34 上篇电子光学 “刹车”)、直到停转的全过程，但总是转向同一方向，所受的径向力 总是聚焦力，读者不妨自行用叉乘规律试加体会， 定量分析时，要注意磁场中的电子轨迹多半不会停留在同一 子午面内.如“跟定”一个电子，坐标系元向量e,和e,不是常量.这 是引入旋转的“麻烦”处.分析各元向量随角中的变化，可得有关 公式： de.doea des=-dp e, de.=0 则电子运动速度 vdre.dre.+dre 用符号代表对咒进行计算时勿忘亦对各元向量求微商、 即得到轴对称电磁场内电子的横向运动方程： 蛋-m李-E+rB) 品am+m-m利 =-B-B 此处已考虑场的轴对称性.纵向运动式未写，因它仍与能量积 分等效.两式中，前者为径向方程，其中左边的mr$项是旋转产 生的离心力附加项，右边两项分别是电场和磁场提供的径向力.后 者为角向方程，即此情况下的角动量定理，角向力全来自磁场，因 为电场无角向分量.它亦可写成 d(mr)=d B.r'-B,)rdz 利用旁轴和近轴假设，舍去2阶以上项，只取磁场的谢尔赤公 式中的最低项
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第1章电子在轴对称场中的运动 35 B.(之，r）≈B.() B(,刊≈-B, 则上式恰可配成全微分： d(mr=号d(PB) 积分之，得 m中=号PB.十常数 或 多=2B+9 其中，常数C-(。一2B).各量的下标0是初始条件的 标志 此结果建立了电子旋转角速度和磁场的关系，使轴向磁场中 电子运动的处理大为简易.它是布许(Busch)定理的一种不严格 的表达方式。 严格的布许定理不要求旁轴或近轴条件，其表述为：电子在轴 对称电磁场中运动，设其之坐标自点到，其角动量的增量正 比于其径向位置r绕：轴旋转形成的横截圆面磁通量之差.即： (mr-云=Bds)月 此处，0与1分别代表轨迹的起点和终点. 推导要点无角向电场时，角向运动方程可写成 d(mrB.dr-B.dz) 式中积分从到，后一积分沿电子轨迹进行 将此轨迹的空间曲线绕之轴旋转，得一如图1.2所示的“花 瓶”形旋转曲面，两底面是以其在两处的径向坐标？为半径的横截 圆面.侧曲面由轨迹生成，它的法线元在子午面内，可表为
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36 上篇电子光学 dN=-dr·e.+dz·e, 进入此花瓶的磁通量应该与穿出此花瓶的磁通量相等，才能 满足7·B=0的特性.即得 =（B.dS)=中，+B.2xdN --2x r(B.dr-B.d:) 式中积分正是沿轨迹进行的，而且侧面上任一点的磁场与轨迹相 应点的磁场相同.故定理得证 图1.2 此原理的证明巧妙，除场为轴对称外，未用其他假设 只要终点处n足够小，可取，≈π”B(),就可得前述 结果. 将上式代入径向运动方程，其中，由于角向运动的附加项是 mr-B小-B+四 前述横向运动方程可写成旁轴条件下轴对称电磁场中的高斯轨迹 方程： +V+)r-S-0 8-B.+C 对低能电子，则为
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第1章电子在轴对称场中的运动 37 +w+B)-号-0 -层B+9到 此二式中，帝数C=C 通常可认为布许定理的积分常数（相当于初始角动量）C=0 其条件是：起始时（在磁场之外）电子并不旋转，即B,=0时中 0:或可认为起始点离轴很近，≈0.则 呈简单关系，即前面所说旋转角速度与磁场成正比，与其他量 无关. 此时，若看同一横截面上(x坐标相同)的不同电子，所有电子 正以同一个仅与B()成正比的角速度旋转，彼此间的径向位置 关系不因旋转而改变：若看前进中的一个电子，设其运动在磁场之 外时处于一个子午平面内，可定义一个随其前进并与其同步、以 ()旋转的“旋转子午面”（其旋转角速度随之且只随：改变），该 电子的运动将固定在这个旋转子午面上.所有旋转子午面在同一 纵向位置同速旋转，转速仅与电磁场分布和：有关 如两个同时行进的电子原来的轨迹共子午面，将保持共此旋 转子午面.对在该面上的观察者，电子似仅有纵向和径向运动.观 其全程，所有粒子的轨迹都是变径螺旋线，其螺距与B.呈反比、与 下呈正比变化，而与粒子的其他参量无关，各旋转子午面从起点 到点之的总转角也就是每个粒子的总转角，等于 读者可重温一下本节开始时所说的电子旋转随B,变化，靠 B分量“起转”、变速、直到停转的过程和此过程中受到的聚焦力
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38 上篇电子光学 应有更确切的体会。 当C一0时，运动方程仍为齐次线性方程；径向方程仍满足高 斯方程的一般形式，只多了一个与B°成比例的磁场作用聚焦项. 此时，易想像束流仍能聚焦成像：虽然在行进的同时有旋转运动 原来共横截面的粒子始终共面且转速相等，彼此在旋转中保持由 径向方程规定的相互位置关系，与假设无旋转、磁场只起聚焦作用 一样.如果成像，物像的相似性不被破坏，只是转了一个角度，该角 度称为“像转角”，表达式即前述“总转角”△只。 如C≠0，粒子有不可忽略的初始角动量，旋转速度与r有关 r变小时转速加快，并在径向上出现抵抗其变小的强烈倾向，迫使 轨迹外弯，不得与：轴相交.方程已并非齐次线性.而且C≠0时， 不同粒子的C可不同，导致其旋转螺距不同，近轴的粒子又转得 比远离者快，不存在共同的旋转子午面.但有的文献认为，在旁轴 条件下仍能成像.此点未予证明，姑且存疑 本课程中多数情况下皆假设C=0,径向轨迹方程是简单的齐 次线性方程 ()'+子V+B)r=0 磁场B,为0时，此方程理所当然地回到轴对称电场中的高斯 方程 只有磁场而无电场(V=常数)的情况仅为一特例，无须细加 讨论，方程可简化为 +8mVB.'r=0 对有轴对称磁场时的高斯轨迹方程的简单讨论如下： (1)无论C是否为0，B,正或负，轴向磁场都提供聚焦力. (2)旋转角速度的表达式和B,°聚焦项与是否相对论性无 关.但相对论效应会使m增加，使聚焦效果变小；因为很难使轴向 B。十分大，轴向磁场聚焦少见于非低能情况.低能电子束则常用
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