=0 此式中，作为轴上坐标x的函数的“粒子动量”P可用任何与 之成正比的量代替.例如对低能电子用下，称为等效动量. 当相对论效应明显（如V>40kV)时，用于低能电子的高斯方
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第1章电子在轴对称场中的运动 31 程不适用.正确的做法是对前面的普适公式或“高斯方程一般形 式”直接运用各近似条件，保留与相对论性有关的，B等项，皆视 为（通过能量积分与轴上电位分布V(x)坐标之的函数，它们当然 仍与V有关，但方程对V已无线性可言，有的文献将方程中的V 一律乘以P的表达式中依输于V的修正因子(1十eV),窃以为不 妥.高斯方程中的V有3个来源，以上述“第二种形式”论之，自左 至右的3个V分别来自粒子速度、动量和空间电位的横向分布 该修正因子对动量P是正确的：对速度)已经不对（其修正因子 皮是式，而对来自电位V的空限开式的，这种修正 更是于理无据.在此提醒读者：若以不同机理引入共用同一符号的 量，不可不慎， 对高斯轨迹方程的讨论： (1)电子运动的（旁轴）轨迹仅由轴上电位V()与初始条件 决定. (2)方程中不含荷质比器加速方向相同时，如电位场形状不 变，则任何带电粒子，不论其m与q为何值，轨迹相同，尽管其速 度、渡越时间不同 (3)方程对V是齐次线性的.“电压同比定律”成立：如所有电 极上V都变化k倍（几何形状不变），则空间所有点的V亦变化k 倍，电子能量相应改变，但是轨迹不变 以上两点显然以无明显相对论效应为限 (4)方程对r是齐次线性的.“几何相似性定律”成立：如所有 电极尺寸都放大或缩小k倍，形状与极上电压不变，电子轨迹亦同 比例放大或缩小k倍，形状保持相似. 此点受到在高阶项影响下的“像差”等因素限制. 以上两点的结合给在一定条件下用实验测量法研究电子轨迹 带来很大的便利
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32 上篇电子光学 (5)满足高斯轨迹方程的粒子流原则上都可以聚焦、可以成 像.“聚焦”与“成像”两词的确切含义及高斯方程的这一性质在本 章1.4节再详加讨论.事实上，凡运动规律服从于高斯方程一般形 式(Pr)'+Qr=0的粒子流在一定条件下皆可聚焦或成像. (6)由旁轴条件下的高斯方程形式3(Pr)'≈f()·r可 得到 -Br-Pr 经过一小区间d:,横向运动的“方向”'变成r'+"由此分 析各项的意义： 了：与r成正比的聚、散焦力的主要来源.其符号唯一确定此 处的场是否聚焦（量P,3,c皆恒正）.它为负时（对电子，V">0 时)，系统是聚焦的 B:称为“渡越时间因子”.它越大，粒子通过dz的时间越短 有效径向力越弱。 一P'r':类似“质量变化”的影响.在某种意义上P可视为横 向运动的质量.粒子加速时P'>0,'因此项的增量恒与自身异 号，使其绝对值变小：P'<0即减速时反之.注意此项恒有，无径向 力时亦在.其作用一如宇宙空间中火箭质量的变化，机理亦同为动 量守恒（横向动量P,=P).在加速时，粒子的纵向动量增加，表 现为此项使轨迹趋于与轴平行，'有变小或日“热运动”有被阻滞 的趋势.因与外界无能量交换，该现象又称“绝热阻尼”.但r越小， 其作用越不明显.其行为与径向力的聚、散焦完全不同。 P:在此有质量或惯量的含义，从横向动量的表达式可见，P 大，则以上各项皆相对变弱，使运动方向较难改变.P中有B,Y二 因子，显然低能时3（速度或渡越时间）起主要作用，高能时y(真的 质量)代之，正像施一横向推力于一疾跑之人而欲使之偏离原方向 (改变轨迹)，该人原速度越快，或质量越大，则同样推力的效果 越差
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第1章电子在轴对称场中的运动 33 1.3电子在轴对称电磁场中的运动·布许 定理 上节假设电子所在环境中只有轴对称电场.本节设亦有轴对 称磁场. 轴对称磁场的引入不可避免地使电子在前进的同时绕：轴旋 转以◆表示电子的角向坐标，则角向速度是4=票旋转时盟 ≠0. 沿x轴前进的理想粒子看不见与之保持同向的磁场，不会离 开之轴.其他轨迹总可能与B的力线有夹角，受到横向力.有意思 的是，不论B方向如何，轴向磁场B总有聚焦作用.此点可粗浅地 如此理解：设B。为正（与x轴同向），一电子的，>0，有逸出倾 向：则力一wXB指向纸外侧，使其有此方向的w:再来一次叉乘 则所受径向力能令u,变小，加以约束.若B反向，则，>0者倾向 于华反向而指向纸内，二次叉乘仍为约束力. 更常见的情形或更恰当的解释是：磁场B,多只在电子运动区 域的局部存在，所以B随：改变，此时磁场在≠0处必有径向分 量：电子在无磁场区段可如前节一样假设为并不旋转.电子进入磁 场区时，与B变化伴生的B,分量和速度的主要分量U,结合，推 动轴外电子旋转，使4由小到大：此角向速度又与轴向磁场B.结 合，产生径向力.下面的定量分析将说明，此时旋转角速度大致与 磁场强度B.成正比，方向与其符号有关：径向力则与r和B”成 正比，B.的平方反映了作为二次叉乘的结果，此力的方向与B.的 符号无关，总是指向轴，即总是聚焦的.本来不旋转的电子经过一 个局部磁场区时，场B.由近于没有逐渐增强、到最大、再减弱、直 至归于没有，电子旋转角速度则经历了一个起转、加快、最快、减慢 (此阶段B易号，产生的角向力与已有角速度相反，起的作用好似
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